Vector de puntería

Medida del flujo de energía electromagnética direccional.

Radiación dipolo de un dipolo verticalmente en la página que muestra la intensidad del campo eléctrico (color) y el vector de Poynting (flechas) en el plano de la página.

En física , el vector de Poynting (o vector de Umov-Poynting ) representa el flujo de energía direccional (la transferencia de energía por unidad de área, por unidad de tiempo) o flujo de potencia de un campo electromagnético . La unidad SI del vector de Poynting es el vatio por metro cuadrado (W/m ² ); kg/s ³ en unidades básicas del SI. Lleva el nombre de su descubridor John Henry Poynting, quien lo derivó por primera vez en 1884. ^{[1] : 132} A Nikolay Umov también se le atribuye la formulación del concepto. ^[2] Oliver Heaviside también lo descubrió de forma independiente en la forma más general que reconoce la libertad de agregar el rizo de un campo vectorial arbitrario a la definición. ^[3] El vector de Poynting se utiliza en todo el electromagnetismo junto con el teorema de Poynting , la ecuación de continuidad que expresa la conservación de la energía electromagnética , para calcular el flujo de potencia en los campos electromagnéticos.

Definición

En el artículo original de Poynting y en la mayoría de los libros de texto, el vector de Poynting se define como el producto cruzado ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$

vectores

• E es el vector del campo eléctrico ;
• H es el vector de campo auxiliar o campo magnetizante del campo magnético .

Esta expresión a menudo se llama forma de Abraham y es la más utilizada. ^[7] El vector de Poynting suele denotarse por S o N.

En términos simples, el vector de Poynting S representa la dirección y la tasa de transferencia de energía, es decir, potencia , debido a campos electromagnéticos en una región del espacio que puede estar vacía o no. Más rigurosamente, es la cantidad que debe utilizarse para que el teorema de Poynting sea válido. El teorema de Poynting esencialmente dice que la diferencia entre la energía electromagnética que ingresa a una región y la energía electromagnética que sale de una región debe ser igual a la energía convertida o disipada en esa región, es decir, convertida en una forma diferente de energía (a menudo calor). Entonces, si se acepta la validez de la descripción vectorial de Poynting de la transferencia de energía electromagnética, entonces el teorema de Poynting es simplemente una declaración de la conservación de la energía .

Si la energía electromagnética no se gana ni se pierde con otras formas de energía dentro de alguna región (por ejemplo, energía mecánica o calor), entonces la energía electromagnética se conserva localmente dentro de esa región, lo que produce una ecuación de continuidad como un caso especial del teorema de Poynting:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$

${\displaystyle u}$

Ejemplo: flujo de potencia en un cable coaxial

Aunque los problemas en electromagnetismo con geometrías arbitrarias son notoriamente difíciles de resolver, podemos encontrar una solución relativamente simple en el caso de la transmisión de energía a través de una sección de cable coaxial analizada en coordenadas cilíndricas como se muestra en el diagrama adjunto. Podemos aprovechar la simetría del modelo: no depende de θ (simetría circular) ni de Z (posición a lo largo del cable). El modelo (y la solución) se puede considerar simplemente como un circuito de CC sin dependencia del tiempo, pero la siguiente solución se aplica igualmente bien a la transmisión de energía de radiofrecuencia, siempre y cuando consideremos un instante de tiempo (durante el cual el voltaje y la la corriente no cambia), y sobre un segmento de cable suficientemente corto (mucho más pequeño que una longitud de onda, para que estas cantidades no dependan de Z ). Se especifica que el cable coaxial tiene un conductor interno de radio R ₁ y un conductor externo cuyo radio interno es R ₂ (su espesor más allá de R ₂ no afecta el siguiente análisis). Entre R ₁ y R ₂ el cable contiene un material dieléctrico ideal de permitividad relativa ε _r y asumimos conductores que son no magnéticos (por lo tanto μ = μ 0 ) y sin pérdidas (conductores perfectos), todos los cuales son buenas aproximaciones a los valores reales. -cable coaxial mundial en situaciones típicas.

Ilustración del flujo de potencia electromagnética dentro de un cable coaxial según el vector de Poynting S , calculado utilizando el campo eléctrico E (debido a la tensión V ) y el campo magnético H (debido a la corriente I).

Transmisión de energía CC a través de un cable coaxial que muestra la intensidad relativa de los campos eléctrico ( ) y magnético ( ) y el vector de Poynting resultante ( ) en un radio r desde el centro del cable coaxial. La línea magenta discontinua muestra la transmisión de potencia acumulada dentro del radio r , la mitad del cual fluye dentro de la media geométrica de R ₁ y R ₂ . ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle H_{\theta }}$ ${\displaystyle S_{z}=E_{r}\cdot H_{\theta }}$

El conductor central se mantiene a un voltaje V y atrae una corriente I hacia la derecha, por lo que esperamos un flujo de potencia total de P = V · I de acuerdo con las leyes básicas de la electricidad . Sin embargo, al evaluar el vector de Poynting podemos identificar el perfil del flujo de energía en términos de los campos eléctricos y magnéticos dentro del cable coaxial. Los campos eléctricos son, por supuesto, cero dentro de cada conductor, pero entre los conductores ( ) la simetría dicta que están estrictamente en la dirección radial y se puede demostrar (usando la ley de Gauss ) que deben obedecer a la siguiente forma: ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$

$${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$

WV ${\displaystyle r=R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$

$${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$

$${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$

El campo magnético, nuevamente por simetría, sólo puede ser distinto de cero en la dirección θ , es decir, un campo vectorial que gira alrededor del conductor central en cada radio entre R ₁ y R ₂ . Dentro de los propios conductores, el campo magnético puede ser cero o no, pero esto no es motivo de preocupación ya que el vector de Poynting en estas regiones es cero debido a que el campo eléctrico es cero. Fuera de todo el cable coaxial, el campo magnético es idénticamente cero ya que los caminos en esta región encierran una corriente neta de cero (+ I en el conductor central y − I en el conductor exterior), y nuevamente el campo eléctrico es cero allí de todos modos. Usando la ley de Ampère en la región de R ₁ a R ₂ , que encierra la corriente + I en el conductor central pero sin contribución de la corriente en el conductor exterior, encontramos en el radio r :

$${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$

ZrS

$${\displaystyle S_{z}(r)=E_{r}(r)H_{\theta }(r)={\frac {W}{r}}{\frac {I}{2\pi r}}={\frac {W\,I}{2\pi r^{2}}}}$$

WV.totalA

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$

Sustituyendo la solución anterior por la constante W encontramos:

$${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$

Otros ejemplos similares en los que se puede calcular analíticamente el resultado P = V · I son: la línea de transmisión de placas paralelas, ^[8] usando coordenadas cartesianas , y la línea de transmisión de dos hilos, ^[9] usando coordenadas cilíndricas bipolares .

Otras formas

En la versión "microscópica" de las ecuaciones de Maxwell, esta definición debe ser reemplazada por una definición en términos del campo eléctrico E y la densidad de flujo magnético B (descrita más adelante en el artículo).

También es posible combinar el campo de desplazamiento eléctrico D con el flujo magnético B para obtener la forma de Minkowski del vector de Poynting, o utilizar D y H para construir otra versión más. La elección ha sido controvertida: Pfeifer et al. ^[10] resumen y, hasta cierto punto, resuelven la disputa de un siglo de duración entre los defensores de las formas de Abraham y Minkowski (ver Controversia Abraham-Minkowski ).

El vector de Poynting representa el caso particular de un vector de flujo de energía para energía electromagnética. Sin embargo, cualquier tipo de energía tiene su dirección de movimiento en el espacio, así como su densidad, por lo que también se pueden definir vectores de flujo de energía para otros tipos de energía, por ejemplo, para la energía mecánica . El vector de Umov-Poynting ^[11] descubierto por Nikolay Umov en 1874 describe el flujo de energía en medios líquidos y elásticos de una manera completamente generalizada.

Interpretación

El vector de Poynting aparece en el teorema de Poynting (consulte ese artículo para conocer la derivación), una ley de conservación de energía:

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$

J _fdensidad de corrientecargas libresuno dispersivos , dada por

$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$

• E es el campo eléctrico;
• D es el campo de desplazamiento eléctrico;
• B es la densidad de flujo magnético;
• H es el campo magnetizante. ^{[12] : 258–260}

El primer término en el lado derecho representa el flujo de energía electromagnética en un pequeño volumen, mientras que el segundo término resta el trabajo realizado por el campo sobre las corrientes eléctricas libres, que de este modo sale de la energía electromagnética como disipación , calor, etc. Por definición, las corrientes eléctricas ligadas no se incluyen en este término y, en cambio, contribuyen a S y u .

Para materiales lineales, no dispersivos e isotrópicos (por simplicidad), las relaciones constitutivas se pueden escribir como

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$

• ε es la permitividad del material;
• μ es la permeabilidad del material. ^{[12] : 258–260}

Aquí ε y μ son constantes escalares de valores reales independientes de la posición, dirección y frecuencia.

En principio, esto limita el teorema de Poynting en esta forma a campos en el vacío y materiales lineales no dispersivos ^{[ se necesita aclaración ]} . En determinadas circunstancias es posible una generalización a materiales dispersivos a costa de términos adicionales. ^{[12] : 262–264}

Una consecuencia de la fórmula de Poynting es que para que el campo electromagnético realice trabajo, deben estar presentes tanto el campo magnético como el eléctrico. El campo magnético por sí solo o el campo eléctrico por sí solos no pueden realizar ningún trabajo. ^[13]

ondas planas

En una onda plana electromagnética que se propaga en un medio isotrópico sin pérdidas, el vector de Poynting instantáneo siempre apunta en la dirección de propagación mientras oscila rápidamente en magnitud. Esto se puede ver simplemente dado que en una onda plana, la magnitud del campo magnético H ( r , t ) está dada por la magnitud del vector del campo eléctrico E ( r , t ) dividida por η , la impedancia intrínseca de la transmisión. medio:

$${\displaystyle |\mathbf {H} |={\frac {|\mathbf {E} |}{\eta }},}$$

Unnorma vectorialAEHXYEHZ positiva:

$${\displaystyle \left|{\mathsf {S_{z}}}\right|=\left|{\mathsf {E_{x}}}{\mathsf {H_{y}}}\right|={\frac {\left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}}{\eta }}.}$$

Para encontrar la potencia promediada en el tiempo en la onda plana es necesario promediar el período de la onda (la frecuencia inversa de la onda):

$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\left\langle \left|{\mathsf {E_{x}}}\right|^{2}\right\rangle }{\eta }}={\frac {\mathsf {E_{\text{rms}}^{2}}}{\eta }},}$$

E _rmsmedio cuadráticoEtE _picoE _rms ${\displaystyle {\mathsf {E_{peak}}}/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle \left\langle {\mathsf {S_{z}}}\right\rangle ={\frac {\mathsf {E_{peak}^{2}}}{2\eta }}.}$$

E _rmsηimpedancia del espacio libre η ₀  ε _r ${\displaystyle {\mathsf {n}}={\sqrt {\epsilon _{r}}}}$

$${\displaystyle \eta ={\frac {\eta _{0}}{\sqrt {\epsilon _{r}}}}.}$$

En óptica, el valor del flujo radiado que cruza una superficie, por lo tanto el componente promedio del vector de Poynting en la dirección normal a esa superficie, se conoce técnicamente como irradiancia , más a menudo simplemente se hace referencia a ella como intensidad (un término algo ambiguo).

Formulación en términos de campos microscópicos.

La versión "microscópica" (diferencial) de las ecuaciones de Maxwell admite sólo los campos fundamentales E y B , sin un modelo incorporado de medios materiales. Sólo se utilizan la permitividad y la permeabilidad del vacío , y no hay D ni H. Cuando se utiliza este modelo, el vector de Poynting se define como

$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$$

• μ ₀ es la permeabilidad al vacío ;
• E es el vector del campo eléctrico;
• B es el flujo magnético.

Esta es en realidad la expresión general del vector de Poynting ^{[ dudoso ]} . ^[14] La forma correspondiente del teorema de Poynting es

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}$$

Jdensidad de corriente totalu

$${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}|\mathbf {B} |^{2}\right)\!,}$$

ε ₀permitividad del vacíolas ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente totalesde fuerza de Lorentz .

Las dos definiciones alternativas del vector de Poynting son iguales en el vacío o en materiales no magnéticos, donde B = μ ₀ H . En todos los demás casos, se diferencian en que S = (1/ μ ₀ ) E × B y la u correspondiente son puramente radiativas, ya que el término de disipación − J ⋅ E cubre la corriente total, mientras que la definición E × H tiene contribuciones de corrientes ligadas que luego se excluyen del término de disipación. ^[15]

Dado que sólo los campos microscópicos E y B ocurren en la derivación de S = (1/ μ ₀ ) E × B y la densidad de energía, se evitan suposiciones sobre cualquier material presente. El vector, el teorema y la expresión de Poynting para la densidad de energía son universalmente válidos en el vacío y en todos los materiales. ^[15]

Vector de Poynting promediado en el tiempo

La forma anterior para el vector de Poynting representa el flujo de potencia instantáneo debido a campos eléctricos y magnéticos instantáneos . Más comúnmente, los problemas en electromagnetismo se resuelven en términos de campos que varían sinusoidalmente a una frecuencia específica. Los resultados pueden luego aplicarse de manera más general, por ejemplo, representando la radiación incoherente como una superposición de ondas de diferentes frecuencias y con amplitudes fluctuantes.

Por lo tanto, no estaríamos considerando las instantáneas E ( t ) y H ( t ) utilizadas anteriormente, sino más bien una amplitud (vectorial) compleja para cada una que describe la fase (así como la amplitud) de una onda coherente usando notación fasorial . Estos vectores de amplitud complejos no son funciones del tiempo, ya que se entiende que se refieren a oscilaciones a lo largo de todo el tiempo. Se entiende _que un fasor como Em significa un campo que varía sinusoidalmente cuya amplitud instantánea E ( t ) sigue la parte real de Em e jωt donde ω es la frecuencia ₍  ^en radianes ) de la onda sinusoidal que se está considerando.

En el dominio del tiempo, se verá que el flujo de potencia instantáneo fluctuará a una frecuencia de 2 ω . Pero lo que normalmente interesa es el flujo de energía promedio en el que no se consideran esas fluctuaciones. En las matemáticas siguientes, esto se logra integrando durante un ciclo completo T = 2 π / ω . La siguiente cantidad, todavía denominada "vector de Poynting", se expresa directamente en términos de fasores como:

$${\displaystyle \mathbf {S} _{\mathrm {m} }={\tfrac {1}{2}}\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*},}$$

donde ^∗ denota el conjugado complejo. El flujo _de potencia promediado en el tiempo (según el vector instantáneo de Poynting promediado durante un ciclo completo, por ejemplo) viene dado entonces por la parte real de Sm . La parte imaginaria normalmente se ignora, sin embargo, significa "potencia reactiva", como la interferencia debida a una onda estacionaria o al campo cercano de una antena. En una sola onda plana electromagnética (en lugar de una onda estacionaria que puede describirse como dos ondas que viajan en direcciones opuestas), E y H están exactamente en fase, por lo que S _m es simplemente un número real según la definición anterior.

La equivalencia de Re( S _m ) con el promedio temporal del vector instantáneo de Poynting S se puede mostrar de la siguiente manera.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} (t)&=\mathbf {E} (t)\times \mathbf {H} (t)\\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\times {\tfrac {1}{2}}\!\left(\mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{j\omega t}+\mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{4}}\!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}+\mathbf {E} _{\mathrm {m} }^{*}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }e^{2j\omega t}\right)\!.\end{aligned}}}$$

El promedio del vector de Poynting instantáneo S a lo largo del tiempo viene dado por:

$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\,dt={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E} _{\mathrm {m} }\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times {\mathbf {H} _{\mathrm {m} }}e^{2j\omega t}\right)\right]dt.}$$

El segundo término es el componente de doble frecuencia que tiene un valor promedio de cero, por lo que encontramos:

$${\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle =\operatorname {Re} \!\left({\tfrac {1}{2}}{\mathbf {E} _{\mathrm {m} }}\times \mathbf {H} _{\mathrm {m} }^{*}\right)=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {S} _{\mathrm {m} }\right)}$$

Según algunas convenciones, el factor 1/2 en la definición anterior puede omitirse. Se requiere la multiplicación por 1/2 para describir adecuadamente el flujo de potencia, ya que las magnitudes de E _m y H _m se refieren a los campos máximos de las cantidades oscilantes. Si más bien los campos se describen en términos de sus valores cuadráticos medios (RMS) (que son cada uno más pequeños por el factor ), entonces el flujo de potencia promedio correcto se obtiene sin multiplicar por 1/2. ${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$

Disipación resistiva

Si un conductor tiene una resistencia significativa, entonces, cerca de la superficie de ese conductor, el vector de Poynting se inclinaría hacia el conductor e incidiría sobre él. ^{[9] : figs.7,8} Una vez que el vector de Poynting ingresa al conductor, se dobla en una dirección casi perpendicular a la superficie. ^{[16] : 61} Esto es una consecuencia de la ley de Snell y de la muy lenta velocidad de la luz dentro de un conductor. Se puede dar la definición y el cálculo de la velocidad de la luz en un conductor. ^{[17] : 402} Dentro del conductor, el vector de Poynting representa el flujo de energía desde el campo electromagnético hacia el cable, produciendo un calentamiento resistivo de Joule en el cable. Para una derivación que comienza con la ley de Snell, consulte la página 454 de Reitz. ^{[18] : 454}

Presión de radiación

La densidad del momento lineal del campo electromagnético es S / c ² donde S es la magnitud del vector de Poynting y c es la velocidad de la luz en el espacio libre. La presión de radiación ejercida por una onda electromagnética sobre la superficie de un objetivo está dada por

$${\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}.}$$

Unicidad del vector de Poynting

El vector de Poynting ocurre en el teorema de Poynting solo a través de su divergencia ∇ ⋅ S , es decir, solo se requiere que la integral de superficie del vector de Poynting alrededor de una superficie cerrada describa el flujo neto de energía electromagnética hacia o desde el volumen cerrado. Esto significa que agregar un campo vectorial solenoidal (uno con divergencia cero) a S dará como resultado otro campo que satisfaga esta propiedad requerida de un campo vectorial de Poynting según el teorema de Poynting. Dado que la divergencia de cualquier rizo es cero , se puede sumar el rizo de cualquier campo vectorial al vector de Poynting y el campo vectorial resultante S ′ seguirá satisfaciendo el teorema de Poynting.

Sin embargo, aunque el vector de Poynting se formuló originalmente sólo por el teorema de Poynting en el que sólo aparece su divergencia, resulta que la elección anterior de su forma es única. ^{[12] : 258–260, 605–612} La siguiente sección ofrece un ejemplo que ilustra por qué no es aceptable agregar un campo solenoidal arbitrario a E × H.

Campos estáticos

Vector de Poynting en un campo estático, donde E es el campo eléctrico, H el campo magnético y S el vector de Poynting.

La consideración del vector de Poynting en campos estáticos muestra la naturaleza relativista de las ecuaciones de Maxwell y permite una mejor comprensión de la componente magnética de la fuerza de Lorentz , q ( v × B ) . A modo de ilustración, se considera la imagen adjunta, que describe el vector de Poynting en un capacitor cilíndrico, que está ubicado en un campo H (apuntando hacia la página) generado por un imán permanente. Aunque sólo existen campos eléctricos y magnéticos estáticos, el cálculo del vector de Poynting produce un flujo circular de energía electromagnética en el sentido de las agujas del reloj, sin principio ni fin.

Si bien el flujo de energía circulante puede parecer poco físico, su existencia es necesaria para mantener la conservación del momento angular . El impulso de una onda electromagnética en el espacio libre es igual a su potencia dividida por c , la velocidad de la luz. Por tanto, el flujo circular de energía electromagnética implica un momento angular . ^[19] Si uno conectara un cable entre las dos placas del capacitor cargado, entonces habría una fuerza de Lorentz en ese cable mientras el capacitor se descarga debido a la corriente de descarga y el campo magnético cruzado; esa fuerza sería tangencial al eje central y así agregaría momento angular al sistema. Ese momento angular coincidiría con el momento angular "oculto", revelado por el vector de Poynting, que circulaba antes de que se descargara el condensador.

Ver también

• Vector de onda

Referencias

1. Stratton, Julio Adams (1941). Teoría electromagnética (1ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-470-13153-4.
2. "Пойнтинга vector". Физическая энциклопедия (en ruso) . Consultado el 21 de febrero de 2022 .
3. Nahin, Paul J. (2002). Oliver Heaviside: la vida, la obra y la época de un genio eléctrico de la época victoriana . pag. 131.ISBN​ 9780801869099.
4. Poynting, John Henry (1884). "Sobre la transferencia de energía en el campo electromagnético". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 175 : 343–361. doi : 10.1098/rstl.1884.0016 .
5. Conceder, Ian S.; Phillips, William R. (1990). Electromagnetismo (2ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9.
6. Griffiths, David J. (2012). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-85656-2.
7. Kinsler, Pablo; Favaro, Alberto; McCall, Martín W. (2009). "Cuatro teoremas de Poynting". Revista Europea de Física . 30 (5): 983. arXiv : 0908.1721 . Código Bib : 2009EJPh...30..983K. doi :10.1088/0143-0807/30/5/007. S2CID  118508886.
8. Morton, N. (1979). "Una introducción al vector de Poynting". Educación Física . 14 (5): 301–304. doi :10.1088/0031-9120/14/5/004.
9. Boulé, Marc (2024). "Energía CC transportada por dos infinitos cables paralelos". Revista Estadounidense de Física . 92 (1): 14-22. arXiv : 2305.11827 . doi :10.1119/5.0121399.
10. Pfeifer, Robert NC; Nieminen, Timo A.; Heckenberg, Norman R.; Rubinsztein-Dunlop, Halina (2007). "Momento de una onda electromagnética en medios dieléctricos". Reseñas de Física Moderna . 79 (4): 1197. arXiv : 0710.0461 . Código Bib : 2007RvMP...79.1197P. doi : 10.1103/RevModPhys.79.1197.
11. Umov, Nikolay Alekseevich (1874). "Ein Theorem über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen". Zeitschrift für Mathematik und Physik . 19 : 97-114.
12. Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-30932-1.
13. "Ejemplos de física de K. McDonald's: Railgun" (PDF) . puhep1.princeton.edu . Consultado el 14 de febrero de 2021 .
14. Zangwill, Andrés (2013). Electrodinámica moderna . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 508.ISBN​ 9780521896979.
15. Richter, Félix; Florián, Matías; Henneberger, Klaus (2008). "Teorema de Poynting y conservación de energía en la propagación de la luz en medios acotados". EPL . 81 (6): 67005. arXiv : 0710.0515 . Código Bib : 2008EL..... 8167005R. doi :10.1209/0295-5075/81/67005. S2CID  119243693.
16. Harrington, Roger F. (2001). Campos electromagnéticos armónicos de tiempo (2ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-471-20806-8.
17. Hayt, William (2011). Ingeniería Electromagnética (4ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338066-7.
18. Reitz, John R.; Milford, Federico J.; Christy, Robert W. (2008). Fundamentos de la teoría electromagnética (4ª ed.). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58174-7.
19. Feynman, Richard Phillips (2011). Las conferencias Feynman sobre física. vol. II: Principalmente electromagnetismo y materia (El Nuevo Milenio ed.). Nueva York: Libros básicos. ISBN 978-0-465-02494-0.

Otras lecturas

• Becker, Richard (1982). Campos electromagnéticos e interacciones (1ª ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Edminister, José; Nahvi, Mahmood (2013). Electromagnética (4ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-183149-9.