Teoría del tornado

Posible camino hacia la gravedad cuántica propuesto por Roger Penrose

En física teórica , la teoría de los twistores fue propuesta por Roger Penrose en 1967 ^[1] como un posible camino ^[2] hacia la gravedad cuántica y ha evolucionado hasta convertirse en una rama ampliamente estudiada de la física teórica y matemática . La idea de Penrose era que el espacio twistor debería ser el ámbito básico de la física del que debería emerger el propio espacio-tiempo. Ha conducido a poderosas herramientas matemáticas que tienen aplicaciones en geometría diferencial e integral , ecuaciones diferenciales no lineales y teoría de representación , y en física a la relatividad general , la teoría cuántica de campos y la teoría de amplitudes de dispersión . La teoría del Twistor surgió en el contexto de los desarrollos matemáticos en rápida expansión de la teoría de la relatividad general de Einstein a finales de los años 1950 y en los años 1960 y tiene una serie de influencias de ese período. En particular, Roger Penrose ha acreditado a Ivor Robinson como una importante influencia temprana en el desarrollo de la teoría de los twistores, a través de su construcción de las llamadas congruencias de Robinson . ^[3]

Descripción general

El espacio twistor proyectivo es un espacio tridimensional proyectivo , la variedad algebraica compacta tridimensional más simple . Tiene una interpretación física como el espacio de partículas sin masa con espín . Es la proyectivización de un espacio vectorial complejo de 4 dimensiones , espacio twistor no proyectivo , con una forma hermitiana de firma (2,2) y una forma de volumen holomorfa . Esto puede entenderse más naturalmente como el espacio de espinores quirales ( Weyl ) para el grupo conforme del espacio de Minkowski ; es la representación fundamental del grupo de espín del grupo conforme. Esta definición se puede extender a dimensiones arbitrarias, excepto que más allá de la dimensión cuatro, se define el espacio de torsión proyectivo como el espacio de espinores proyectivos puros ^{[4] [5]} para el grupo conforme. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle SU(2,2)}$

En su forma original, la teoría de los twistores codifica campos físicos en el espacio de Minkowski en términos de objetos analíticos complejos en el espacio de los twistores mediante la transformada de Penrose . Esto es especialmente natural para campos sin masa de espín arbitrario . En primera instancia, estos se obtienen mediante fórmulas integrales de contorno en términos de funciones holomorfas libres en regiones del espacio twistor. Las funciones holomorfas de torsión que dan lugar a soluciones de las ecuaciones de campo sin masa pueden entenderse más profundamente como representantes de Čech de las clases de cohomología analítica en regiones en . Estas correspondencias se han extendido a ciertos campos no lineales, incluida la gravedad autodual en la construcción de gravitones no lineales de Penrose ^[8] y los campos autoduales de Yang-Mills en la llamada construcción Ward; ^[9] el primero da lugar a deformaciones de la compleja estructura subyacente de las regiones en , y el segundo a ciertos paquetes de vectores holomórficos sobre regiones en . Estas construcciones han tenido amplias aplicaciones, incluida, entre otras, la teoría de sistemas integrables . ^{[10] [11] [12]} ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$

La condición de autodualidad es una limitación importante para incorporar todas las no linealidades de las teorías físicas, aunque es suficiente para los monopolos e instantones de Yang-Mills-Higgs (ver Construcción ADHM ). ^[13] Un primer intento de superar esta restricción fue la introducción de ambiwistors por Isenberg, Yasskin y Green, ^[14] y su extensión superespacial, los super-ambitwistors , por Edward Witten . ^[15] El espacio ambitwistor es el espacio de rayos de luz complejizados o partículas sin masa y puede considerarse como una complejización o haz cotangente de la descripción original del twistor. Al extender la correspondencia ambitwistor a vecindades formales adecuadamente definidas, Isenberg, Yasskin y Green ^[14] mostraron la equivalencia entre la desaparición de la curvatura a lo largo de líneas nulas extendidas y las ecuaciones de campo completas de Yang-Mills. ^[14] Witten ^[15] demostró que una extensión adicional, en el marco de la teoría súper Yang-Mills, incluyendo campos fermiónicos y escalares, daba lugar, en el caso de supersimetría N=1 o 2, a las ecuaciones de restricción, mientras que para N = 3 (o 4), la condición de desaparición para la supercurvatura a lo largo de líneas súper nulas (súper ambiwistores) implicaba el conjunto completo de ecuaciones de campo , incluidas las de los campos fermiónicos. Posteriormente se demostró que esto daba una equivalencia 1-1 entre las ecuaciones de restricción de curvatura nula y las ecuaciones de campo supersimétricas de Yang-Mills. ^{[16] [17]} A través de la reducción dimensional, también se puede deducir de la correspondencia superambitwistor análoga para la teoría de Super Yang Mills de 10 dimensiones, N = 1. ^{[18] [19]}

Las fórmulas torsionales para interacciones más allá del sector autodual también surgieron en la teoría de cuerdas torsionales de Witten , ^[20] que es una teoría cuántica de mapas holomórficos de una superficie de Riemann en el espacio torsional. Esto dio lugar a las fórmulas RSV (Roiban, Spradlin y Volovich) notablemente compactas para las matrices S a nivel de árbol de las teorías de Yang-Mills, ^[21] pero sus grados de libertad de gravedad dieron lugar a una versión de supergravedad conforme que limita su aplicabilidad; La gravedad conforme es una teoría no física que contiene fantasmas , pero sus interacciones se combinan con las de la teoría de Yang-Mills en amplitudes de bucle calculadas mediante la teoría de cuerdas torsionales. ^[22]

A pesar de sus deficiencias, la teoría de cuerdas torsionales condujo a rápidos avances en el estudio de las amplitudes de dispersión. Uno fue el llamado formalismo MHV ^[23] basado libremente en cuerdas desconectadas, pero al que se le dio una base más básica en términos de una acción de torsión para la teoría completa de Yang-Mills en el espacio de torsión. ^[24] Otro avance clave fue la introducción de la recursividad BCFW. ^[25] Esto tiene una formulación natural en el espacio twistor ^{[26] [27]} que a su vez condujo a formulaciones notables de amplitudes de dispersión en términos de fórmulas integrales de Grassmann ^{[28] [29]} y politopos . ^[30] Estas ideas han evolucionado más recientemente hacia el Grassmanniano positivo ^[31] y el amplituedro .

La teoría de cuerdas torsionales se amplió primero generalizando la fórmula de amplitud RSV Yang-Mills y luego encontrando la teoría de cuerdas subyacente . La extensión de la gravedad fue dada por Cachazo y Skinner, ^[32] y formulada como una teoría de cuerdas torcedoras para la supergravedad máxima por David Skinner. ^[33] Cachazo, He y Yuan encontraron fórmulas análogas en todas las dimensiones para la teoría de Yang-Mills y la gravedad ^[34] y posteriormente para una variedad de otras teorías. ^[35] Mason y Skinner [36] las entendieron como teorías de cuerdas en el espacio ambiwistor ^[36] en un marco general que incluye la cuerda twistor original y se extiende para dar una serie de nuevos modelos y fórmulas. ^{[37] [38] [39]} Como teorías de cuerdas, tienen las mismas dimensiones críticas que la teoría de cuerdas convencional; por ejemplo, las versiones supersimétricas de tipo II son críticas en diez dimensiones y son equivalentes a la teoría de campo completo de las supergravedades de tipo II en diez dimensiones (esto es distinto de las teorías de cuerdas convencionales que también tienen una jerarquía infinita adicional de estados masivos de espín superior que proporcionan una finalización ultravioleta ). Se extienden para dar fórmulas para amplitudes de bucle ^{[40] [41]} y se pueden definir sobre fondos curvos. ^[42]

La correspondencia del tornado

Denota el espacio de Minkowski por , con coordenadas y firma métrica de Lorentz . Introducir índices de espinor de 2 componentes y establecer ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$ ${\displaystyle \eta _{ab}}$ ${\displaystyle (1,3)}$ ${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

El espacio twistor no proyectivo es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones con coordenadas indicadas por dónde y son dos espinores de Weyl constantes . La forma hermitiana se puede expresar definiendo una conjugación compleja desde a su dual por de modo que la forma hermitiana se pueda expresar como ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$ ${\displaystyle \omega ^{A}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$

${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.}$

Esto, junto con la forma de volumen holomórfico, es invariante bajo el grupo SU(2,2), una cubierta cuádruple del grupo conforme C(1,3) del espaciotiempo compactado de Minkowski. ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con los subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia.

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

La relación de incidencia se conserva bajo un cambio de escala general del tornado, por lo que generalmente se trabaja en un espacio de tornado proyectivo que es isomorfo como una variedad compleja . Un punto determina así una línea parametrizada por Un tornado se entiende mejor en el espacio-tiempo para valores complejos de las coordenadas donde define un plano doble totalmente nulo que es autodual. Si se considera real, si se desvanece, entonces se encuentra en un rayo de luz, mientras que si no se desvanece, no hay soluciones y, de hecho, corresponde a una partícula sin masa con espín que no está localizada en el espacio-tiempo real. ${\displaystyle \mathbb {PT} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \pi _{A'}.}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }}$

Variaciones

Supertorsionadores

Los supertwistores son una extensión supersimétrica de los twistores introducidos por Alan Ferber en 1978. ^[43] El espacio de los twistores no proyectivos se extiende mediante coordenadas fermiónicas , donde es el número de supersimetrías, de modo que un twistor ahora viene dado por anticonmutación . El grupo súper conforme actúa naturalmente en este espacio y una versión supersimétrica de la transformada de Penrose lleva clases de cohomología en el espacio supertwistor a multipletes supersimétricos sin masa en el espacio súper Minkowski. El caso proporciona el objetivo de la cuerda torsional original de Penrose y el caso es el de la generalización de la supergravedad de Skinner. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \eta ^{i}}$ ${\displaystyle SU(2,2|{\mathcal {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$

Generalización dimensional superior de la correspondencia de Klein.

J. Harnad y S. Shnider desarrollaron una generalización dimensional superior de la correspondencia de Klein subyacente a la teoría del twistor, aplicable a subespacios isotrópicos del espacio de Minkowski conformadamente compactado (complejizado) y sus extensiones superespaciales . ^{[4] [5]}

Colectores Hyperkähler

Las variedades de dimensión Hyperkähler también admiten una correspondencia de torsión con un espacio de torsión de dimensión compleja . ^[44] ${\displaystyle 4k}$ ${\displaystyle 2k+1}$

Teoría del twistor palaciego

La construcción no lineal del gravitón codifica sólo campos anti-autoduales, es decir, campos levógiros. ^[8] Un primer paso hacia el problema de modificar el espacio twistor para codificar un campo gravitacional general es la codificación de campos diestros . Infinitesimalmente, estos están codificados en funciones twistor o clases de homogeneidad de cohomología −6. La tarea de utilizar tales funciones de torsión de una manera totalmente no lineal para obtener un gravitón no lineal diestro se ha denominado el problema pegajoso ( gravitacional ) . ^[45] (La palabra " googly " es un término utilizado en el juego de cricket para referirse a una pelota lanzada con helicidad hacia la derecha utilizando la acción aparente que normalmente daría lugar a la helicidad hacia la izquierda). La propuesta más reciente en esta dirección por Penrose en 2015 se basó en la geometría no conmutativa en el espacio twistor y se denominó teoría del twistor palaciego . ^[46] La teoría lleva el nombre del Palacio de Buckingham , donde Michael Atiyah ^[47] sugirió a Penrose el uso de un tipo de " álgebra no conmutativa ", un componente importante de la teoría. (La estructura de torsión subyacente en la teoría de torsión palaciega no se modeló en el espacio de torsión sino en el álgebra cuántica de torsión holomorfa no conmutativa ).

Ver también

• Independencia de fondo
• Espacio-tiempo complejo
• Historia de la gravedad cuántica de bucles.
• Congruencias de Robinson
• Red de giro

Notas

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Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

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• Andrew Hodges , Resumen de acontecimientos recientes.
• Huggett, Stephen (2005), "Los elementos de la teoría del tornado".
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• MathWorld: Twistores.
• Revisión del universo: "Teoría del giro".
• Archivos del boletín Twistor.