En física , una red de espín es un tipo de diagrama que puede usarse para representar estados e interacciones entre partículas y campos en mecánica cuántica . Desde una perspectiva matemática , los diagramas son una forma concisa de representar funciones multilineales y funciones entre representaciones de grupos de matrices . Por tanto, la notación esquemática puede simplificar enormemente los cálculos.
Roger Penrose describió las redes de espín en 1971. [1] Desde entonces , Carlo Rovelli , Lee Smolin , Jorge Pullin , Rodolfo Gambini y otros han aplicado las redes de espín a la teoría de la gravedad cuántica .
Las redes de espín también se pueden utilizar para construir un funcional particular en el espacio de conexiones que sea invariante bajo transformaciones de calibre locales .
Una red de espín, como se describe en Penrose (1971), [1] es una especie de diagrama en el que cada segmento de línea representa la línea mundial de una "unidad" (ya sea una partícula elemental o un sistema compuesto de partículas). En cada vértice se unen tres segmentos de recta. Un vértice puede interpretarse como un evento en el que una sola unidad se divide en dos o dos unidades chocan y se unen en una sola unidad. Los diagramas cuyos segmentos de línea están todos unidos en los vértices se denominan redes de espín cerradas . Se puede considerar que el tiempo va en una dirección, como de abajo hacia arriba del diagrama, pero para las redes de espín cerradas la dirección del tiempo es irrelevante para los cálculos.
Cada segmento de línea está etiquetado con un número entero llamado número de giro . Una unidad con número de espín n se llama unidad n y tiene momento angular nħ/2 , donde ħ es la constante de Planck reducida . Para bosones , como fotones y gluones , n es un número par. Para los fermiones , como los electrones y los quarks , n es impar.
Dada cualquier red de espín cerrada, se puede calcular un número entero no negativo que se denomina norma de la red de espín. Se pueden utilizar normas para calcular las probabilidades de varios valores de giro. Una red cuya norma es cero tiene probabilidad de ocurrencia cero. Las reglas para calcular normas y probabilidades están fuera del alcance de este artículo. Sin embargo, implican que para que una red de espín tenga una norma distinta de cero, se deben cumplir dos requisitos en cada vértice. Supongamos que un vértice une tres unidades con números de espín a , b y c . Entonces, estos requisitos se expresan como:
Por ejemplo, a = 3, b = 4, c = 6 es imposible ya que 3 + 4 + 6 = 13 es impar, y a = 3, b = 4, c = 9 es imposible ya que 9 > 3 + 4. Sin embargo, a = 3, b = 4, c = 5 es posible ya que 3 + 4 + 5 = 12 es par y se satisface la desigualdad del triángulo. Algunas convenciones utilizan etiquetados mediante semienteros, con la condición de que la suma a + b + c debe ser un número entero.
Formalmente, una red de espín puede definirse como un gráfico (dirigido) cuyos bordes están asociados con representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto y cuyos vértices están asociados con entrelazadores de las representaciones de bordes adyacentes a él.
Se puede utilizar una red de espín, inmersa en una variedad, para definir un funcional en el espacio de conexiones de esta variedad. Se calculan holonomías de la conexión a lo largo de cada vínculo (camino cerrado) del gráfico, se determinan las matrices de representación correspondientes a cada vínculo, se multiplican todas las matrices y entrelazadores y se contraen los índices de una manera prescrita. Una característica destacable del funcional resultante es que es invariante ante transformaciones de calibre locales .
En la gravedad cuántica de bucles (LQG), una red de espín representa un "estado cuántico" del campo gravitacional en una hipersuperficie tridimensional . El conjunto de todas las redes de espín posibles (o, más exactamente, " nudos-s ", es decir, clases de equivalencia de redes de espín bajo difeomorfismos ) es contable ; constituye una base del espacio LQG Hilbert .
Uno de los resultados clave de la gravedad cuántica de bucles es la cuantificación de áreas: el operador del área A de una superficie bidimensional Σ debe tener un espectro discreto . Cada red de espín es un estado propio de cada uno de esos operadores, y el valor propio del área es igual
donde la suma abarca todas las intersecciones i de Σ con la red de espín. En esta fórmula,
Según esta fórmula, el valor propio más bajo posible distinto de cero del operador de área corresponde a un enlace que lleva la representación del espín 1/2. Suponiendo un parámetro Immirzi del orden de 1, esto da el área medible más pequeña posible de ~10 −66 cm 2 .
La fórmula para los valores propios del área se vuelve algo más complicada si se permite que la superficie pase a través de los vértices, como ocurre con los modelos de difusión anómala. Además, los valores propios del operador de área A están restringidos por la simetría en escalera.
Se aplica una cuantificación similar al operador de volumen. El volumen de una subvariedad 3D que contiene parte de una red de espín viene dado por la suma de las contribuciones de cada nodo dentro de ella. Se puede pensar que cada nodo en una red de espín es un "cuanto de volumen" elemental y cada enlace es un "cuánto de área" que rodea este volumen.
Se pueden hacer construcciones similares para teorías generales de calibre con un grupo de Lie compacto G y una forma de conexión . En realidad, se trata de una dualidad exacta sobre una red. Sin embargo, en una variedad , se necesitan suposiciones como la invariancia del difeomorfismo para hacer que la dualidad sea exacta (difuminar los bucles de Wilson es complicado). Posteriormente, Robert Oeckl lo generalizó a representaciones de grupos cuánticos en 2 y 3 dimensiones utilizando la dualidad Tannaka-Krein .
Michael A. Levin y Xiao-Gang Wen también han definido redes de cuerdas utilizando categorías tensoriales que son objetos muy similares a las redes de espín. Sin embargo, la conexión exacta con las redes de espín aún no está clara. La condensación en red de cuerdas produce estados topológicamente ordenados en la materia condensada.
En matemáticas, las redes de espín se han utilizado para estudiar módulos de madejas y variedades de caracteres , que corresponden a espacios de conexiones .
