Coordenadas de Boyer-Lindquist

En la descripción matemática de la relatividad general , las coordenadas de Boyer-Lindquist ^[1] son ​​una generalización de las coordenadas utilizadas para la métrica de un agujero negro de Schwarzschild que se puede utilizar para expresar la métrica de un agujero negro de Kerr .

El hamiltoniano para el movimiento de partículas en el espacio-tiempo de Kerr es separable en coordenadas de Boyer-Lindquist. Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi se puede derivar una cuarta constante del movimiento conocida como constante de Carter . ^[2]

El artículo de 1967 que presenta las coordenadas Boyer-Lindquist ^[1] fue una publicación póstuma de Robert H. Boyer, quien murió en el tiroteo en la torre de la Universidad de Texas en 1966 . ^{[3] [4]}

Elemento de línea

El elemento lineal para un agujero negro con masa equivalente total , momento angular y carga en coordenadas Boyer-Lindquist y unidades geometrizadas ( ) es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=c=1}$

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}\,d\theta ^{2}}$

dónde

${\displaystyle \Delta =r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2},}$llamado el discriminante ,

${\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

y

${\displaystyle a={\frac {J}{M}},}$llamado parámetro de Kerr .

Tenga en cuenta que en unidades geometrizadas , y todos tienen unidades de longitud. Este elemento de línea describe la métrica de Kerr-Newman . En este caso, debe interpretarse como la masa del agujero negro, visto por un observador en el infinito, como el momento angular , y como la carga eléctrica . Todos estos deben ser parámetros constantes, mantenidos fijos. El nombre del discriminante surge porque aparece como el discriminante de la ecuación cuadrática que limita el movimiento temporal de las partículas que orbitan alrededor del agujero negro, es decir, que define la ergosfera. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Q}$

La transformación de coordenadas de coordenadas de Boyer-Lindquist , a coordenadas cartesianas , viene dada (para ) por: [ 5 ^] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle m\to 0}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi \\y&={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Vierbein

Las formas únicas de vierbein se pueden leer directamente en el elemento de línea:

${\displaystyle \sigma ^{0}={\frac {\sqrt {\Delta }}{\rho }}\left(dt-a\sin ^{2}\theta \,d\phi \right)}$

${\displaystyle \sigma ^{1}={\frac {\rho }{\sqrt {\Delta }}}dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=\rho \,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}={\frac {\sin \theta }{\rho }}{\Big (}\left(r^{2}+a^{2}\right)\,d\phi -a\,dt{\Big )}}$

de modo que el elemento de línea viene dado por

${\displaystyle ds^{2}=\sigma ^{a}\otimes \sigma ^{b}\eta _{ab}}$

¿Dónde está la métrica de Minkowski en espacios planos ? ${\displaystyle \eta _{ab}}$

Conexión de giro

La conexión de espín sin torsión está definida por ${\displaystyle \omega ^{ab}}$

${\displaystyle d\sigma ^{a}+\omega ^{ab}\wedge \sigma ^{c}\eta _{bc}=0}$

El tensor de contorsión da la diferencia entre una conexión con torsión y una conexión correspondiente sin torsión. Por convención, las variedades Riemann siempre se especifican con geometrías libres de torsión; La torsión se utiliza a menudo para especificar geometrías planas equivalentes.

La conexión de espín es útil porque proporciona un punto intermedio para calcular la curvatura en dos formas :

${\displaystyle R^{ab}=d\omega ^{ab}+\omega ^{ac}\wedge \omega ^{db}\eta _{cd}}$

También es la forma más adecuada para describir el acoplamiento a campos de espinor y abre la puerta al formalismo twistor .

Los seis componentes de la conexión giratoria no desaparecen. Estos son: ^[6]

${\displaystyle \omega ^{01}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[{\frac {-2Mr^{2}+2rQ^{2}+a^{2}[M+r+(M-r)\cos 2\theta ]}{2{\sqrt {\Delta }}}}\,\sigma ^{0}+ra\sin \theta \,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{02}={\frac {a\cos \theta }{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{03}={\frac {a}{\rho ^{3}}}\left[r\sin \theta \,\sigma ^{1}-{\sqrt {\Delta }}\cos \theta \,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{12}={\frac {1}{\rho ^{3}}}\left[a^{2}\sin \theta \cos \theta \,\sigma ^{1}+r{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{2}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{13}={\frac {r}{\rho ^{3}}}\left[a\sin \theta \,\sigma ^{0}+{\sqrt {\Delta }}\,\sigma ^{3}\right]}$

${\displaystyle \omega ^{23}={\frac {\cot \theta }{\rho ^{3}}}\left[a{\sqrt {\Delta }}\sin \theta \,\sigma ^{0}+(r^{2}+a^{2})\,\sigma ^{3}\right]}$

Tensores de Riemann y Ricci

El tensor de Riemann escrito en su totalidad es bastante detallado; se puede encontrar en Frè. ^[6] El tensor de Ricci toma la forma diagonal:

${\displaystyle {\mbox{Ric}}={\frac {Q^{2}}{\rho ^{4}}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Observe la ubicación de la entrada menos uno: esto proviene enteramente de la contribución electromagnética. Es decir, cuando el tensor de tensión electromagnética tiene sólo dos componentes que no desaparecen: y , entonces el tensor de energía-momento correspondiente toma la forma ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle F_{01}}$ ${\displaystyle F_{23}}$

${\displaystyle T^{\mbox{Maxwell}}={\frac {F_{01}^{2}+F_{23}^{2}}{4}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Equiparar esto con el tensor de energía-momento para el campo gravitacional conduce a la solución de electrovacío de Kerr-Newman .

Referencias

1. Boyer, Robert H.; Lindquist, Richard W. (1967). "Extensión analítica máxima de la métrica de Kerr". Revista de Física Matemática . 8 (2): 265–281. Código bibliográfico : 1967JMP......8..265B. doi :10.1063/1.1705193.
2. Carter, Brandon (1968). "Estructura global de la familia Kerr de campos gravitacionales". Revisión física . 174 (5): 1559-1571. Código bibliográfico : 1968PhRv..174.1559C. doi : 10.1103/PhysRev.174.1559.
3. "Las víctimas". Detrás de la Torre . 15 de julio de 2016 . Consultado el 2 de noviembre de 2022 .
4. "Robert Hamilton Boyer". Física hoy . 19 (9): 121. Septiembre de 1966. doi : 10.1063/1.3048457 .
5. Matt Visser, arXiv:0706.0622v3, ecuaciones. 60-62
6. Pietro Giuseppe Frè, "Gravedad, un curso geométrico, volumen 2: agujeros negros, cosmología e introducción a la supergravedad", (2013) Springer-Verlag

• Shapiro, SL; Teukolsky, SA (1983). Agujeros negros, enanas blancas y estrellas de neutrones: la física de los objetos compactos . Nueva York: Wiley. pag. 357.ISBN​ 9780471873167.