Precesión de Lense-Thirring

Precession of a gyroscope due to a nearby celestial body's rotation affecting spacetime

En relatividad general , la precesión Lense-Thirring o efecto Lense-Thirring ( alemán austriaco: [ˈlɛnsə ˈtɪrɪŋ] ; llamado así en honor a Josef Lense y Hans Thirring ) es una corrección relativista de la precesión de un giroscopio cerca de una gran masa giratoria como la Tierra. . Es un efecto de arrastre de marco gravitomagnético . Es una predicción de la relatividad general que consiste en precesiones seculares de la longitud del nodo ascendente y el argumento del pericentro de una partícula de prueba que orbita libremente alrededor de una masa central giratoria dotada de momento angular . ${\displaystyle S}$

La diferencia entre la precesión de De Sitter y el efecto Lense-Thirring es que el efecto de Sitter se debe simplemente a la presencia de una masa central, mientras que el efecto Lense-Thirring se debe a la rotación de la masa central. La precesión total se calcula combinando la precesión de De Sitter con la precesión de Lense-Thirring.

Según un análisis histórico de 2007 realizado por Herbert Pfister, ^[1] el efecto debería denominarse efecto Einstein -Thirring-Lense.

La métrica Lense-Thirring

El campo gravitacional de un cuerpo esférico giratorio de densidad constante fue estudiado por Lense y Thirring en 1918, en la aproximación de campo débil . Obtuvieron la métrica ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-\left(1+{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\,\mathrm {d} \sigma ^{2}+4G\epsilon _{ijk}S^{k}{\frac {x^{i}}{c^{3}r^{3}}}c\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x^{j},}$$

• ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$la métrica ,
• ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$el elemento de línea de espacio plano en tres dimensiones,
• ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$la posición "radial" del observador,
• ${\displaystyle c}$la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle G}$la constante gravitacional ,
• ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$el símbolo completamente antisimétrico de Levi-Civita ,
• ${\textstyle M=\int T^{00}\,\mathrm {d} ^{3}x}$la masa del cuerpo giratorio,
• ${\textstyle S_{k}=\int \epsilon _{klm}x^{l}T^{m0}\,\mathrm {d} ^{3}x}$el momento angular del cuerpo giratorio,
• ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$el tensor de energía-momento .

Lo anterior es la aproximación en campo débil de la solución completa de las ecuaciones de Einstein para un cuerpo en rotación, conocida como métrica de Kerr , que, debido a la dificultad de su solución, no se obtuvo hasta 1965.

El término Coriolis

El efecto de arrastre de fotogramas se puede demostrar de varias formas. Una forma es resolver las geodésicas ; entonces estos exhibirán un término similar a la fuerza de Coriolis , excepto que, en este caso (a diferencia de la fuerza de Coriolis estándar), la fuerza no es ficticia, sino que se debe al arrastre del marco inducido por el cuerpo giratorio. Entonces, por ejemplo, una geodésica que cae radialmente (instantáneamente) en el ecuador satisfará la ecuación ^[2]

$${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2{\frac {GJ}{c^{2}r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$

• ${\displaystyle t}$es la hora,
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo azimutal (ángulo longitudinal),
• ${\displaystyle J=\Vert S\Vert }$es la magnitud del momento angular del cuerpo masivo que gira.

Lo anterior se puede comparar con la ecuación estándar para el movimiento sujeto a la fuerza de Coriolis :

$${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$

¿Dónde está la velocidad angular del sistema de coordenadas giratorio? Tenga en cuenta que, en cualquier caso, si el observador no está en movimiento radial, es decir, si , no hay ningún efecto sobre el observador. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dr/dt=0}$

Precesión

El efecto de arrastre de cuadros hará que un giroscopio tenga precesión . La tasa de precesión está dada por ^[3]

$${\displaystyle \Omega ^{k}={\frac {G}{c^{2}r^{3}}}\left[S^{k}-3{\frac {(S\cdot x)x^{k}}{r^{2}}}\right],}$$

• ${\displaystyle \Omega }$es la velocidad angular de la precesión, un vector, y uno de sus componentes, ${\displaystyle \Omega _{k}}$
• ${\displaystyle S_{k}}$el momento angular del cuerpo que gira, como antes,
• ${\displaystyle S\cdot x}$el producto interno métrico plano ordinario de la posición y el momento angular.

Es decir, si el momento angular del giroscopio en relación con las estrellas fijas es , entonces precede como ${\displaystyle L^{i}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L^{i}}{\mathrm {d} t}}=\epsilon _{ijk}\Omega ^{j}L^{k}.}$$

La tasa de precesión está dada por

$${\displaystyle \epsilon _{ijk}\Omega ^{k}=\Gamma _{ij0},}$$

símbolo de ChristoffelGravitación^[3] ${\displaystyle \Gamma _{ij0}}$

Análisis gravitomagnético

Es popular en algunos círculos utilizar el enfoque gravitomagnético para las ecuaciones de campo linealizadas . La razón de esta popularidad debería ser inmediatamente evidente a continuación, al contrastarla con las dificultades de trabajar con las ecuaciones anteriores. La métrica linealizada se puede leer a partir de la métrica de Lense-Thirring proporcionada anteriormente, donde y . En este enfoque, se escribe la métrica linealizada, dada en términos de los potenciales gravitomagnéticos y es ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$

$${\displaystyle h_{00}={\frac {-2\phi }{c^{2}}}}$$

$${\displaystyle h_{0i}={\frac {2A_{i}}{c^{2}}},}$$

$${\displaystyle \phi ={\frac {-GM}{r}}}$$

$${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {G}{r^{3}c}}{\vec {S}}\times {\vec {r}}}$$

${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$

$${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {1}{2c}}{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$$

$${\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{2}}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$$

$${\displaystyle {\vec {B}}=-{\frac {G}{2cr^{3}}}\left[{\vec {S}}-3{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}}{r^{2}}}\right]}$$

precesión de Larmorrelación giromagnética

El análogo gravitomagnético de la fuerza de Lorentz viene dado por

$${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {E}}+4m{\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}},}$$

${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=-{\hat {r}}\,dr/dt}$

Ejemplo: el péndulo de Foucault

Para tener una idea de la magnitud del efecto, lo anterior se puede utilizar para calcular la tasa de precesión del péndulo de Foucault , ubicado en la superficie de la Tierra.

Para una bola sólida de densidad uniforme, como la Tierra, de radio , el momento de inercia viene dado por de modo que el valor absoluto del momento angular es con la velocidad angular de la bola que gira. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2MR^{2}/5,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Vert S\Vert =2MR^{2}\omega /5,}$ ${\displaystyle \omega }$

La dirección de giro de la Tierra puede tomarse como el eje z , mientras que el eje del péndulo es perpendicular a la superficie de la Tierra, en la dirección radial. Así, podemos tomar dónde está la latitud . De manera similar, la ubicación del observador es en la superficie terrestre . Esto deja la tasa de precesión como ${\displaystyle {\hat {z}}\cdot {\hat {r}}=\cos \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}={\frac {2}{5}}{\frac {GM\omega }{c^{2}R}}\cos \theta .}$$

Como ejemplo, se utiliza como referencia la latitud de la ciudad de Nijmegen en los Países Bajos. Esta latitud da un valor para la precesión Lense-Thirring

$${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}=2.2\cdot 10^{-4}{\text{ arcseconds}}/{\text{day}}.}$$

A este ritmo, un péndulo de Foucault tendría que oscilar durante más de 16.000 años para preceder 1 grado. A pesar de ser bastante pequeño, sigue siendo dos órdenes de magnitud mayor que la precesión de Thomas para un péndulo de este tipo.

Lo anterior no incluye la precesión de De Sitter ; sería necesario agregarlo para obtener las precesiones relativistas totales en la Tierra.

Verificación experimental

El efecto Lense-Thirring y el efecto del arrastre de fotograma en general continúan estudiándose experimentalmente. Hay dos escenarios básicos para las pruebas experimentales: la observación directa a través de satélites y naves espaciales que orbitan la Tierra, Marte o Júpiter, y la observación indirecta midiendo fenómenos astrofísicos, como los discos de acreción que rodean los agujeros negros y las estrellas de neutrones , o los chorros astrofísicos de los mismos.

El conjunto de instrumentos científicos de la nave espacial Juno caracterizará y explorará principalmente la estructura tridimensional de la magnetosfera polar , las auroras y la composición de masa de Júpiter. ^[4] Como Juno es una misión en órbita polar, será posible medir el arrastre del marco orbital , conocido también como precesión Lense-Thirring, causado por el momento angular de Júpiter. ^[5]

Los resultados de entornos astrofísicos se presentan después de la siguiente sección.

Entorno astrofísico

Una estrella que orbita un agujero negro supermasivo en rotación experimenta la precesión Lense-Thirring, lo que hace que su línea orbital de nodos precese a un ritmo ^[6]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} t}}={\frac {2GS}{c^{2}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {2G^{2}M^{2}\chi }{c^{3}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• a y e son el semieje mayor y la excentricidad de la órbita,
• M es la masa del agujero negro,
• χ es el parámetro de giro adimensional (0 <  χ  < 1).

Las estrellas en precesión también ejercen un par de torsión sobre el agujero negro, lo que hace que su eje de giro precese a un ritmo ^[7]

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {S} }{\mathrm {d} t}}={\frac {2G}{c^{2}}}\sum _{j}{\frac {\mathbf {L} _{j}\times \mathbf {S} }{a_{j}^{3}\left(1-e_{j}^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• L _j es el momento angular de la j -ésima estrella,
• a _j y e _j son su semieje mayor y su excentricidad.

Un disco de acreción gaseoso que está inclinado con respecto a un agujero negro en rotación experimentará la precesión Lense-Thirring, a una velocidad dada por la ecuación anterior, después de establecer e  = 0 e identificar a con el radio del disco. Debido a que la tasa de precesión varía con la distancia desde el agujero negro, el disco se "envolverá", hasta que la viscosidad fuerce al gas a un nuevo plano, alineado con el eje de giro del agujero negro (el "efecto Bardeen-Petterson"). ^[8]

Pruebas astrofísicas

La orientación de un chorro astrofísico puede utilizarse como evidencia para deducir la orientación de un disco de acreción ; una orientación del chorro que cambia rápidamente sugiere una reorientación del disco de acreción, como se describió anteriormente. Exactamente un cambio de este tipo se observó en 2019 con el binario de rayos X del agujero negro en V404 Cygni . ^[9]

Los púlsares emiten pulsos de radio que se repiten rápidamente con una regularidad extremadamente alta, que pueden medirse con una precisión de microsegundos a lo largo de años e incluso décadas. Un estudio de 2020 informa de la observación de un púlsar en una órbita estrecha con una enana blanca , con una precisión de submilisegundos durante dos décadas. La determinación precisa permite estudiar el cambio de los parámetros orbitales; estos confirman el funcionamiento del efecto Lense-Thirring en este entorno astrofísico. ^[10]

Puede ser posible detectar el efecto Lense-Thirring mediante mediciones a largo plazo de la órbita de la estrella S2 alrededor del agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea , utilizando el instrumento GRAVITY del Very Large Telescope . ^[11] La estrella orbita con un período de 16 años, y debería ser posible limitar el momento angular del agujero negro observando la estrella durante dos o tres períodos (32 a 48 años). ^[12]

Ver también

• Sonda de gravedad B

Referencias

1. Pfister, Herbert (noviembre de 2007). "Sobre la historia del llamado efecto Lense-Thirring". Relatividad General y Gravitación . 39 (11): 1735-1748. Código Bib : 2007GReGr..39.1735P. CiteSeerX  10.1.1.693.4061 . doi :10.1007/s10714-007-0521-4. S2CID  22593373.
2. Ronald Adler; Mauricio Bazin; Menahem Schiffer (1965). "Sección 7.7". Introducción a la Relatividad General . Compañía de libros McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4.
3. Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973). "Capítulo 19". Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0334-3.
4. "Objetivos científicos de Juno". Universidad de Wisconsin-Madison . Archivado desde el original el 16 de octubre de 2008 . Consultado el 13 de octubre de 2008 .
5. Iorio, L. (agosto de 2010). "Juno, el momento angular de Júpiter y el efecto Lense-Thirring". Nueva Astronomía . 15 (6): 554–560. arXiv : 0812.1485 . Código Bib : 2010NuevoA...15..554I. doi : 10.1016/j.newast.2010.01.004.
6. Merritt, David (2013). Dinámica y evolución de los núcleos galácticos. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press . pag. 169.ISBN​ 978-1-4008-4612-2.
7. Merritt, David ; Vasiliev, Eugene (noviembre de 2012). "Evolución del giro de agujeros negros supermasivos y núcleos galácticos". Revisión física D. 86 (10): 102002. arXiv : 1205.2739 . Código Bib : 2012PhRvD..86j2002M. doi : 10.1103/PhysRevD.86.022002. S2CID  118452256.
8. Bardeen, James M.; Petterson, Jacobus A. (enero de 1975). "El efecto Lense-Thirring y los discos de acreción alrededor de los agujeros negros de Kerr". Las cartas del diario astrofísico . 195 : L65. Código Bib : 1975ApJ...195L..65B. doi : 10.1086/181711 .
9. James CA Miller-Jones; Alexandra J. Tetarenko; Gregorio R. Sivakoff; Mateo J. Middleton; Diego Altamirano; Gemma E. Anderson; Tomaso M. Belloni; Rob P. Defensa; Peter G. Jonker; Elmar G. Körding; Hans A. Krimm; Dipankar Maitra; Sera Markoff; Simone Migliari; Kunal P. Mooley; Michael P. Rupen; David M. Russell; Thomas D. Russell; Craig L. Sarazin; Roberto Soria; Valeriu Tudose (29 de abril de 2019). "Una orientación del chorro que cambia rápidamente en el sistema de agujeros negros de masa estelar V404 Cygni" (PDF) . Naturaleza . 569 (7756): 374–377. arXiv : 1906.05400 . Código Bib :2019Natur.569..374M. doi :10.1038/s41586-019-1152-0. PMID  31036949. S2CID  139106116.
10. "El espacio-tiempo gira alrededor de una estrella muerta, lo que demuestra que Einstein vuelve a tener razón". Espacio.com . 2020-01-30.
11. Eisenhauer, Frank; et al. (Marzo de 2011). "GRAVEDAD: Observando el universo en movimiento". El mensajero . 143 : 16-24. Código bibliográfico : 2011 Msngr.143...16E.
12. Tierra, Marion; Vicente, Federico H.; Paumard, Thibaut; Perrin, chico (2016). "Detección de efectos relativistas en la órbita S2 con GRAVITY". Actas de la Unión Astronómica Internacional . Prensa de la Universidad de Cambridge (CUP). 11 (S322): 25–30. doi : 10.1017/s174392131601245x . ISSN  1743-9213.

enlaces externos

• (alemán) Explicación del efecto Thirring-Lense Tiene imágenes para el ejemplo del satélite.