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Orden topológico

En física , el orden topológico [1] es una especie de orden en la fase de temperatura cero de la materia (también conocida como materia cuántica). Macroscópicamente, el orden topológico se define y describe mediante una degeneración robusta del estado fundamental [2] y fases geométricas no abelianas cuantificadas de estados fundamentales degenerados. [1] Microscópicamente, los órdenes topológicos corresponden a patrones de entrelazamiento cuántico de largo alcance . [3] Los estados con diferentes órdenes topológicos (o diferentes patrones de entrelazamientos de largo alcance) no pueden transformarse entre sí sin una transición de fase.

Varios estados ordenados topológicamente tienen propiedades interesantes, como (1) degeneración topológica y estadísticas fraccionarias o estadísticas no abelianas que pueden usarse para realizar una computadora cuántica topológica; (2) estados de borde de conducción perfectos que pueden tener aplicaciones importantes en dispositivos; (3) campo de calibre emergente y estadísticas de Fermi que sugieren un origen de información cuántica de partículas elementales; [4] (4) entropía de entrelazamiento topológico que revela el origen del entrelazamiento del orden topológico, etc. El orden topológico es importante en el estudio de varios sistemas físicos, como los líquidos de espín , [5] [6] [7] [8] y el Efecto Hall cuántico , [9] [10] junto con aplicaciones potenciales a la computación cuántica tolerante a fallas . [11]

Los aisladores topológicos [12] y los superconductores topológicos (más allá de 1D) no tienen un orden topológico como se define anteriormente, ya que sus entrelazamientos son solo de corto alcance, pero son ejemplos de orden topológico protegido por simetría .

Fondo

La materia compuesta por átomos puede tener diferentes propiedades y aparecer en diferentes formas, como sólida , líquida , superfluida , etc. Estas diversas formas de la materia suelen denominarse estados de la materia o fases . Según la física de la materia condensada y el principio de emergencia , las diferentes propiedades de los materiales generalmente surgen de las diferentes formas en que se organizan los átomos en los materiales. Esas diferentes organizaciones de los átomos (u otras partículas) se denominan formalmente órdenes en los materiales. [13]

Los átomos se pueden organizar de muchas maneras, lo que da lugar a muchos órdenes diferentes y a muchos tipos diferentes de materiales. La teoría de la ruptura de simetría de Landau proporciona una comprensión general de estos diferentes órdenes. Señala que diferentes órdenes en realidad corresponden a diferentes simetrías en las organizaciones de los átomos constituyentes. A medida que un material cambia de un orden a otro (es decir, cuando el material sufre una transición de fase ), lo que sucede es que la simetría de la organización de los átomos cambia.

Por ejemplo, los átomos tienen una distribución aleatoria en un líquido , por lo que un líquido permanece igual a medida que desplazamos los átomos una distancia arbitraria. Decimos que un líquido tiene una simetría de traslación continua . Después de una transición de fase, un líquido puede convertirse en cristal . En un cristal, los átomos se organizan en una matriz regular (una red ). Una red permanece sin cambios solo cuando la desplazamos una distancia particular (un número entero multiplicado por una constante de red ), por lo que un cristal solo tiene simetría de traslación discreta . La transición de fase entre un líquido y un cristal es una transición que reduce la simetría de traslación continua del líquido a la simetría discreta del cristal. Tal cambio de simetría se llama ruptura de simetría . La esencia de la diferencia entre líquidos y cristales es, por tanto, que las organizaciones de los átomos tienen diferentes simetrías en las dos fases.

La teoría de Landau de ruptura de la simetría ha sido una teoría muy exitosa. Durante mucho tiempo, los físicos creyeron que la teoría de Landau describía todos los órdenes posibles de los materiales y todas las posibles transiciones de fase (continuas).

Descubrimiento y caracterización.

Sin embargo, desde finales de la década de 1980, se ha hecho gradualmente evidente que la teoría de ruptura de simetría de Landau puede no describir todos los órdenes posibles. En un intento de explicar la superconductividad a alta temperatura [14], se introdujo el estado de espín quiral . [5] [6] Al principio, los físicos todavía querían utilizar la teoría de ruptura de simetría de Landau para describir el estado de espín quiral. Identificaron el estado de espín quiral como un estado que rompe las simetrías de inversión del tiempo y de paridad, pero no la simetría de rotación del espín. Este debería ser el final de la historia según la descripción de los órdenes que rompe la simetría de Landau. Sin embargo, rápidamente se comprendió que existen muchos estados de espín quirales diferentes que tienen exactamente la misma simetría, por lo que la simetría por sí sola no era suficiente para caracterizar los diferentes estados de espín quirales. Esto significa que los estados de espín quirales contienen un nuevo tipo de orden que va más allá de la descripción de simetría habitual. [15] El nuevo tipo de orden propuesto se denominó "orden topológico". [1] El nombre "orden topológico" está motivado por la teoría efectiva de baja energía de los estados de espín quirales, que es una teoría topológica de campos cuánticos (TQFT). [16] [17] [18] Nuevos números cuánticos, como la degeneración del estado fundamental [15] (que puede definirse en un espacio cerrado o en un espacio abierto con límites separados, incluidos los órdenes topológicos abelianos [19] [20] y Los órdenes topológicos no abelianos [21] [22] ) y la fase geométrica no abeliana de estados fundamentales degenerados, [1] se introdujeron para caracterizar y definir los diferentes órdenes topológicos en estados de espín quirales. Más recientemente, se demostró que los órdenes topológicos también pueden caracterizarse por la entropía topológica . [23] [24]

Pero experimentos [ ¿cuáles? ] pronto indicó [ ¿cómo? ] que los estados de espín quirales no describen superconductores de alta temperatura, y la teoría del orden topológico se convirtió en una teoría sin realización experimental. Sin embargo, la similitud entre los estados de espín quirales y los estados de Hall cuánticos permite utilizar la teoría del orden topológico para describir diferentes estados de Hall cuánticos. [2] Al igual que los estados de espín quirales, los diferentes estados cuánticos de Hall tienen la misma simetría y están fuera de la descripción de ruptura de simetría de Landau. Se descubre que los diferentes órdenes en diferentes estados cuánticos de Hall pueden de hecho describirse mediante órdenes topológicos, por lo que el orden topológico tiene realizaciones experimentales.

El estado de Hall cuántico fraccional (FQH) fue descubierto en 1982 [9] [10] antes de la introducción del concepto de orden topológico en 1989. Pero el estado FQH no es el primer estado ordenado topológicamente descubierto experimentalmente. El superconductor , descubierto en 1911, es el primer estado ordenado topológicamente descubierto experimentalmente; tiene orden topológico Z 2 . [notas 1]

Aunque los estados topológicamente ordenados suelen aparecer en sistemas de bosones/fermiones que interactúan fuertemente, también puede aparecer un tipo simple de orden topológico en sistemas de fermiones libres. Este tipo de orden topológico corresponde al estado de Hall cuántico integral, que puede caracterizarse por el número de Chern de la banda de energía llena si consideramos el estado de Hall cuántico entero en una red. Los cálculos teóricos han propuesto que dichos números de Chern pueden medirse experimentalmente para un sistema de fermiones libres. [28] [29] También es bien sabido que dicho número de Chern puede medirse (tal vez indirectamente) mediante estados de borde.

La caracterización más importante de los órdenes topológicos serían las excitaciones fraccionadas subyacentes (como los anyones ) y sus estadísticas de fusión y trenzado (que pueden ir más allá de las estadísticas cuánticas de bosones o fermiones ). Los trabajos de investigación actuales muestran que las excitaciones tipo bucle y cuerda existen para órdenes topológicos en el espacio-tiempo de 3+1 dimensiones, y sus estadísticas de múltiples bucles/trenzado de cuerdas son las firmas cruciales para identificar órdenes topológicos de 3+1 dimensiones. [30] [31] [32] Las estadísticas de bucles múltiples/trenzado de cuerdas de órdenes topológicos de 3+1 dimensiones pueden capturarse mediante los invariantes de enlace de la teoría cuántica de campos topológica particular en 4 dimensiones de espacio-tiempo. [32]

Mecanismo

Una gran clase de órdenes topológicos 2+1D se realiza mediante un mecanismo llamado condensación de red de cuerdas . [33] Esta clase de órdenes topológicos puede tener un borde con huecos y se clasifican según la teoría de la categoría de fusión unitaria (o categoría monoidal ). Se descubre que la condensación de red de cuerdas puede generar infinitos tipos diferentes de órdenes topológicos, lo que puede indicar que quedan muchos tipos nuevos de materiales por descubrir.

Los movimientos colectivos de las cuerdas condensadas dan lugar a excitaciones por encima de los estados condensados ​​de la red de cuerdas. Esas excitaciones resultan ser bosones de calibre . Los extremos de las cuerdas son defectos que corresponden a otro tipo de excitaciones. Esas excitaciones son las cargas calibre y pueden llevar estadísticas de Fermi o fraccionarias . [34]

Las condensaciones de otros objetos extendidos como " membranas ", [35] "redes de branas", [36] y fractales también conducen a fases topológicamente ordenadas [37] y "vidriosidad cuántica". [38] [39]

formulación matemática

Sabemos que la teoría de grupos es la base matemática de los órdenes que rompen la simetría. ¿Cuál es el fundamento matemático del orden topológico? Se descubrió que una subclase de órdenes topológicos 2+1D (órdenes topológicos abelianos) puede clasificarse mediante un enfoque de matriz K. [40] [41] [42] [43] La condensación de red de cuerdas sugiere que la categoría tensorial (como la categoría de fusión o la categoría monoidal ) es parte de la base matemática del orden topológico en 2+1D. Las investigaciones más recientes sugieren que (hasta órdenes topológicos invertibles que no tienen excitaciones fraccionadas):

El orden topológico en dimensiones superiores puede estar relacionado con la teoría de n-categorías. El álgebra de operadores cuánticos es una herramienta matemática muy importante en el estudio de órdenes topológicos.

Algunos también sugieren que el orden topológico se describe matemáticamente mediante simetría cuántica extendida . [44]

Aplicaciones

Los materiales descritos por la teoría de la ruptura de simetría de Landau han tenido un impacto sustancial en la tecnología. Por ejemplo, los materiales ferromagnéticos que rompen la simetría de rotación del espín se pueden utilizar como medio de almacenamiento de información digital. Un disco duro fabricado con materiales ferromagnéticos puede almacenar gigabytes de información. Los cristales líquidos que rompen la simetría rotacional de las moléculas encuentran una amplia aplicación en la tecnología de visualización. Los cristales que rompen la simetría de traslación dan lugar a bandas electrónicas bien definidas que a su vez nos permiten fabricar dispositivos semiconductores como los transistores . Los diferentes tipos de órdenes topológicos son incluso más ricos que los diferentes tipos de órdenes que rompen la simetría. Esto sugiere su potencial para aplicaciones novedosas e interesantes.

Una aplicación teorizada sería utilizar estados ordenados topológicamente como medios para la computación cuántica en una técnica conocida como computación cuántica topológica . Un estado topológicamente ordenado es un estado con complicado entrelazamiento cuántico no local . La no localidad significa que el entrelazamiento cuántico en un estado topológicamente ordenado se distribuye entre muchas partículas diferentes. Como resultado, el patrón de entrelazamientos cuánticos no puede ser destruido por perturbaciones locales. Esto reduce significativamente el efecto de la decoherencia . Esto sugiere que si utilizamos diferentes entrelazamientos cuánticos en un estado topológicamente ordenado para codificar información cuántica, la información puede durar mucho más. [45] La información cuántica codificada por los entrelazamientos cuánticos topológicos también se puede manipular arrastrando los defectos topológicos entre sí. Este proceso puede proporcionar un aparato físico para realizar cálculos cuánticos . [46] Por lo tanto, los estados topológicamente ordenados pueden proporcionar medios naturales tanto para la memoria cuántica como para la computación cuántica. Tales realizaciones de la memoria cuántica y la computación cuántica pueden llegar a ser potencialmente tolerantes a fallos . [11]

Los estados topológicamente ordenados en general tienen la propiedad especial de contener estados fronterizos no triviales. En muchos casos, esos estados límite se convierten en canales conductores perfectos que pueden conducir electricidad sin generar calor. [47] Esta puede ser otra aplicación potencial del orden topológico en dispositivos electrónicos.

De manera similar al orden topológico, los aisladores topológicos [48] [49] también tienen estados límite sin espacios. Los estados límite de los aisladores topológicos juegan un papel clave en la detección y aplicación de aisladores topológicos. Esta observación conduce naturalmente a una pregunta: ¿son los aisladores topológicos ejemplos de estados topológicamente ordenados? De hecho, los aisladores topológicos son diferentes de los estados topológicamente ordenados definidos en este artículo. Los aisladores topológicos solo tienen entrelazamientos de corto alcance y no tienen orden topológico, mientras que el orden topológico definido en este artículo es un patrón de entrelazamiento de largo alcance. El orden topológico es robusto frente a cualquier perturbación. Tiene teoría de calibre emergente, carga fraccionaria emergente y estadística fraccionaria. Por el contrario, los aisladores topológicos son robustos sólo contra perturbaciones que respetan la inversión del tiempo y las simetrías U(1). Sus excitaciones de cuasipartículas no tienen carga fraccionaria ni estadísticas fraccionarias. Estrictamente hablando, el aislante topológico es un ejemplo de orden topológico protegido por simetría (SPT) , [50] donde el primer ejemplo de orden SPT es la fase Haldane de la cadena spin-1. [51] [52] [53] [54] Pero la fase Haldane de la cadena spin-2 no tiene orden SPT.

Impacto potencial

La teoría de la ruptura de la simetría de Landau es la piedra angular de la física de la materia condensada . Se utiliza para definir el territorio de investigación de materia condensada. La existencia de un orden topológico parece indicar que la naturaleza es mucho más rica de lo que hasta ahora ha indicado la teoría de la ruptura de la simetría de Landau. De modo que el orden topológico abre una nueva dirección en la física de la materia condensada: una nueva dirección para la materia cuántica altamente entrelazada. Nos damos cuenta de que las fases cuánticas de la materia (es decir, las fases de temperatura cero de la materia) se pueden dividir en dos clases: estados entrelazados de largo alcance y estados entrelazados de corto alcance. [3] Orden topológico es la noción que describe los estados entrelazados de largo alcance: orden topológico = patrón de entrelazamientos de largo alcance. Los estados entrelazados de corto alcance son triviales en el sentido de que todos pertenecen a una fase. Sin embargo, en presencia de simetría, incluso los estados entrelazados de corto alcance no son triviales y pueden pertenecer a diferentes fases. Se dice que esas fases contienen orden SPT . [50] El orden SPT generaliza la noción de aislante topológico a sistemas que interactúan.

Algunos sugieren que el orden topológico (o más precisamente, la condensación de red de cuerdas ) en los modelos bosónicos locales (de espín) tiene el potencial de proporcionar un origen unificado para fotones , electrones y otras partículas elementales en nuestro universo. [4]

Ver también

Notas

  1. ^ Tenga en cuenta que la superconductividad puede describirse mediante la teoría de Ginzburg-Landau con un campo de calibre EM dinámico U (1), que es una teoría de calibre Z 2 , es decir, una teoría efectiva del orden topológico Z 2 . La predicción del estado de vórtice en superconductores fue uno de los principales éxitos de la teoría de Ginzburg-Landau con el campo dinámico calibre U(1). El vórtice en la teoría calibrada de Ginzburg-Landau no es más que la línea de flujo Z 2 en la teoría calibrada de Ginzburg - Landau . La teoría de Ginzburg-Landau sin el campo dinámico de calibre U (1) no logra describir los superconductores reales con interacción electromagnética dinámica. [8] [25] [26] [27] Sin embargo, en la física de la materia condensada, superconductor generalmente se refiere a un estado con un campo calibre EM no dinámico. Tal estado es un estado de ruptura de simetría sin orden topológico.

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Referencias por categorías

Estados de Hall cuánticos fraccionarios

Estados de espín quirales

Caracterización temprana de los estados FQH.

Orden topológico

Caracterización del orden topológico.

Teoría efectiva del orden topológico.

Mecanismo de orden topológico

Computación cuántica

Aparición de partículas elementales.

Álgebra de operadores cuánticos