Polinomio de Alexander

Nudo invariante

En matemáticas , el polinomio de Alexander es un invariante de nudos que asigna un polinomio con coeficientes enteros a cada tipo de nudo. James Waddell Alexander II descubrió este, el primer polinomio de nudos , en 1923. En 1969, John Conway demostró que una versión de este polinomio, ahora llamado polinomio de Alexander-Conway , podía calcularse utilizando una relación de madeja , aunque su importancia no se comprendió hasta el descubrimiento del polinomio de Jones en 1984. Poco después de que Conway reelaborara el polinomio de Alexander, se descubrió que una relación de madeja similar se exhibía en el artículo de Alexander sobre su polinomio. ^[a]

Definición

Sea K un nudo en la 3-esfera . Sea X la cobertura cíclica infinita del complemento de nudo de K . Esta cobertura se puede obtener cortando el complemento de nudo a lo largo de una superficie de Seifert de K y pegando juntas infinitas copias de la variedad resultante con borde de manera cíclica. Hay una transformación de cobertura t que actúa sobre X . Considérese la primera homología (con coeficientes enteros) de X , denotada . La transformación t actúa sobre la homología y, por lo tanto, podemos considerar un módulo sobre el anillo de polinomios de Laurent . Esto se llama invariante de Alexander o módulo de Alexander . ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$

El módulo es finitamente presentable; una matriz de presentación para este módulo se llama matriz de Alexander . Si el número de generadores, , es menor o igual que el número de relaciones, , entonces consideramos el ideal generado por todos los menores de la matriz; este es el ideal de ajuste cero o ideal de Alexander y no depende de la elección de la matriz de presentación. Si , establezca el ideal igual a 0. Si el ideal de Alexander es principal , tome un generador; esto se llama polinomio de Alexander del nudo. Dado que esto solo es único hasta la multiplicación por el monomio de Laurent , a menudo se fija una forma única particular. La elección de normalización de Alexander es hacer que el polinomio tenga un término constante positivo . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r\times r}$ ${\displaystyle r>s}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$

Alexander demostró que el ideal de Alexander es distinto de cero y siempre principal. Por lo tanto, siempre existe un polinomio de Alexander y es claramente un invariante de nudo, denotado . Resulta que el polinomio de Alexander de un nudo es el mismo polinomio del nudo imagen especular. En otras palabras, no puede distinguir entre un nudo y su imagen especular. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Calculando el polinomio

El siguiente procedimiento para calcular el polinomio de Alexander fue dado por JW Alexander en su artículo. ^[2]

Tome un diagrama orientado del nudo con cruces; existen regiones del diagrama del nudo. Para calcular el polinomio de Alexander, primero se debe crear una matriz de incidencia de tamaño . Las filas corresponden a los cruces y las columnas a las regiones. Los valores para las entradas de la matriz son . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle (n,n+2)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle 0,1,-1,t,-t}$

Considere la entrada correspondiente a una región y cruce en particular. Si la región no es adyacente al cruce, la entrada es 0. Si la región es adyacente al cruce, la entrada depende de su ubicación. La siguiente tabla muestra la entrada, determinada por la ubicación de la región en el cruce desde la perspectiva de la línea de cruce inferior entrante.

A la izquierda antes del cruce subterráneo: ${\displaystyle -t}$

A la derecha antes del cruce subterráneo: ${\displaystyle 1}$

A la izquierda después del cruce subterráneo: ${\displaystyle t}$

A la derecha después del paso subterráneo: ${\displaystyle -1}$

Elimine dos columnas correspondientes a regiones adyacentes de la matriz y calcule el determinante de la nueva matriz. Según las columnas eliminadas, la respuesta variará al multiplicarla por , donde la potencia de no es necesariamente el número de cruces en el nudo. Para resolver esta ambigüedad, divida la mayor potencia posible de y multiplique por si es necesario, de modo que el término constante sea positivo. Esto da el polinomio de Alexander. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \pm t^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle -1}$

El polinomio de Alexander también se puede calcular a partir de la matriz de Seifert .

Después del trabajo de JW Alexander, Ralph Fox consideró una copresentación del grupo de nudos e introdujo el cálculo diferencial no conmutativo, que también permite calcular . ^{[3] [b]} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\backslash K)}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)}$

Propiedades básicas del polinomio

El polinomio de Alexander es simétrico: para todos los nudos K. ${\displaystyle \Delta _{K}(t^{-1})=\Delta _{K}(t)}$

Desde el punto de vista de la definición, esta es una expresión del isomorfismo de dualidad de Poincaré donde es el cociente del cuerpo de fracciones de por , considerado como un -módulo, y donde es el -módulo conjugado de es decir: como grupo abeliano es idéntico a pero la transformación de recubrimiento actúa por . ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}\simeq \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} [t,t^{-1}]}(H_{1}X,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle H_{1}X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}}$

Además, el polinomio de Alexander evalúa una unidad en 1: . ${\displaystyle \Delta _{K}(1)=\pm 1}$

Desde el punto de vista de la definición, esto es una expresión del hecho de que el complemento de nudo es un círculo de homología, generado por la transformación de recubrimiento . De manera más general, si es una 3-variedad tal que tiene un polinomio de Alexander definido como el ideal de orden de su espacio de recubrimiento cíclico infinito. En este caso es, hasta el signo , igual al orden del subgrupo de torsión de . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle rank(H_{1}M)=1}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(t)}$ ${\displaystyle \Delta _{M}(1)}$ ${\displaystyle H_{1}M}$

Todo polinomio de Laurent integral que sea simétrico y evalúe una unidad en 1 es el polinomio de Alexander de un nudo. ^[4]

Significado geométrico del polinomio

Dado que el ideal de Alexander es principal, si y sólo si el subgrupo conmutador del grupo de nudos es perfecto (es decir, igual a su propio subgrupo conmutador ). ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=1}$

Para un nudo de rebanada topológicamente , el polinomio de Alexander satisface la condición de Fox-Milnor donde es otro polinomio integral de Laurent. ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=f(t)f(t^{-1})}$ ${\displaystyle f(t)}$

El doble del género del nudo está acotado inferiormente por el grado del polinomio de Alexander.

Michael Freedman demostró que un nudo en la 3-esfera es topológicamente una rebanada ; es decir, limita un disco topológico "localmente plano" en la 4-esfera, si el polinomio de Alexander del nudo es trivial. ^[5]

Kauffman describe la primera construcción del polinomio de Alexander a través de sumas de estados derivadas de modelos físicos. En ^{[6] [7] se ofrece un estudio de estos temas y otras conexiones con la física.}

Existen otras relaciones con superficies y topologías lisas de 4 dimensiones. Por ejemplo, bajo ciertas suposiciones, existe una manera de modificar una 4-variedad lisa realizando una cirugía que consiste en eliminar una vecindad de un toro bidimensional y reemplazarla con un complemento de nudo cruzado con S ¹ . El resultado es una 4-variedad lisa homeomorfa al original, aunque ahora el invariante de Seiberg-Witten ha sido modificado por multiplicación con el polinomio de Alexander del nudo. ^[8]

Se sabe que los nudos con simetrías tienen polinomios de Alexander restringidos. ^[9] No obstante, el polinomio de Alexander puede no detectar algunas simetrías, como la invertibilidad fuerte.

Si el complemento del nudo es de las fibras sobre el círculo, entonces se sabe que el polinomio de Alexander del nudo es mónico (los coeficientes de los términos de orden más alto y más bajo son iguales a ). De hecho, si es un haz de fibras donde es el complemento del nudo, sea que represente la monodromía , entonces donde es la función inducida sobre homología. ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle S\to C_{K}\to S^{1}}$ ${\displaystyle C_{K}}$ ${\displaystyle g:S\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)={\rm {Det}}(tI-g_{*})}$ ${\displaystyle g_{*}\colon H_{1}S\to H_{1}S}$

Relaciones con las operaciones satelitales

Si un nudo es un nudo satélite con nudo patrón (existe una incrustación tal que , donde es un toro sólido sin anudar que contiene ), entonces , donde es el entero que representa en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle f:S^{1}\times D^{2}\to S^{3}}$ ${\displaystyle K=f(K')}$ ${\displaystyle S^{1}\times D^{2}\subset S^{3}}$ ${\displaystyle K'}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{f(S^{1}\times \{0\})}(t^{a})\Delta _{K'}(t)}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K'\subset S^{1}\times D^{2}}$ ${\displaystyle H_{1}(S^{1}\times D^{2})=\mathbb {Z} }$

Ejemplos: Para una suma-conexiones . Si es un doble de Whitehead sin torsión , entonces . ${\displaystyle \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Delta _{K}(t)=\pm 1}$

Polinomio de Alexander-Conway

Alexander demostró que el polinomio de Alexander satisface una relación de madeja. Más tarde, John Conway redescubrió esto en una forma diferente y demostró que la relación de madeja junto con una elección del valor en el nudo desenredado era suficiente para determinar el polinomio. La versión de Conway es un polinomio en z con coeficientes enteros, denotado y llamado polinomio de Alexander-Conway (también conocido como polinomio de Conway o polinomio de Conway-Alexander ). ${\displaystyle \nabla (z)}$

Supongamos que se nos da un diagrama de enlace orientado, donde son diagramas de enlace que resultan de cruzar y suavizar los cambios en una región local de un cruce especificado del diagrama, como se indica en la figura. ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$

Aquí están las relaciones de madejas de Conway:

• ${\displaystyle \nabla (O)=1}$(donde O es cualquier diagrama del nudo)
• ${\displaystyle \nabla (L_{+})-\nabla (L_{-})=z\nabla (L_{0})}$

La relación con el polinomio estándar de Alexander está dada por . Aquí debe normalizarse adecuadamente (mediante la multiplicación de ) para satisfacer la relación de madeja . Nótese que esta relación da un polinomio de Laurent en t ^1/2 . ${\displaystyle \Delta _{L}(t^{2})=\nabla _{L}(t-t^{-1})}$ ${\displaystyle \Delta _{L}}$ ${\displaystyle \pm t^{n/2}}$ ${\displaystyle \Delta (L_{+})-\Delta (L_{-})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (L_{0})}$

Consulte la teoría de nudos para ver un ejemplo de cálculo del polinomio de Conway del trébol.

Relación con la homología de Floer

Utilizando curvas pseudoholomórficas, Ozsváth-Szabó ^[10] y Rasmussen ^[11] asociaron un grupo abeliano bigrado, llamado homología de Floer de nudos, a cada clase isotópica de nudos. La característica de Euler graduada de la homología de Floer de nudos es el polinomio de Alexander. Mientras que el polinomio de Alexander da un límite inferior en el género de un nudo, ^[12] mostró que la homología de Floer de nudos detecta el género. De manera similar, mientras que el polinomio de Alexander da una obstrucción a un complemento de nudo que fibrila sobre el círculo, ^[13] mostró que la homología de Floer de nudos determina completamente cuándo un complemento de nudo fibrila sobre el círculo. Los grupos de homología de Floer de nudos son parte de la familia de invariantes de homología de Floer de Heegaard; véase homología de Floer para una discusión más detallada.

Notas

1. Alexander describe su relación de madeja hacia el final de su artículo bajo el título "teoremas varios", lo que posiblemente explica por qué se perdió. Joan Birman menciona en su artículo que Mark Kidwell le llamó la atención sobre la relación de Alexander en 1970. ^[1]
2. Se puede encontrar una exposición detallada de este enfoque sobre polinomios de Alexander superiores en Crowell y Fox (1963).

Referencias

1. Birmano 1993.
2. Alejandro 1928.
3. Zorro 1961.
4. Kawauchi 2012, Teorema 11.5.3, p. 150. Kawauchi atribuye este resultado a Kondo, H. (1979), "Nudos de desanudación número 1 y sus polinomios de Alexander", Osaka J. Math. 16: 551-559, y a Sakai, T. (1977), "Una observación sobre los polinomios de Alexander de los nudos", Math. Sem. Notes Kobe Univ. 5: 451~456.
5. Freedman y Quinn 1990.
6. Kauffman 1983.
7. Kauffman 2012.
8. Fintushel y Stern 1998.
9. Kawauchi 2012, sección de simetría.
10. Ozsváth y Szabó 2004.
11. Rasmussen 2003.
12. Ozsváth y Szabó 2004b.
13. En 2007.

Fuentes

• Adams, Colin C. (2004) [1994]. The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0-8218-3678-1.(Introducción accesible que utiliza un enfoque de relación de madeja)
• Alexander, JW (1928). "Invariantes topológicos de nudos y enlaces" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 30 (2): 275–306. doi : 10.1090/S0002-9947-1928-1501429-1 . JSTOR  1989123.
• Birman, Joan (1993). "Nuevos puntos de vista en la teoría de nudos". Bull. Amer. Math. Soc . NS 28 (2): 253–287.
• Crowell, Richard; Fox, Ralph (1963). Introducción a la teoría de nudos . Ginn and Co., a partir de 1977, Springer Verlag.
• Fintushel, Ronald ; Stern, Ronald J. (octubre de 1998). "Nudos, enlaces y 4-variedades". Inventiones Mathematicae . 134 (2): 363–400. arXiv : dg-ga/9612014 . Código Bibliográfico :1998InMat.134..363F. doi :10.1007/s002220050268. ISSN  0020-9910. MR  1650308. S2CID  3752148.
• Fox, Ralph (1961). "Un rápido viaje a través de la teoría de nudos". En Fort, MK (ed.). Actas del Instituto de Topología de la Universidad de Georgia . Englewood Cliffs. Nueva Jersey: Prentice-Hall. págs. 120–167. OCLC  73203715.
• Freedman, Michael H. ; Quinn, Frank (1990). Topología de 4-variedades . Princeton Mathematical Series. Vol. 39. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08577-7.
• Kauffman, Louis (2006) [1983]. Teoría formal de nudos. Courier. ISBN 978-0-486-45052-0.
• Kauffman, Louis (2012). Nudos y física (4.ª ed.). World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4383-00-4.
• Kawauchi, Akio (2012) [1996]. Un estudio de la teoría de nudos. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9227-8.(cubre varios enfoques diferentes, explica las relaciones entre diferentes versiones del polinomio de Alexander)
• Ni, Yi (2007). "La homología de Knot Floer detecta nudos de fibras". Invenciones Mathematicae . Inventar. Matemáticas. 170 (3): 577–608. arXiv : matemáticas/0607156 . Código Bib : 2007 InMat.170..577N. doi :10.1007/s00222-007-0075-9. S2CID  119159648.
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004). "Discos holomorfos e invariantes de nudos". Avances en Matemáticas . 186 (1): 58–116. arXiv : math/0209056 . Bibcode :2002math......9056O. doi : 10.1016/j.aim.2003.05.001 . S2CID  11246611.
• Ozsváth, Peter ; Szabó, Zoltán (2004b). "Discos holomorfos y límites de género". Geometría y Topología . 8 (2004): 311–334. arXiv : matemáticas/0311496 . doi :10.2140/gt.2004.8.311. S2CID  11374897.
• Rasmussen, Jacob (2003). Homología de Floer y complementos de nudos (Tesis). Universidad de Harvard. p. 6378. arXiv : math/0306378 . Bibcode :2003math......6378R.
• Rolfsen, Dale (1990). Nudos y eslabones (2.ª ed.). Publicar o perecer. ISBN 978-0-914098-16-4.(explica el enfoque clásico utilizando el invariante de Alexander; tabla de nudos y enlaces con polinomios de Alexander)

Enlaces externos

• "Invariantes de Alexander", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Página principal" y "El polinomio de Alexander-Conway", Atlas de nudos . – tablas de nudos y enlaces con polinomios de Alexander y Conway calculados