Gravitoelectromagnetismo

Analogías entre las ecuaciones de campo de Maxwell y Einstein

Diagrama sobre la confirmación del gravitomagnetismo mediante Gravity Probe B

El gravitoelectromagnetismo , abreviado GEM , se refiere a un conjunto de analogías formales entre las ecuaciones del electromagnetismo y la gravitación relativista ; específicamente: entre las ecuaciones de campo de Maxwell y una aproximación, válida bajo ciertas condiciones, a las ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general . Gravitomagnetismo es un término ampliamente utilizado que se refiere específicamente a los efectos cinéticos de la gravedad, en analogía con los efectos magnéticos de una carga eléctrica en movimiento. ^[1] La versión más común de GEM es válida solo lejos de fuentes aisladas y para partículas de prueba que se mueven lentamente .

La analogía y las ecuaciones que difieren sólo en algunos pequeños factores fueron publicadas por primera vez en 1893, antes de la relatividad general, por Oliver Heaviside como una teoría separada que amplía la ley de Newton. ^{[2] [ se necesita una mejor fuente ]}

Fondo

Esta reformulación aproximada de la gravitación descrita por la relatividad general en el límite del campo débil hace que aparezca un campo aparente en un marco de referencia diferente al de un cuerpo inercial que se mueve libremente. Este campo aparente puede describirse mediante dos componentes que actúan respectivamente como los campos eléctrico y magnético del electromagnetismo, y por analogía se denominan campos gravitoeléctrico y gravitomagnético , ya que surgen alrededor de una masa de la misma manera que una carga eléctrica en movimiento es la Fuente de campos eléctricos y magnéticos. La principal consecuencia del campo gravitomagnético , o aceleración dependiente de la velocidad, es que un objeto en movimiento cerca de un objeto giratorio masivo, no axisimétrico, experimentará una aceleración no predicha por un campo de gravedad puramente newtoniano (gravitoeléctrico). Predicciones más sutiles, como la rotación inducida de un objeto que cae y la precesión de un objeto que gira, se encuentran entre las últimas predicciones básicas de la relatividad general que se prueban directamente.

Las validaciones indirectas de los efectos gravitomagnéticos se han derivado de análisis de chorros relativistas . Roger Penrose había propuesto un mecanismo que se basa en efectos relacionados con el arrastre de cuadros para extraer energía y impulso de los agujeros negros en rotación . ^[3] Reva Kay Williams , Universidad de Florida, desarrolló una prueba rigurosa que validó el mecanismo de Penrose . ^[4] Su modelo mostró cómo el efecto Lense-Thirring podría explicar las altas energías y luminosidades observadas de los cuásares y los núcleos galácticos activos ; los chorros colimados alrededor de su eje polar; y los chorros asimétricos (en relación con el plano orbital). ^{[5] [6]} Todas esas propiedades observadas podrían explicarse en términos de efectos gravitomagnéticos. ^[7] La ​​aplicación de Williams del mecanismo de Penrose se puede aplicar a agujeros negros de cualquier tamaño. ^[8] Los chorros relativistas pueden servir como la forma más grande y brillante de validaciones del gravitomagnetismo.

Un grupo en la Universidad de Stanford está actualmente ^{[ ¿cuándo? ]} analizando datos de la primera prueba directa de GEM, el experimento satelital Gravity Probe B , para ver si son consistentes con el gravitomagnetismo. ^[9] La operación de alcance láser lunar del Observatorio Apache Point también planea observar los efectos del gravitomagnetismo. ^{[ cita necesaria ]}

Análogos físicos de campos ^[10]

• 
  Gravitomagnetismo : campo gravitomagnético H debido al momento angular (total) J.
• 
  Electromagnetismo - campo magnético B debido a un momento dipolar m ...
• 
  ... o, de manera equivalente, I actual , mismo perfil de campo y generación de campo debido a la rotación.
• 
  Mecánica de fluidos : arrastre de fluido rotacionalde una esfera sólida sumergida en fluido, direcciones y sentidos de rotación análogos como magnetismo, interacción análoga al arrastre de marco para la interacción gravitomagnética.

Ecuaciones

Según la relatividad general , el campo gravitacional producido por un objeto en rotación (o cualquier masa-energía en rotación) puede, en un caso límite particular, describirse mediante ecuaciones que tienen la misma forma que en el electromagnetismo clásico . A partir de la ecuación básica de la relatividad general, la ecuación de campo de Einstein , y suponiendo un campo gravitacional débil o un espacio-tiempo razonablemente plano , se pueden derivar los análogos gravitacionales de las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo , llamadas "ecuaciones GEM". Las ecuaciones de GEM comparadas con las ecuaciones de Maxwell son: ^{[11] [12]}

dónde:

• E _g es el campo gravitoeléctrico ( campo gravitacional convencional ), con unidad SI m⋅s ⁻²
• E es el campo eléctrico
• B _g es el campo gravitomagnético, con unidad SI s ⁻¹
• B es el campo magnético
• ρ _g es la densidad de masa con, unidad SI kg⋅m ⁻³
• ρ es la densidad de carga
• J _g es la densidad de corriente másica o flujo de masa ( J _g = ρ _g v _ρ , donde v _ρ es la velocidad del flujo másico), con unidad SI kg⋅m ⁻² ⋅s ⁻¹
• J es la densidad de corriente eléctrica
• G es la constante gravitacional
• ε ₀ es la permitividad del vacío
• c es tanto la velocidad de propagación de la gravedad como la velocidad de la luz .

Potenciales

La ley de inducción de Faraday (tercera línea de la tabla) y la ley de Gauss para el campo gravitomagnético (segunda línea de la tabla) se pueden resolver mediante la definición de potencial de gravitación y potencial vectorial de acuerdo con: ${\displaystyle \phi _{\text{g}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{g}}:=-{\mbox{grad}}~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}=-\nabla ~\phi _{\text{g}}-{\frac {\partial \mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t}}}$

y:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}:={\mbox{rot}}~\mathbf {A} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}}$

Insertando estos cuatro potenciales en la ley de Gauss para el campo gravitacional (primera línea de la tabla) y la ley de circuitos de Ampère (cuarta línea de la tabla) y aplicando el calibre de Lorenz se obtienen las siguientes ecuaciones de ondas no homogéneas: ${\displaystyle \left(\phi _{\text{g}},\mathbf {A} _{\text{g}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+{\mbox{div}}~\left({\mbox{grad}}~\phi _{\text{g}}\right)=4\pi G\rho _{g}}$

${\displaystyle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} _{\text{g}}}{\partial t^{2}}}+{\mbox{div}}~\left({\mbox{grad}}~\mathbf {A} _{\text{g}}\right)={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {v} }$

Para una situación estacionaria ( ) se obtiene la ecuación de Poisson de la teoría clásica de la gravitación. En el vacío ( ) se obtiene una ecuación de onda en condiciones no estacionarias. Por tanto, GEM predice la existencia de ondas gravitacionales . De esta manera, GEM puede considerarse como una generalización de la teoría de la gravitación de Newton. ${\displaystyle \partial \phi _{\text{g}}/\partial t=0}$ ${\displaystyle \rho _{\text{g}}=0}$

La ecuación de onda para el potencial gravitomagnético también se puede resolver para un cuerpo esférico en rotación (que en realidad es un caso estacionario), lo que genera momentos gravitomagnéticos. ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

fuerza de lorentz

Para una partícula de prueba cuya masa m es "pequeña", en un sistema estacionario, la fuerza neta (Lorentz) que actúa sobre ella debido a un campo GEM se describe mediante el siguiente análogo GEM de la ecuación de fuerza de Lorentz :

dónde:

• v es la velocidad de la partícula de prueba
• m es la masa de la partícula de prueba
• q es la carga eléctrica de la partícula de prueba.

Vector de puntería

El vector GEM Poynting comparado con el vector electromagnético de Poynting viene dado por: ^[13]

Escalado de campos

La literatura no adopta una escala consistente para los campos gravitoeléctricos y gravitomagnéticos, lo que dificulta la comparación. Por ejemplo, para estar de acuerdo con los escritos de Mashhoon, todos los casos de B _g en las ecuaciones GEM deben multiplicarse por -1/2cy E _g por −1. Estos factores modifican de diversas formas los análogos de las ecuaciones de la fuerza de Lorentz. Algunas de estas opciones de escala no permitirán que todas las ecuaciones GEM y EM sean perfectamente análogas. También surgen discrepancias de orden superior en los factores porque la fuente del campo gravitacional es el tensor de tensión-energía de segundo orden , a diferencia de que la fuente del campo electromagnético es el tensor de cuatro corrientes de primer orden. Esta diferencia se vuelve más clara cuando se compara la no invariancia de la masa relativista con la invariancia de la carga eléctrica . Esto se remonta al carácter de espín 2 del campo gravitacional, en contraste con el electromagnetismo que es un campo de espín 1. ^[14] (Consulte Ecuaciones de ondas relativistas para obtener más información sobre los campos "giro 1" y "giro 2").

Efectos de orden superior

Algunos efectos gravitomagnéticos de orden superior pueden reproducir efectos que recuerdan las interacciones de cargas polarizadas más convencionales. Por ejemplo, si dos ruedas giran sobre un eje común, la atracción gravitacional mutua entre las dos ruedas será mayor si giran en direcciones opuestas que en la misma dirección ^{[ cita necesaria ]} . Esto puede expresarse como un componente gravitomagnético atractivo o repulsivo.

Los argumentos gravitomagnéticos también predicen que una masa toroidal flexible o fluida que sufre una aceleración rotacional del eje menor (acelerando la rotación del " anillo de humo ") tenderá a tirar de la materia a través de la garganta (un caso de arrastre de marco rotacional, que actúa a través de la garganta). En teoría, esta configuración podría usarse para acelerar objetos (a través de la garganta) sin que dichos objetos experimenten fuerzas g . ^[15]

Considere una masa toroidal con dos grados de rotación (tanto en el eje mayor como en el eje menor, ambos girando al revés y girando). Esto representa un "caso especial" en el que los efectos gravitomagnéticos generan un campo gravitacional quiral en forma de sacacorchos alrededor del objeto. Normalmente se esperaría que las fuerzas de reacción al arrastre en los ecuadores interior y exterior fueran iguales y opuestas en magnitud y dirección respectivamente en el caso más simple que involucra sólo el giro del eje menor. Cuando ambas rotaciones se aplican simultáneamente, se puede decir que estos dos conjuntos de fuerzas de reacción ocurren a diferentes profundidades en un campo de Coriolis radial que se extiende a través del toro giratorio, lo que hace más difícil establecer que la cancelación es completa. ^{[ cita necesaria ]}

Aún no se ha logrado modelar este complejo comportamiento como un problema de espacio-tiempo curvo y se cree que es muy difícil. ^{[ cita necesaria ]}

Campos gravitomagnéticos de objetos astronómicos.

Un cuerpo esférico en rotación con una distribución de densidad homogénea produce un potencial gravitomagnético estacionario que se describe mediante:

${\displaystyle -{\mbox{div}}~\left({\mbox{grad}}~\mathbf {A} _{\text{g}}\right)={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {v} }$

Debido a la velocidad angular del cuerpo, la velocidad dentro del cuerpo se puede describir como . Por lo tanto ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

${\displaystyle -{\mbox{div}}~\left({\mbox{grad}}~\mathbf {A} _{\text{g}}\right)={\frac {4\pi G}{c^{2}}}\rho _{g}\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$

debe resolverse para obtener el potencial gravitomagnético . La solución analítica fuera del cuerpo es (ver por ejemplo ^[16] ): ${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{g}}=-{\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} \times \mathbf {r} }{r^{3}}}\quad {\text{with}}\quad \mathbf {L} ={\frac {2}{5}}mR^{2}\mathbf {\omega } \quad {\text{or}}\quad L=I_{\text{ball}}\omega ={\frac {2mR^{2}}{5}}{\frac {2\pi }{T}}\quad }$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {L} }$es el vector de momento angular ;
• ${\displaystyle I_{\text{ball}}={\frac {2mR^{2}}{5}}}$es el momento de inercia de un cuerpo con forma de bola (ver: lista de momentos de inercia );
• ${\displaystyle \omega \ }$es la velocidad angular ;
• m es la masa ;
• R es el radio ;
• T es el período de rotación.

La fórmula para el campo gravitomagnético B _g ahora se puede obtener mediante:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}=\nabla \times \mathbf {A} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} -3(\mathbf {L} \cdot \mathbf {r} /r)\mathbf {r} /r}{r^{3}}},}$

Es exactamente la mitad de la tasa de precesión de Lense-Thirring . Esto sugiere que el análogo gravitomagnético de la relación giromagnética es (¡curiosamente!) dos. Este factor de dos se puede explicar de forma totalmente análoga al factor g del electrón teniendo en cuenta cálculos relativistas. En el plano ecuatorial, r y L son perpendiculares, por lo que su producto escalar desaparece y esta fórmula se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {B} _{\text{g}}={\frac {G}{2c^{2}}}{\frac {\mathbf {L} }{r^{3}}},}$

Las ondas gravitacionales tienen componentes gravitomagnéticos y gravitoeléctricos iguales. ^[17]

Tierra

Por tanto, la magnitud del campo gravitomagnético de la Tierra en su ecuador es:

${\displaystyle B_{\text{g, Earth}}={\frac {G}{5c^{2}}}{\frac {m}{r}}{\frac {2\pi }{T}}={\frac {2\pi rg}{5c^{2}T}},}$

¿Dónde está la gravedad de la Tierra ? La dirección del campo coincide con la dirección del momento angular, es decir, el norte. ${\displaystyle g=G{\frac {m}{r^{2}}}}$

De este cálculo se deduce que el campo gravitomagnético ecuatorial de la Tierra es aproximadamente1,012 × 10 ⁻¹⁴  Hz , ^[18] o3,1 × 10 ⁻⁷  g / c . Un campo de este tipo es extremadamente débil y requiere mediciones extremadamente sensibles para detectarlo. Un experimento para medir dicho campo fue la misión Gravity Probe B.

Púlsar

Si se utiliza la fórmula anterior con el púlsar PSR J1748-2446ad (que gira 716 veces por segundo), suponiendo un radio de 16 km y dos masas solares, entonces

${\displaystyle B_{\text{g}}={\frac {2\pi Gm}{5rc^{2}T}}}$

equivale a unos 166 Hz. Esto sería fácil de notar. Sin embargo, el púlsar gira a un cuarto de la velocidad de la luz en el ecuador y su radio es sólo tres veces mayor que su radio de Schwarzschild . Cuando en un sistema existen movimientos tan rápidos y campos gravitacionales tan fuertes, el enfoque simplificado de separar las fuerzas gravitomagnéticas y gravitoeléctricas sólo puede aplicarse como una aproximación muy aproximada.

Falta de invariancia

Si bien las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones de Lorentz , las ecuaciones de GEM no lo son. El hecho de que ρ _g y j _g no formen un cuatro vectores (en cambio, son simplemente una parte del tensor tensión-energía ) es la base de esta diferencia. ^{[ cita necesaria ]}

Aunque GEM puede mantenerse aproximadamente en dos sistemas de referencia diferentes conectados por un impulso de Lorentz , no hay manera de calcular las variables GEM de uno de esos sistemas a partir de las variables GEM del otro, a diferencia de la situación con las variables del electromagnetismo. De hecho, sus predicciones (sobre qué movimiento es caída libre) probablemente entrarán en conflicto entre sí.

Tenga en cuenta que las ecuaciones GEM son invariantes bajo traslaciones y rotaciones espaciales, pero no bajo impulsos y transformaciones curvilíneas más generales. Las ecuaciones de Maxwell se pueden formular de una manera que las haga invariantes bajo todas estas transformaciones de coordenadas.

Ver también

• Anti gravedad
• gravedad artificial
• Arrastrar fotogramas
• efecto geodésico
• Radiación gravitacional
• Sonda de gravedad B
• Teoría de Kaluza-Klein
• Gravedad linealizada
• Dinámica newtoniana modificada
• Campos gravitacionales no relativistas
• Velocidad de la gravedad § Analogías electrodinámicas
• Espacio-tiempo estacionario

Referencias

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2. O. Heaviside (1893). Teoría electromagnética: una analogía gravitacional y electromagnética. vol. 1. El electricista. págs. 455–464.
3. R. Penrose (1969). "Colapso gravitacional: el papel de la relatividad general". Rivista del Nuevo Cimento . Número especial 1: 252–276. Código bibliográfico : 1969NCimR...1..252P.
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Otras lecturas

Libros

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• Antoine Acke (2018). Gravitación explicada por el gravitoelectromagnetismo . REGAZO. ISBN 978-613-9-93065-4.

Documentos

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enlaces externos

• Sonda de gravedad B: probando el universo de Einstein
• Noticias sobre los efectos gravitomagnéticos superconductores giroscópicos sobre el resultado provisional de la investigación de la Agencia Espacial Europea ( esa )
• En busca del gravitomagnetismo Archivado el 9 de octubre de 2006 en Wayback Machine , NASA, 20 de abril de 2004.
• Momento gravitomagnético de Londres: ¿nueva prueba de relatividad general?
• Medición de campos gravitomagnéticos y de aceleración alrededor de superconductores giratorios M. Tajmar, et al., 17 de octubre de 2006.
• Prueba del efecto Lense-Thirring con la sonda MGS Mars, New Scientist , enero de 2007.