Orden topológico protegido por simetría

Tipo de orden topológico en la física de la materia condensada

El orden topológico protegido por simetría (SPT) ^{[1] [2]} es un tipo de orden en estados mecánico-cuánticos de la materia de temperatura cero que tienen una simetría y una brecha de energía finita.

Para obtener los resultados de una manera lo más invariante posible, se utilizan métodos de grupos de renormalización (que conducen a clases de equivalencia correspondientes a ciertos puntos fijos). ^[1] El orden SPT tiene las siguientes propiedades definitorias:

(a) estados SPT distintos con una simetría dada no pueden deformarse suavemente entre sí sin una transición de fase, si la deformación preserva la simetría .
(b) sin embargo, todos ellos pueden deformarse suavemente en el mismo estado de producto trivial sin una transición de fase, si la simetría se rompe durante la deformación .

La definición anterior funciona tanto para sistemas bosónicos como para sistemas fermiónicos, lo que conduce a las nociones de orden SPT bosónico y orden SPT fermiónico.

Usando la noción de entrelazamiento cuántico , podemos decir que los estados SPT son estados entrelazados de corto alcance con una simetría (por el contrario: para el entrelazamiento de largo alcance, véase el orden topológico , que no está relacionado con la famosa paradoja EPR ). Dado que los estados entrelazados de corto alcance tienen solo órdenes topológicos triviales , también podemos referirnos al orden SPT como orden "trivial" protegido por simetría.

Propiedades características

1. La teoría de la efectividad de los límites de un estado SPT no trivial siempre tiene una anomalía de calibración pura o una anomalía de calibración-gravedad mixta para el grupo de simetría. ^[3] Como resultado, el límite de un estado SPT no tiene brechas o está degenerado, independientemente de cómo cortemos la muestra para formar el límite. Un límite no degenerado con brechas es imposible para un estado SPT no trivial. Si el límite es un estado degenerado con brechas, la degeneración puede ser causada por una ruptura espontánea de la simetría y/o un orden topológico (intrínseco).
2. Los defectos de monodromía en estados SPT 2+1D no triviales llevan estadísticas no triviales ^[4] y números cuánticos fraccionarios ^[5] del grupo de simetría. Los defectos de monodromía se crean torciendo la condición de contorno a lo largo de un corte mediante una transformación de simetría. Los extremos de dicho corte son los defectos de monodromía. Por ejemplo, los estados SPT Z _n bosónicos 2+1D se clasifican por un entero Z _n m . Se puede demostrar que n defectos de monodromía elementales idénticos en un estado SPT Z _n etiquetado por m llevarán un número cuántico Z _{n total} 2m que no es un múltiplo de n .
3. Los estados SPT bosónicos 2+1D U(1) tienen una conductancia Hall que está cuantificada como un entero par. ^{[6] [7]} Los estados SPT bosónicos 2+1D SO(3) tienen una conductancia Hall de espín cuantificada. ^[8]

Relación entre el orden SPT y el orden topológico (intrínseco)

Los estados SPT están entrelazados a corto plazo, mientras que los estados ordenados topológicamente están entrelazados a largo plazo. Tanto el orden topológico intrínseco como el orden SPT pueden tener a veces excitaciones de contorno sin brechas protegidas. La diferencia es sutil: las excitaciones de contorno sin brechas en el orden topológico intrínseco pueden ser robustas frente a cualquier perturbación local, mientras que las excitaciones de contorno sin brechas en el orden SPT son robustas solo frente a perturbaciones locales que no rompen la simetría . Por lo tanto, las excitaciones de contorno sin brechas en el orden topológico intrínseco están protegidas topológicamente, mientras que las excitaciones de contorno sin brechas en el orden SPT están protegidas frente a la simetría . ^[9]

También sabemos que un orden topológico intrínseco tiene carga fraccionaria emergente , estadísticas fraccionarias emergentes y teoría de calibre emergente . Por el contrario, un orden SPT no tiene carga fraccionaria emergente / estadísticas fraccionarias para excitaciones de energía finita, ni teoría de calibre emergente (debido a su entrelazamiento de corto alcance). Nótese que los defectos de monodromía discutidos anteriormente no son excitaciones de energía finita en el espectro del hamiltoniano, sino defectos creados al modificar el hamiltoniano.

Ejemplos

El primer ejemplo de orden SPT es la fase Haldane de la cadena de espín de enteros impares. ^{[10] [11] [12] [13] [14]} Es una fase SPT protegida por la simetría de rotación de espín SO(3) . ^[1] Nótese que las fases Haldane de la cadena de espín de enteros pares no tienen orden SPT. Un ejemplo más conocido de orden SPT es el aislante topológico de fermiones no interactuantes, una fase SPT protegida por U(1) y simetría de inversión temporal .

Por otra parte, los estados Hall cuánticos fraccionarios no son estados SPT, sino estados con orden topológico (intrínseco) y entrelazamientos de largo alcance.

Teoría de cohomología de grupos para fases SPT

Utilizando la noción de entrelazamiento cuántico , se obtiene la siguiente imagen general de fases con huecos a temperatura cero. Todas las fases con huecos a temperatura cero se pueden dividir en dos clases: fases entrelazadas de largo alcance ( es decir , fases con orden topológico intrínseco ) y fases entrelazadas de corto alcance ( es decir , fases sin orden topológico intrínseco ). Todas las fases entrelazadas de corto alcance se pueden dividir a su vez en tres clases: fases de ruptura de simetría , fases SPT y su mezcla (el orden de ruptura de simetría y el orden SPT pueden aparecer juntos).

Es bien sabido que los órdenes de ruptura de simetría se describen mediante la teoría de grupos . Para las fases SPT bosónicas con límite anómalo de calibre puro, se demostró que se clasifican mediante la teoría de cohomología de grupo : ^{[15] [16]} aquellos estados SPT (d+1)D con simetría G están etiquetados por los elementos en la clase de cohomología de grupo . Para otros estados SPT (d+1)D ^{[17] [18] [19] [20]} con límite anómalo de gravedad-calibre mixto, se pueden describir mediante , ^[21] donde es el grupo abeliano formado por (d+1)D fases ordenadas topológicamente que no tienen excitaciones topológicas no triviales (denominadas fases iTO). ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$ ${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$ ${\displaystyle iTO^{d+1}}$

A partir de los resultados anteriores, se predicen muchos nuevos estados cuánticos de la materia, incluidos los aislantes topológicos bosónicos (los estados SPT protegidos por U(1) y la simetría de inversión temporal) y los superconductores topológicos bosónicos (los estados SPT protegidos por la simetría de inversión temporal), así como muchos otros nuevos estados SPT protegidos por otras simetrías.

Una lista de estados SPT bosónicos de cohomología de grupo ( = grupo de simetría de inversión temporal) ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]\oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$ ${\displaystyle Z_{2}^{T}}$

Las fases antes de "+" provienen de . Las fases después de "+" provienen de . Así como la teoría de grupos puede darnos 230 estructuras cristalinas en 3+1D, la teoría de cohomología de grupos puede darnos varias fases SPT en cualquier dimensión con cualquier grupo de simetría in situ. ${\displaystyle H^{d+1}[G,U(1)]}$ ${\displaystyle \oplus _{k=1}^{d}H^{k}[G,iTO^{d+1-k}]}$

Por otra parte, los órdenes SPT fermiónicos se describen mediante la teoría de supercohomología de grupos. ^[22] Por lo tanto, la teoría de (super)cohomología de grupos nos permite construir muchos órdenes SPT incluso para sistemas interactuantes, que incluyen aislantes/superconductores topológicos interactuantes.

Una clasificación completa de fases cuánticas 1D con brechas (con interacciones)

Utilizando las nociones de entrelazamiento cuántico y orden SPT, se puede obtener una clasificación completa de todas las fases cuánticas con huecos 1D.

En primer lugar, se demuestra que no existe un orden topológico (intrínseco) en 1D ( es decir, todos los estados con huecos en 1D están entrelazados a corto plazo). ^[23] Por lo tanto, si los hamiltonianos no tienen simetría, todos sus estados cuánticos con huecos en 1D pertenecen a una fase: la fase de los estados de producto trivial. Por otro lado, si los hamiltonianos sí tienen simetría, sus estados cuánticos con huecos en 1D son fases de ruptura de simetría , fases SPT y su mezcla.

Esta comprensión permite clasificar todas las fases cuánticas 1D con huecos: ^{[15] [24] [25] [26] [27]} Todas las fases 1D con huecos se clasifican por los siguientes tres objetos matemáticos: , donde es el grupo de simetría del hamiltoniano, el grupo de simetría de los estados fundamentales y la segunda clase de cohomología del grupo de . (Tenga en cuenta que clasifica las representaciones proyectivas de ). Si no hay ruptura de simetría ( es decir , ), las fases 1D con huecos se clasifican por las representaciones proyectivas del grupo de simetría . ${\displaystyle (G_{H},G_{\Psi },H^{2}[G_{\Psi },U(1)])}$ ${\displaystyle G_{H}}$ ${\displaystyle G_{\Psi }}$ ${\displaystyle H^{2}[G_{\Psi },U(1)]}$ ${\displaystyle G_{\Psi }}$ ${\displaystyle H^{2}[G,U(1)]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{\Psi }=G_{H}}$ ${\displaystyle G_{H}}$

Véase también

• Modelo AKLT
• Aislante topológico
• Tabla periódica de invariantes topológicos
• Efecto Hall de espín cuántico
• Orden topológico

Referencias

1. Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (26 de octubre de 2009). "Enfoque de renormalización por filtrado de entrelazamiento tensorial y orden topológico protegido por simetría". Physical Review B . 80 (15): 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode :2009PhRvB..80o5131G. doi :10.1103/physrevb.80.155131. ISSN  1098-0121. S2CID  15114579.
2. Pollmann, Frank; Berg, Erez; Turner, Ari M.; Oshikawa, Masaki (22 de febrero de 2012). "Protección de simetría de fases topológicas en sistemas de espín cuántico unidimensionales". Physical Review B . 85 (7): 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode :2012PhRvB..85g5125P. doi :10.1103/physrevb.85.075125. ISSN  1098-0121. S2CID  53135907.
3. Wen, Xiao-Gang (9 de agosto de 2013). "Clasificación de anomalías de calibración mediante órdenes triviales protegidos por simetría y clasificación de anomalías gravitacionales mediante órdenes topológicos". Physical Review D . 88 (4): 045013. arXiv : 1303.1803 . Bibcode :2013PhRvD..88d5013W. doi :10.1103/physrevd.88.045013. ISSN  1550-7998. S2CID  18250786.
4. Levin, Michael; Gu, Zheng-Cheng (10 de septiembre de 2012). "Enfoque estadístico de trenzado para fases topológicas protegidas por simetría". Physical Review B . 86 (11): 114109. arXiv : 1202.3120 . Bibcode :2012PhRvB..86k5109L. doi :10.1103/physrevb.86.115109. ISSN  1098-0121. S2CID  118688476.
5. Wen, Xiao-Gang (31 de enero de 2014). "Invariantes topológicos protegidos por simetría de fases topológicas protegidas por simetría de bosones y fermiones en interacción". Physical Review B . 89 (3): 035147. arXiv : 1301.7675 . Bibcode :2014PhRvB..89c5147W. doi :10.1103/physrevb.89.035147. ISSN  1098-0121. S2CID  55842699.
6. Lu, Yuan-Ming; Vishwanath, Ashvin (14 de septiembre de 2012). "Teoría y clasificación de fases topológicas enteras interactuantes en dos dimensiones: un enfoque de Chern-Simons". Physical Review B . 86 (12): 125119. arXiv : 1205.3156 . Bibcode :2012PhRvB..86l5119L. doi :10.1103/physrevb.86.125119. ISSN  1098-0121. S2CID  86856666.
7. Liu, Zheng-Xin; Mei, Jia-Wei; Ye, Peng; Wen, Xiao-Gang (24 de diciembre de 2014). "Orden topológico protegido por simetría U(1)×U(1) en funciones de onda de Gutzwiller". Physical Review B . 90 (23): 235146. arXiv : 1408.1676 . Código Bibliográfico :2014PhRvB..90w5146L. doi :10.1103/physrevb.90.235146. ISSN  1098-0121. S2CID  14800302.
8. Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (7 de febrero de 2013). "Fases Hall de espín cuántico protegidas por simetría en dos dimensiones". Physical Review Letters . 110 (6): 067205. arXiv : 1205.7024 . Bibcode :2013PhRvL.110f7205L. doi :10.1103/physrevlett.110.067205. ISSN  0031-9007. PMID  23432300. S2CID  12995741.
9. También hay que tener en cuenta la sutileza semántica del nombre SPT: "simetría protegida" no significa que la estabilidad del estado se conserva "debido a la simetría", sino simplemente que la simetría se mantiene por las interacciones correspondientes al proceso.
10. Haldane, FDM (11 de abril de 1983). "Teoría de campos no lineal de antiferromagnéticos de Heisenberg de gran espín: solitones cuantificados semiclásicamente del estado unidimensional de Néel de eje fácil". Physical Review Letters . 50 (15). American Physical Society (APS): 1153–1156. Bibcode :1983PhRvL..50.1153H. doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 . ISSN  0031-9007.
11. Haldane, FDM (1983). "Dinámica del continuo del antiferromagnético de Heisenberg 1-D: identificación con el modelo sigma no lineal O(3)". Physics Letters A . 93 (9). Elsevier BV: 464–468. Bibcode :1983PhLA...93..464H. doi :10.1016/0375-9601(83)90631-x. ISSN  0375-9601.
12. Affleck, Ian; Haldane, FDM (1 de septiembre de 1987). "Teoría crítica de las cadenas de espín cuántico". Physical Review B . 36 (10). American Physical Society (APS): 5291–5300. Bibcode :1987PhRvB..36.5291A. doi :10.1103/physrevb.36.5291. ISSN  0163-1829. PMID  9942166.
13. Affleck, I (15 de mayo de 1989). "Cadenas de espín cuántico y la brecha de Haldane". Journal of Physics: Condensed Matter . 1 (19). IOP Publishing: 3047–3072. Bibcode :1989JPCM....1.3047A. doi :10.1088/0953-8984/1/19/001. ISSN  0953-8984. S2CID  250850599.
14. Mishra, Shantanu; Catarina, Gonzalo; Wu, Fupeng; Ortíz, Ricardo; Jacob, David; Eimre, Kristjan; Mamá, Ji; Pignedoli, Carlo A.; Feng, Xinliang; Ruffieux, Pascal; Fernández-Rossier, Joaquín; Fasel, Roman (13 de octubre de 2021). "Observación de excitaciones de bordes fraccionales en cadenas de espín de nanografeno". Naturaleza . 598 (7880): 287–292. arXiv : 2105.09102 . Código Bib :2021Natur.598..287M. doi :10.1038/s41586-021-03842-3. PMID  34645998. S2CID  234777902.
15. Chen, Xie; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (22 de diciembre de 2011). "Órdenes topológicas protegidas por simetría bidimensional y sus excitaciones protegidas de aristas sin gapless". Physical Review B . 84 (23): 235141. arXiv : 1106.4752 . Bibcode :2011PhRvB..84w5141C. doi :10.1103/physrevb.84.235141. ISSN  1098-0121. S2CID  55330505.
16. Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Liu, Zheng-Xin; Wen, Xiao-Gang (4 de abril de 2013). "Órdenes topológicas protegidas por simetría y la cohomología de grupo de su grupo de simetría". Physical Review B . 87 (15): 155114. arXiv : 1106.4772 . Bibcode :2013PhRvB..87o5114C. doi :10.1103/physrevb.87.155114. ISSN  1098-0121. S2CID  118546600.
17. Vishwanath, Ashvin; Senthil, T. (28 de febrero de 2013). "Física de aislantes topológicos bosónicos tridimensionales: criticidad desconfinada en la superficie y efecto magnetoeléctrico cuantificado". Physical Review X . 3 (1): 011016. arXiv : 1209.3058 . Bibcode :2013PhRvX...3a1016V. doi : 10.1103/physrevx.3.011016 . ISSN  2160-3308.
18. Anton Kapustin, "Fases topológicas protegidas por simetría, anomalías y cobordismos: más allá de la cohomología de grupos" arXiv:1403.1467
19. Wang, Juven C.; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (22 de enero de 2015). "Representación de teoría de campos de invariantes topológicos protegidos por simetría de gravedad de calibre, cohomología de grupos y más allá". Physical Review Letters . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Código Bibliográfico :2015PhRvL.114c1601W. doi :10.1103/physrevlett.114.031601. ISSN  0031-9007. PMID  25658993. S2CID  2370407.
20. Kapustin, Anton; Thorngren, Ryan; Turzillo, Alex; Wang, Zitao (2015). "Fases topológicas protegidas por simetría fermiónica y cobordismos". Journal of High Energy Physics . 2015 (12): 1–21. arXiv : 1406.7329 . Bibcode :2015JHEP...12..052K. doi :10.1007/jhep12(2015)052. ISSN  1029-8479. S2CID  42613274.
21. Wen, Xiao-Gang (4 de mayo de 2015). "Construcción de estados triviales protegidos por simetría bosónica y sus invariantes topológicos mediante modelos σ no lineales G×SO(∞)". Physical Review B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Bibcode :2015PhRvB..91t5101W. doi :10.1103/physrevb.91.205101. ISSN  1098-0121. S2CID  13950401.
22. Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (23 de septiembre de 2014). "Órdenes topológicas protegidas por simetría para fermiones en interacción: modelos σ topológicos no lineales fermiónicos y una teoría de supercohomología de grupo especial". Physical Review B . 90 (11): 115141. arXiv : 1201.2648 . Bibcode :2014PhRvB..90k5141G. doi :10.1103/physrevb.90.115141. ISSN  1098-0121. S2CID  119307777.
23. Verstraete, F.; Cirac, JI; Latorre, JI; Rico, E.; Wolf, MM (14 de abril de 2005). "Transformaciones de grupos de renormalización en estados cuánticos". Physical Review Letters . 94 (14): 140601. arXiv : quant-ph/0410227 . Bibcode :2005PhRvL..94n0601V. doi :10.1103/physrevlett.94.140601. ISSN  0031-9007. PMID  15904055. S2CID  21362387.
24. Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (13 de enero de 2011). "Clasificación de fases simétricas con huecos en sistemas de espín unidimensionales". Physical Review B . 83 (3): 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode :2011PhRvB..83c5107C. doi :10.1103/physrevb.83.035107. ISSN  1098-0121. S2CID  9139955.
25. Turner, Ari M.; Pollmann, Frank; Berg, Erez (8 de febrero de 2011). "Fases topológicas de fermiones unidimensionales: un punto de vista de entrelazamiento". Physical Review B . 83 (7): 075102. arXiv : 1008.4346 . Bibcode :2011PhRvB..83g5102T. doi :10.1103/physrevb.83.075102. ISSN  1098-0121. S2CID  118491997.
26. Fidkowski, Lukasz; Kitaev, Alexei (8 de febrero de 2011). "Fases topológicas de fermiones en una dimensión". Physical Review B . 83 (7). American Physical Society (APS): 075103. arXiv : 1008.4138 . Bibcode :2011PhRvB..83g5103F. doi :10.1103/physrevb.83.075103. ISSN  1098-0121. S2CID  1201670.
27. Schuch, Norbert; Pérez-García, David; Cirac, Ignacio (31 de octubre de 2011). "Clasificación de fases cuánticas utilizando estados de producto de matriz y estados de pares entrelazados proyectados". Physical Review B . 84 (16): 165139. arXiv : 1010.3732 . Bibcode :2011PhRvB..84p5139S. doi :10.1103/physrevb.84.165139. ISSN  1098-0121. S2CID  74872240.