Arrastrar fotogramas

Efecto de la relatividad general

El arrastre de cuadros es un efecto en el espacio-tiempo , predicho por la teoría general de la relatividad de Albert Einstein , que se debe a distribuciones estacionarias no estáticas de masa-energía . Un campo estacionario es aquel que se encuentra en un estado estacionario, pero las masas que causan ese campo pueden no ser estáticas (por ejemplo, rotar). De manera más general, el tema que trata de los efectos causados ​​por las corrientes de masa-energía se conoce como gravitoelectromagnetismo , que es análogo al magnetismo del electromagnetismo clásico .

El primer efecto de arrastre de fotograma fue obtenido en 1918, en el marco de la relatividad general, por los físicos austriacos Josef Lense y Hans Thirring , y también se conoce como efecto Lense-Thirring . ^{[1] [2] [3]} Predijeron que la rotación de un objeto masivo distorsionaría la métrica del espacio-tiempo , haciendo que la órbita de una partícula de prueba cercana precediera . Esto no ocurre en la mecánica newtoniana, para la cual el campo gravitacional de un cuerpo depende sólo de su masa, no de su rotación. El efecto Lense-Thirring es muy pequeño: alrededor de una parte en unos pocos billones. Para detectarlo es necesario examinar un objeto muy masivo o construir un instrumento que sea muy sensible.

En 2015, se formularon nuevas extensiones relativistas generales de las leyes de rotación newtonianas para describir el arrastre geométrico de marcos que incorpora un efecto antiarrastre recientemente descubierto. ^[4]

Efectos

El arrastre de cuadro rotacional (el efecto Lense-Thirring ) aparece en el principio general de la relatividad y teorías similares en las proximidades de objetos masivos en rotación. Bajo el efecto Lense-Thirring, el marco de referencia en el que un reloj avanza más rápido es aquel que gira alrededor del objeto visto por un observador distante. Esto también significa que la luz que viaja en la dirección de rotación del objeto pasará más rápido que la luz que se mueve en contra de la rotación, vista por un observador distante. Ahora es el efecto de arrastre de fotogramas más conocido, en parte gracias al experimento Gravity Probe B. Cualitativamente, el arrastre de fotogramas puede verse como el análogo gravitacional de la inducción electromagnética .

Además, una región interior es arrastrada más que una región exterior. Esto produce interesantes marcos que rotan localmente. Por ejemplo, imaginemos que una patinadora sobre hielo orientada de norte a sur, en órbita sobre el ecuador de un agujero negro en rotación y en reposo rotacional con respecto a las estrellas, extiende sus brazos. El brazo extendido hacia el agujero negro será "torsionado" hacia el giro debido a la inducción gravitomagnética ("torsionado" está entre comillas porque los efectos gravitacionales no se consideran "fuerzas" según GR ). Del mismo modo, el brazo que se extiende lejos del agujero negro será sometido a un torque anti-giro. Por lo tanto, se acelerará rotacionalmente, en un sentido contrario al del agujero negro. Esto es lo contrario de lo que sucede en la experiencia cotidiana. Existe una velocidad de rotación particular que, si inicialmente gira a esa velocidad cuando extiende los brazos, los efectos de inercia y los efectos de arrastre del marco se equilibrarán y su velocidad de rotación no cambiará. Debido al principio de equivalencia , los efectos gravitacionales son localmente indistinguibles de los efectos inerciales, por lo que esta velocidad de rotación, a la que cuando extiende los brazos no sucede nada, es su referencia local para la no rotación. Este marco gira con respecto a las estrellas fijas y contrarota con respecto al agujero negro. Este efecto es análogo a la estructura hiperfina en los espectros atómicos debido al espín nuclear. Una metáfora útil es un sistema de engranajes planetarios en el que el agujero negro es el engranaje solar, el patinador sobre hielo es un engranaje planetario y el universo exterior es el engranaje anular. Véase el principio de Mach .

Otra consecuencia interesante es que, para un objeto restringido en una órbita ecuatorial, pero no en caída libre, pesa más si orbita en sentido antigiro, y menos si orbita en sentido antigiro. Por ejemplo, en una bolera ecuatorial suspendida, una bola de bolos rodada en dirección contraria al giro pesaría más que la misma bola rodada en dirección contraria al giro. Tenga en cuenta que arrastrar el cuadro no acelerará ni ralentizará la bola de bolos en ninguna dirección. No es una "viscosidad". De manera similar, una plomada estacionaria suspendida sobre el objeto giratorio no se inclinará. Colgará verticalmente. Si comienza a caer, la inducción lo empujará en dirección de giro. Sin embargo, si se baja lentamente una plomada "yoyo" (con eje perpendicular al plano ecuatorial), sobre el ecuador, hacia el límite estático, el yoyo girará en dirección contraria a la rotación. Curiosamente, los habitantes dentro del yoyo no sentirán ningún torque y no experimentarán ningún cambio en el momento angular.

El arrastre de marco lineal es el resultado igualmente inevitable del principio general de la relatividad, aplicado al momento lineal . Aunque podría decirse que tiene la misma legitimidad teórica que el efecto "rotacional", la dificultad de obtener una verificación experimental del efecto significa que recibe mucha menos discusión y a menudo se omite en los artículos sobre el arrastre de fotogramas (pero véase Einstein, 1921). ^[5]

El aumento de masa estática es un tercer efecto observado por Einstein en el mismo artículo. ^[6] El efecto es un aumento de la inercia de un cuerpo cuando se colocan otras masas cerca. Si bien no es estrictamente un efecto de arrastre de cuadros (Einstein no utiliza el término arrastre de cuadros), Einstein demuestra que se deriva de la misma ecuación de la relatividad general. También es un efecto diminuto que es difícil de confirmar experimentalmente.

Pruebas experimentales

En 1976, Van Patten y Everitt ^{[7] [8]} propusieron implementar una misión dedicada a medir la precesión del nodo Lense-Thirring de un par de naves espaciales en contraorbitación que se colocarían en órbitas polares terrestres con aparatos sin arrastre. Una versión algo equivalente y menos costosa de esta idea fue propuesta en 1986 por Ciufolini ^[9], quien propuso lanzar un satélite geodésico pasivo en una órbita idéntica a la del satélite LAGEOS , lanzado en 1976, aparte de los planos orbitales. que deberían estar desplazadas 180 grados: la llamada configuración de mariposa. La cantidad mensurable fue, en este caso, la suma de los nodos de LAGEOS y de la nueva nave espacial, más tarde denominada LAGEOS III, LARES , WEBER-SAT.

Limitando el alcance a los escenarios que involucran cuerpos en órbita existentes, la primera propuesta para utilizar el satélite LAGEOS y la técnica de alcance láser por satélite ( SLR ) para medir el efecto Lense-Thirring data de 1977-1978. ^[10] Las pruebas comenzaron a realizarse eficazmente utilizando los satélites LAGEOS y LAGEOS II en 1996, ^[11] según una estrategia ^[12] que implicaba el uso de una combinación adecuada de los nodos de ambos satélites y el perigeo de LAGEOS II. Las últimas pruebas con los satélites LAGEOS se realizaron en 2004-2006 ^{[13] [14]} descartando el perigeo de LAGEOS II y utilizando una combinación lineal. ^[15] Recientemente, se publicó en la literatura una descripción completa de los intentos de medir el efecto Lense-Thirring con satélites artificiales. ^[16] La precisión global alcanzada en las pruebas con los satélites LAGEOS está sujeta a cierta controversia. ^{[17] [18] [19]}

El experimento Gravity Probe B ^{[20] [21]} fue una misión satelital realizada por un grupo de Stanford y la NASA, utilizada para medir experimentalmente otro efecto gravitomagnético, la precesión de Schiff de un giroscopio, ^{[22] [23] [24]} a un Se esperaba una precisión del 1% o mejor. Lamentablemente no se logró tal precisión. Los primeros resultados preliminares publicados en abril de 2007 apuntaban a una precisión de ^[25] 256-128%, con la esperanza de alcanzar alrededor del 13% en diciembre de 2007. ^[26] En 2008, el Informe de revisión senior de las misiones operativas de la División de Astrofísica de la NASA declaró que era poco probable que el equipo de Gravity Probe B pudiera reducir los errores al nivel necesario para producir una prueba convincente de aspectos de la Relatividad General no probados actualmente (incluido el arrastre de cuadros). ^{[27] [28]} El 4 de mayo de 2011, el grupo de análisis con sede en Stanford y la NASA anunciaron el informe final, ^[29] y en él los datos de GP-B demostraron el efecto de arrastre de cuadros con un error de aproximadamente el 19 por ciento. , y el valor predicho por Einstein estaba en el centro del intervalo de confianza. ^{[30] [31]}

La NASA publicó afirmaciones de éxito en la verificación del arrastre de cuadros para los satélites gemelos GRACE ^[32] y Gravity Probe B ^[33] , afirmaciones que aún están a la vista del público. Un grupo de investigación en Italia, ^[34] EE. UU. y el Reino Unido también afirmó haber tenido éxito en la verificación del arrastre del marco con el modelo de gravedad Grace, publicado en una revista revisada por pares. Todas las afirmaciones incluyen recomendaciones para futuras investigaciones con mayor precisión y otros modelos de gravedad.

En el caso de estrellas que orbitan cerca de un agujero negro supermasivo en rotación, el arrastre del cuadro debería provocar que el plano orbital de la estrella precese alrededor del eje de rotación del agujero negro. Este efecto debería poder detectarse en los próximos años mediante el seguimiento astrométrico de las estrellas en el centro de la Vía Láctea . ^[35]

Comparando la velocidad de precesión orbital de dos estrellas en órbitas diferentes, es posible en principio comprobar los teoremas de la relatividad general sin pelo , además de medir el giro del agujero negro. ^[36]

Evidencia astronómica

Los chorros relativistas pueden proporcionar evidencia de la realidad del arrastre de fotogramas. Las fuerzas gravitomagnéticas producidas por el efecto Lense-Thirring (arrastre de marco) dentro de la ergosfera de los agujeros negros en rotación ^{[37] [38]} combinadas con el mecanismo de extracción de energía de Penrose ^[39] se han utilizado para explicar las propiedades observadas de los chorros relativistas . El modelo gravitomagnético desarrollado por Reva Kay Williams predice las partículas de alta energía (~GeV) observadas emitidas por los quásares y los núcleos galácticos activos ; la extracción de rayos X, rayos γ y pares relativistas e ⁻ – e ⁺ ; los chorros colimados alrededor del eje polar; y la formación asimétrica de chorros (en relación con el plano orbital).

El efecto Lense-Thirring se ha observado en un sistema binario que consta de una enana blanca masiva y un púlsar . ^[40]

Derivación matemática

El arrastre de fotogramas se puede ilustrar más fácilmente utilizando la métrica de Kerr , ^{[41] [42]} que describe la geometría del espacio-tiempo en las proximidades de una masa M que gira con momento angular J y las coordenadas de Boyer-Lindquist (consulte el enlace para la transformación ):

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}d\tau ^{2}=&\left(1-{\frac {r_{s}r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{\Lambda ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}\\&{}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}+{\frac {r_{s}r\alpha ^{2}}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}+{\frac {2r_{s}r\alpha c\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}d\phi dt\end{aligned}}}$

donde r _s es el radio de Schwarzschild

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

y donde se han introducido las siguientes variables abreviadas por motivos de brevedad

${\displaystyle \alpha ={\frac {J}{Mc}}}$

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta \,\!}$

${\displaystyle \Lambda ^{2}=r^{2}-r_{s}r+\alpha ^{2}\,\!}$

En el límite no relativista donde M (o, equivalentemente, r _s ) llega a cero, la métrica de Kerr se convierte en la métrica ortogonal para las coordenadas esferoidales achatadas.

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}+\alpha ^{2}}}dr^{2}-\rho ^{2}d\theta ^{2}-\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

Podemos reescribir la métrica de Kerr de la siguiente forma

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}}$

Esta métrica es equivalente a un sistema de referencia co-rotativo que gira con una velocidad angular Ω que depende tanto del radio r como de la colatitud θ.

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{s}\alpha rc}{\rho ^{2}\left(r^{2}+\alpha ^{2}\right)+r_{s}\alpha ^{2}r\sin ^{2}\theta }}}$

En el plano del ecuador esto se simplifica a: ^[43]

${\displaystyle \Omega ={\frac {r_{s}\alpha c}{r^{3}+\alpha ^{2}r+r_{s}\alpha ^{2}}}}$

Así, un sistema de referencia inercial es arrastrado por la masa central giratoria para participar en la rotación de esta última; esto es arrastrar fotogramas.

Las dos superficies en las que la métrica de Kerr parece tener singularidades; la superficie interior es el horizonte de sucesos achatado en forma de esferoide , mientras que la superficie exterior tiene forma de calabaza. ^{[44] [45]} La ergosfera se encuentra entre estas dos superficies; dentro de este volumen, el componente puramente temporal g _tt es negativo, es decir, actúa como un componente métrico puramente espacial. En consecuencia, las partículas dentro de esta ergosfera deben co-rotar con la masa interna, si quieren conservar su carácter temporal.

Una versión extrema del arrastre de cuadros ocurre dentro de la ergosfera de un agujero negro en rotación . La métrica de Kerr tiene dos superficies en las que parece singular. La superficie interior corresponde a un horizonte de sucesos esférico similar al observado en la métrica de Schwarzschild ; esto ocurre en

${\displaystyle r_{\text{inner}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}}}}{2}}}$

donde la componente puramente radial g _rr de la métrica llega al infinito. La superficie exterior puede aproximarse mediante un esferoide achatado con parámetros de giro más bajos y se asemeja a una forma de calabaza ^{[44] [45]} con parámetros de giro más altos. Toca la superficie interior en los polos del eje de rotación, donde la colatitud θ es igual a 0 o π; su radio en coordenadas de Boyer-Lindquist está definido por la fórmula

${\displaystyle r_{\text{outer}}={\frac {r_{s}+{\sqrt {r_{s}^{2}-4\alpha ^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

donde el componente puramente temporal g _tt de la métrica cambia de signo de positivo a negativo. El espacio entre estas dos superficies se llama ergosfera . Una partícula en movimiento experimenta un tiempo propio positivo a lo largo de su línea mundial , su trayectoria a través del espacio-tiempo . Sin embargo, esto es imposible dentro de la ergosfera, donde g _tt es negativo, a menos que la partícula esté co-girando con la masa interior M con una velocidad angular de al menos Ω. Sin embargo, como se vio arriba, el arrastre del marco ocurre en cada masa en rotación y en cada radio r y colatitud θ , no solo dentro de la ergosfera.

Efecto Lense-Thirring dentro de una carcasa giratoria

Albert Einstein consideró el efecto Lense-Thirring dentro de una capa giratoria no sólo como un apoyo, sino como una reivindicación del principio de Mach , en una carta que escribió a Ernst Mach en 1913 (cinco años antes del trabajo de Lense y Thirring, y dos años antes). había alcanzado la forma final de la relatividad general ). Se puede encontrar una reproducción de la carta en Misner, Thorne, Wheeler . ^[46] El efecto general ampliado a distancias cosmológicas todavía se utiliza como apoyo al principio de Mach. ^[46]

Dentro de una capa esférica en rotación, la aceleración debida al efecto Lense-Thirring sería ^[47]

${\displaystyle {\bar {a}}=-2d_{1}\left({\bar {\omega }}\times {\bar {v}}\right)-d_{2}\left[{\bar {\omega }}\times \left({\bar {\omega }}\times {\bar {r}}\right)+2\left({\bar {\omega }}{\bar {r}}\right){\bar {\omega }}\right]}$

donde los coeficientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}&={\frac {4MG}{3Rc^{2}}}\\d_{2}&={\frac {4MG}{15Rc^{2}}}\end{aligned}}}$

para MG ≪ Rc ² o más precisamente,

${\displaystyle d_{1}={\frac {4\alpha (2-\alpha )}{(1+\alpha )(3-\alpha )}},\qquad \alpha ={\frac {MG}{2Rc^{2}}}}$

El espacio-tiempo dentro de la carcasa esférica giratoria no será plano. Un espacio-tiempo plano dentro de una capa de masa en rotación es posible si se permite que la capa se desvíe de una forma precisamente esférica y se permite que varíe la densidad de masa dentro de la capa. ^[48]

Ver también

• Portal de física

• Métrica de Kerr
• efecto geodésico
• Experimento climático y recuperación de la gravedad.
• Gravitomagnetismo
• principio de mach
• Línea K de hierro ancho
• Chorro relativista
• Precesión de Lense-Thirring

Referencias

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2. Sediento, H. (1921). "Berichtigung zu meiner Arbeit: 'Über die Wirkung rotierender Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie'". Physikalische Zeitschrift . 22 : 29. Bibcode : 1921PhyZ...22...29T.[Corrección a mi artículo "Sobre el efecto de la rotación de masas distantes en la teoría de la gravitación de Einstein"]
3. Lente, J.; Sediento, H. (1918). "Über den Einfluss der Eigenrotation der Zentralkörper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie". Physikalische Zeitschrift . 19 : 156-163. Código bibliográfico : 1918PhyZ...19..156L.[Sobre la influencia de la rotación adecuada de los cuerpos centrales en los movimientos de los planetas y las lunas según la teoría de la gravitación de Einstein]
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Otras lecturas

• Renzetti, G. (mayo de 2013). "Historia de los intentos de medir el arrastre del marco orbital con satélites artificiales". Revista Centroeuropea de Física . 11 (5): 531–544. Código Bib :2013CEJPh..11..531R. doi : 10.2478/s11534-013-0189-1 .
• Ginzburg, VL (mayo de 1959). "Satélites artificiales y la teoría de la relatividad". Científico americano . 200 (5): 149–160. Código bibliográfico : 1959SciAm.200e.149G. doi : 10.1038/scientificamerican0559-149.

enlaces externos

• COMUNICADO DE LA NASA: 04-351 A medida que el mundo gira, arrastra el espacio y el tiempo Archivado el 19 de junio de 2008 en la Wayback Machine.