Coordenadas esferoidales oblatas

Sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales.

Figura 1: Isosuperficies de coordenadas para un punto  P (mostrado como una esfera negra) en coordenadas esferoidales achatadas ( μ , ν , φ ) . El eje z es vertical y los focos están en  ±2 . El esferoide achatado rojo (esfera aplanada) corresponde a μ = 1 , mientras que el medio hiperboloide azul corresponde a ν = 45° . El azimut φ = −60° mide el ángulo diédrico entre el semiplano verde xz y el semiplano amarillo que incluye el punto  P . Las coordenadas cartesianas de P son aproximadamente (1,09, −1,89, 1,66) .

Las coordenadas esferoidales oblatas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de girar el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales alrededor del eje no focal de la elipse, es decir, el eje de simetría que separa los focos. Así, los dos focos se transforman en un anillo de radio en el plano x - y . (La rotación alrededor del otro eje produce coordenadas esferoidales alargadas ). Las coordenadas esferoidales achatadas también pueden considerarse como un caso límite de coordenadas elipsoidales en las que los dos semiejes más grandes tienen la misma longitud. ${\displaystyle a}$

Las coordenadas esferoidales achatadas suelen ser útiles para resolver ecuaciones diferenciales parciales cuando las condiciones de contorno se definen en un esferoide achatado o un hiperboloide de revolución . Por ejemplo, desempeñaron un papel importante en el cálculo de los factores de fricción de Perrin , lo que contribuyó a la concesión del Premio Nobel de Física de 1926 a Jean Baptiste Perrin . Estos factores de fricción determinan la difusión rotacional de las moléculas, lo que afecta la viabilidad de muchas técnicas como la RMN de proteínas y de la que se puede inferir el volumen hidrodinámico y la forma de las moléculas. Las coordenadas esferoidales achatadas también son útiles en problemas de electromagnetismo (p. ej., constante dieléctrica de moléculas achatadas cargadas), acústica (p. ej., dispersión del sonido a través de un orificio circular), dinámica de fluidos (p. ej., el flujo de agua a través de la boquilla de una manguera contra incendios) y la difusión de materiales y calor (p. ej., enfriamiento de una moneda al rojo vivo en un baño de agua)

Definición (μ,ν,φ)

Figura 2: Gráfico de las coordenadas esferoidales achatadas μ y ν en el plano x - z , donde φ es cero y a es igual a uno. Las curvas de μ constante forman elipses rojas, mientras que las de ν constante forman semihipérbolas cian en este plano. El eje z corre verticalmente y separa los focos; las coordenadas z y ν siempre tienen el mismo signo. Las superficies de constante μ y ν en tres dimensiones se obtienen mediante rotación alrededor del eje z , y son las superficies roja y azul, respectivamente, en la Figura 1.

La definición más común de coordenadas esferoidales achatadas es ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$$

donde es un número real no negativo y el ángulo . El ángulo azimutal puede caer en cualquier punto de un círculo completo, entre . Estas coordenadas se ven favorecidas sobre las alternativas siguientes porque no están degeneradas; el conjunto de coordenadas describe un único punto en coordenadas cartesianas . Lo contrario también es cierto, excepto en el eje y el disco en el plano dentro del anillo focal. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xy}$

Superficies coordinadas

Las superficies de μ constante forman esferoides achatados , según la identidad trigonométrica

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$$

ya que son elipses giradas alrededor del eje z , que separa sus focos. Una elipse en el plano x - z (Figura 2) tiene un semieje mayor de longitud a cosh μ a lo largo del eje x , mientras que su semieje menor tiene una longitud a senh μ a lo largo del eje z . Los focos de todas las elipses en el plano x - z están ubicados en el eje x en ± a .

De manera similar, las superficies de la constante ν forman semihiperboloides de revolución de una hoja según la identidad trigonométrica hiperbólica

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$$

Para ν positivo , el medio hiperboloide está por encima del plano x - y (es decir, tiene z positivo ), mientras que para ν negativo, el medio hiperboloide está por debajo del plano x - y (es decir, tiene z negativo ). Geométricamente, el ángulo ν corresponde al ángulo de las asíntotas de la hipérbola. Los focos de todas las hipérbolas también están ubicados en el eje x en ± a .

Transformación inversa

Las coordenadas (μ, ν, φ) se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal φ viene dado por la fórmula

$${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$$

El radio cilíndrico ρ del punto P viene dado por

$${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$$

Las coordenadas restantes μ y ν se pueden calcular a partir de las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}$$

donde el signo de μ siempre es no negativo y el signo de ν es el mismo que el de z .

Otro método para calcular la transformada inversa es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$$

dónde

$${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas μ y ν son iguales

$${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$$

$${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$$

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual

$${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas (μ, ν, φ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Vectores de base

Los vectores de base ortonormal para el sistema de coordenadas se pueden expresar en coordenadas cartesianas como ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}$$

¿Dónde están los vectores unitarios cartesianos? Aquí, es el vector normal de salida a la superficie esferoidal achatada de constante , es el mismo vector unitario azimutal de coordenadas esféricas, y se encuentra en el plano tangente a la superficie esferoidal achatada y completa el conjunto de bases diestro. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$

Definición (ζ, ξ, φ)

A veces se utiliza otro conjunto de coordenadas esferoidales achatadas donde y (Smythe 1968). Las curvas de constante son esferoides achatados y las curvas de constante son los hiperboloides de revolución. La coordenada está restringida por y está restringida por . ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$ ${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$ ${\displaystyle \xi =\sin \nu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle -1\leq \xi <1}$

La relación con las coordenadas cartesianas es

$${\displaystyle {\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}}$$

Factores de escala

Los factores de escala para son: ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}$$

Conociendo los factores de escala, se pueden calcular varias funciones de las coordenadas mediante el método general descrito en el artículo sobre coordenadas ortogonales . El elemento de volumen infinitesimal es:

$${\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }$$

El gradiente es:

$${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$$

La divergencia es:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$$

y el laplaciano es igual

$${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$$

Armónicos esferoidales oblatos

Como es el caso de las coordenadas esféricas y los armónicos esféricos , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para producir soluciones en forma de armónicos esferoidales achatados , que son convenientes de usar cuando se definen condiciones de contorno en una superficie con una constante. Coordenada esferoidal achatada.

Siguiendo la técnica de separación de variables , se escribe una solución a la ecuación de Laplace:

$${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$$

Esto produce tres ecuaciones diferenciales separadas en cada una de las variables:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}$$

mn

$${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}$$

polinomios de Legendre asociadosarmónico esferoidal achatado ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle P_{n}^{m}(z)}$ ${\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$

$${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$$

Las constantes se combinarán para producir sólo cuatro constantes independientes para cada armónico.

Definición (σ, τ, φ)

Figura 3: Isosuperficies de coordenadas para un punto P (mostrado como una esfera negra) en las coordenadas esferoidales achatadas alternativas (σ, τ, φ). Como antes, el esferoide achatado correspondiente a σ se muestra en rojo, y φ mide el ángulo azimutal entre los semiplanos verde y amarillo. Sin embargo, la superficie de la constante τ es un hiperboloide completo de una hoja, que se muestra en azul. Esto produce una doble degeneración, mostrada por las dos esferas negras ubicadas en ( x , y , ± z ).

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales achatadas (σ, τ, φ), donde σ = cosh μ y τ = cos ν. ^[1] Por lo tanto, la coordenada σ debe ser mayor o igual a uno, mientras que τ debe estar entre ±1, inclusive. Las superficies de σ constante son esferoides achatados, al igual que las de μ constante, mientras que las curvas de τ constante son hiperboloides de revolución completos, incluidos los semihiperboloides correspondientes a ±ν. Por tanto, estas coordenadas están degeneradas; dos puntos en coordenadas cartesianas ( x , y , ± z ) se asignan a un conjunto de coordenadas (σ, τ, φ). Esta doble degeneración en el signo de z es evidente a partir de las ecuaciones que se transforman de coordenadas esferoidales achatadas a coordenadas cartesianas.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Las coordenadas y tienen una relación simple con las distancias al anillo focal. Para cualquier punto, la suma de sus distancias al anillo focal es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por tanto, la distancia "lejana" al anillo focal es , mientras que la distancia "cerca" es . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$

Superficies coordinadas

Similar a su contraparte μ, las superficies de σ constante forman esferoides achatados

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$$

De manera similar, las superficies de τ constante forman hiperboloides de revolución completos de una hoja

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas esferoidales achatadas alternativas son ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$

Por tanto, el elemento de volumen infinitesimal se puede escribir

$${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Como es el caso con las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplaces se puede resolver mediante el método de separación de variables para producir soluciones en forma de armónicos esferoidales achatados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal achatada constante. (Ver Smythe, 1968).

Ver también

• Coordenadas elipsoidales (geodesia)

Referencias

1. Abramowitz y Stegun, pag. 752.

Bibliografía

Sin convención de ángulos

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 662. Utiliza ξ ₁ = a sinh μ, ξ ₂ = sin ν y ξ ₃ = cos φ.
• Zwillinger D (1992). Manual de Integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 115.ISBN​ 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Smythe, WR (1968). Electricidad estática y dinámica (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 98.LCCN 67025285  . Utiliza coordenadas híbridas ξ ​​= sinh μ, η = sin ν y φ.

Convención de ángulos

• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 177.LCCN 59014456  . Korn y Korn utilizan las coordenadas (μ, ν, φ), pero también introducen las coordenadas degeneradas (σ, τ, φ).
• Margenau H, Murphy GM (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Nueva York: D. van Nostrand. pag. 182. LCCN  55010911. Como Korn y Korn (1961), pero utiliza la colatitud θ = 90° - ν en lugar de la latitud ν.
• Luna PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas esferoidales oblatas (η, θ, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda edición corregida, tercera edición impresa). Nueva York: Springer Verlag. Págs. 31 a 34 (cuadro 1.07). ISBN 0-387-02732-7. Moon y Spencer usan la convención de colatitud θ = 90° - ν, y renombran φ como ψ.

Convención inusual

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos (Volumen 8 del Curso de Física Teórica ) (2ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Trata las coordenadas esferoidales achatadas como un caso límite de las coordenadas elipsoidales generales . Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.

enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas esferoidales achatadas