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Orden topológico

En física , el orden topológico [1] es un tipo de orden en la fase de temperatura cero de la materia (también conocida como materia cuántica). Macroscópicamente, el orden topológico se define y describe mediante la degeneración robusta del estado fundamental [2] y las fases geométricas no abelianas cuantificadas de los estados fundamentales degenerados. [1] Microscópicamente, los órdenes topológicos corresponden a patrones de entrelazamiento cuántico de largo alcance . [3] Los estados con diferentes órdenes topológicos (o diferentes patrones de entrelazamiento de largo alcance) no pueden cambiar entre sí sin una transición de fase.

Varios estados ordenados topológicamente tienen propiedades interesantes, tales como (1) degeneración topológica y estadísticas fraccionarias o estadísticas de grupo no abelianas que pueden usarse para realizar una computadora cuántica topológica ; (2) estados de borde conductores perfectos que pueden tener importantes aplicaciones de dispositivos; (3) campo de calibración emergente y estadísticas de Fermi que sugieren un origen de información cuántica de partículas elementales ; [4] (4) entropía de entrelazamiento topológico que revela el origen de entrelazamiento del orden topológico, etc. El orden topológico es importante en el estudio de varios sistemas físicos tales como líquidos de espín , [5] [6] [7] [8] y el efecto Hall cuántico , [9] [10] junto con aplicaciones potenciales para computación cuántica tolerante a fallas . [11]

Los aislantes topológicos [12] y los superconductores topológicos (más allá de 1D) no tienen orden topológico como se definió anteriormente, sus entrelazamientos son solo de corto alcance, pero son ejemplos de orden topológico protegido por simetría .

Fondo

La materia compuesta por átomos puede tener diferentes propiedades y presentarse en diferentes formas, como sólido , líquido , superfluido , etc. Estas diversas formas de materia se denominan a menudo estados de la materia o fases . Según la física de la materia condensada y el principio de emergencia , las diferentes propiedades de los materiales surgen generalmente de las diferentes formas en que se organizan los átomos en los materiales. Esas diferentes organizaciones de los átomos (u otras partículas) se denominan formalmente órdenes en los materiales. [13]

Los átomos pueden organizarse de muchas maneras, lo que da lugar a muchos órdenes diferentes y a muchos tipos diferentes de materiales. La teoría de ruptura de simetría de Landau proporciona una comprensión general de estos diferentes órdenes. Señala que los diferentes órdenes realmente corresponden a diferentes simetrías en las organizaciones de los átomos constituyentes. A medida que un material cambia de un orden a otro (es decir, cuando el material experimenta una transición de fase ), lo que sucede es que cambia la simetría de la organización de los átomos.

Por ejemplo, los átomos tienen una distribución aleatoria en un líquido , por lo que un líquido permanece igual cuando desplazamos los átomos una distancia arbitraria. Decimos que un líquido tiene una simetría de traslación continua . Después de una transición de fase, un líquido puede convertirse en un cristal . En un cristal, los átomos se organizan en una disposición regular (una red ). Una red permanece inalterada solo cuando la desplazamos una distancia particular (un entero por una constante de red ), por lo que un cristal solo tiene simetría de traslación discreta . La transición de fase entre un líquido y un cristal es una transición que reduce la simetría de traslación continua del líquido a la simetría discreta del cristal. Tal cambio de simetría se llama ruptura de simetría . La esencia de la diferencia entre líquidos y cristales es, por lo tanto, que las organizaciones de los átomos tienen diferentes simetrías en las dos fases.

La teoría de ruptura de simetría de Landau ha sido una teoría muy exitosa. Durante mucho tiempo, los físicos creyeron que la teoría de Landau describía todos los órdenes posibles en los materiales y todas las transiciones de fase (continuas) posibles.

Descubrimiento y caracterización

Sin embargo, desde finales de los años 1980, se ha hecho cada vez más evidente que la teoría de ruptura de simetría de Landau puede no describir todos los órdenes posibles. En un intento de explicar la superconductividad de alta temperatura [14] se introdujo el estado de espín quiral . [5] [6] Al principio, los físicos todavía querían utilizar la teoría de ruptura de simetría de Landau para describir el estado de espín quiral. Identificaron el estado de espín quiral como un estado que rompe las simetrías de inversión temporal y paridad, pero no la simetría de rotación de espín. Este debería ser el final de la historia según la descripción de los órdenes de ruptura de simetría de Landau. Sin embargo, rápidamente se comprendió que hay muchos estados de espín quirales diferentes que tienen exactamente la misma simetría, por lo que la simetría por sí sola no era suficiente para caracterizar diferentes estados de espín quirales. Esto significa que los estados de espín quirales contienen un nuevo tipo de orden que está más allá de la descripción de simetría habitual. [15] El nuevo tipo de orden propuesto se denominó "orden topológico". [1] El nombre "orden topológico" está motivado por la teoría de baja energía efectiva de los estados de espín quirales, que es una teoría cuántica de campos topológicos (TQFT). [16] [17] [18] Se introdujeron nuevos números cuánticos, como la degeneración del estado fundamental [15] (que se puede definir en un espacio cerrado o un espacio abierto con límites con huecos, incluidos tanto los órdenes topológicos abelianos [19] [20] como los órdenes topológicos no abelianos [21] [22] ) y la fase geométrica no abeliana de los estados fundamentales degenerados, [1] para caracterizar y definir los diferentes órdenes topológicos en los estados de espín quirales. Más recientemente, se demostró que los órdenes topológicos también se pueden caracterizar por la entropía topológica . [23] [24]

Pero los experimentos [ ¿cuáles? ] pronto indicaron [ ¿cómo? ] que los estados de espín quirales no describen superconductores de alta temperatura, y la teoría del orden topológico se convirtió en una teoría sin realización experimental. Sin embargo, la similitud entre los estados de espín quirales y los estados Hall cuánticos permite utilizar la teoría del orden topológico para describir diferentes estados Hall cuánticos. [2] Al igual que los estados de espín quirales, los diferentes estados Hall cuánticos tienen todos la misma simetría y están fuera de la descripción de ruptura de simetría de Landau. Se descubre que los diferentes órdenes en diferentes estados Hall cuánticos pueden de hecho ser descritos por órdenes topológicos, por lo que el orden topológico tiene realizaciones experimentales.

El estado Hall cuántico fraccionario (FQH) fue descubierto en 1982 [9] [10] antes de la introducción del concepto de orden topológico en 1989. Pero el estado FQH no es el primer estado topológicamente ordenado descubierto experimentalmente. El superconductor , descubierto en 1911, es el primer estado topológicamente ordenado descubierto experimentalmente; tiene un orden topológico Z 2. [nota 1]

Aunque los estados ordenados topológicamente suelen aparecer en sistemas de bosones y fermiones que interactúan fuertemente, también puede aparecer un tipo simple de orden topológico en sistemas de fermiones libres. Este tipo de orden topológico corresponde al estado Hall cuántico integral, que puede caracterizarse por el número de Chern de la banda de energía llena si consideramos el estado Hall cuántico entero en una red. Los cálculos teóricos han propuesto que dichos números de Chern pueden medirse para un sistema de fermiones libres experimentalmente. [28] [29] También es bien sabido que dicho número de Chern puede medirse (quizás indirectamente) por estados de borde.

La caracterización más importante de los órdenes topológicos serían las excitaciones fraccionadas subyacentes (como los anyones ) y sus estadísticas de fusión y de trenzado (que pueden ir más allá de las estadísticas cuánticas de los bosones o fermiones ). Los trabajos de investigación actuales muestran que las excitaciones de tipo bucle y de cuerda existen para los órdenes topológicos en el espacio-tiempo de 3+1 dimensiones, y sus estadísticas de multibucles/trenzamiento de cuerdas son las firmas cruciales para identificar los órdenes topológicos de 3+1 dimensiones. [30] [ 31] [32] Las estadísticas de multibucles/trenzamiento de cuerdas de los órdenes topológicos de 3+1 dimensiones pueden ser capturadas por los invariantes de enlace de la teoría cuántica de campos topológicos particular en 4 dimensiones del espacio-tiempo. [32]

Mecanismo

Una gran clase de órdenes topológicos 2+1D se realiza a través de un mecanismo llamado condensación de red de cuerdas . [33] Esta clase de órdenes topológicos puede tener un borde con hueco y se clasifican mediante la teoría de la categoría de fusión unitaria (o categoría monoidal ). Se descubre que la condensación de red de cuerdas puede generar infinitos tipos diferentes de órdenes topológicos, lo que puede indicar que quedan muchos tipos nuevos de materiales por descubrir.

Los movimientos colectivos de cuerdas condensadas dan lugar a excitaciones por encima de los estados condensados ​​de la red de cuerdas. Esas excitaciones resultan ser bosones de norma . Los extremos de las cuerdas son defectos que corresponden a otro tipo de excitaciones. Esas excitaciones son las cargas de norma y pueden llevar estadísticas de Fermi o fraccionarias . [34]

Las condensaciones de otros objetos extendidos como las " membranas ", [35] las "redes de branas", [36] y los fractales también conducen a fases ordenadas topológicamente [37] y a una "vidriosidad cuántica". [38] [39]

Formulación matemática

Sabemos que la teoría de grupos es la base matemática de los órdenes que rompen la simetría. ¿Cuál es la base matemática del orden topológico? Se encontró que una subclase de órdenes topológicos 2+1D (los órdenes topológicos abelianos) se pueden clasificar mediante un enfoque de matriz K. [40] [41] [42] [43] La condensación de red de cuerdas sugiere que la categoría tensorial (como la categoría de fusión o la categoría monoidal ) es parte de la base matemática del orden topológico en 2+1D. Las investigaciones más recientes sugieren que (hasta los órdenes topológicos invertibles que no tienen excitaciones fraccionadas):

El orden topológico en dimensiones superiores puede estar relacionado con la teoría de n-categorías. El álgebra de operadores cuánticos es una herramienta matemática muy importante para estudiar los órdenes topológicos.

Algunos también sugieren que el orden topológico se describe matemáticamente mediante la simetría cuántica extendida . [44]

Aplicaciones

Los materiales descritos por la teoría de ruptura de simetría de Landau han tenido un impacto sustancial en la tecnología. Por ejemplo, los materiales ferromagnéticos que rompen la simetría de rotación de espín se pueden utilizar como medios de almacenamiento de información digital. Un disco duro hecho de materiales ferromagnéticos puede almacenar gigabytes de información. Los cristales líquidos que rompen la simetría rotacional de las moléculas encuentran una amplia aplicación en la tecnología de visualización. Los cristales que rompen la simetría de traslación conducen a bandas electrónicas bien definidas que, a su vez, nos permiten fabricar dispositivos semiconductores como transistores . Los diferentes tipos de órdenes topológicos son incluso más ricos que los diferentes tipos de órdenes de ruptura de simetría. Esto sugiere su potencial para aplicaciones emocionantes y novedosas.

Una aplicación teórica sería utilizar estados ordenados topológicamente como medios para la computación cuántica en una técnica conocida como computación cuántica topológica . Un estado ordenado topológicamente es un estado con un entrelazamiento cuántico no local complicado . La no localidad significa que el entrelazamiento cuántico en un estado ordenado topológicamente se distribuye entre muchas partículas diferentes. Como resultado, el patrón de entrelazamientos cuánticos no puede ser destruido por perturbaciones locales. Esto reduce significativamente el efecto de la decoherencia . Esto sugiere que si usamos diferentes entrelazamientos cuánticos en un estado ordenado topológicamente para codificar información cuántica, la información puede durar mucho más. [45] La información cuántica codificada por los entrelazamientos cuánticos topológicos también puede manipularse arrastrando los defectos topológicos uno alrededor del otro. Este proceso puede proporcionar un aparato físico para realizar cálculos cuánticos . [46] Por lo tanto, los estados ordenados topológicamente pueden proporcionar medios naturales tanto para la memoria cuántica como para la computación cuántica. Tales realizaciones de memoria cuántica y computación cuántica pueden potencialmente hacerse tolerantes a fallas . [11]

Los estados ordenados topológicamente en general tienen una propiedad especial: contienen estados límite no triviales. En muchos casos, esos estados límite se convierten en canales conductores perfectos que pueden conducir electricidad sin generar calor. [47] Esta puede ser otra posible aplicación del orden topológico en dispositivos electrónicos.

De manera similar al orden topológico, los aisladores topológicos [48] [49] también tienen estados límite sin brechas. Los estados límite de los aisladores topológicos juegan un papel clave en la detección y la aplicación de aisladores topológicos. Esta observación conduce naturalmente a una pregunta: ¿son los aisladores topológicos ejemplos de estados ordenados topológicamente? De hecho, los aisladores topológicos son diferentes de los estados ordenados topológicamente definidos en este artículo. Los aisladores topológicos solo tienen enredos de corto alcance y no tienen orden topológico, mientras que el orden topológico definido en este artículo es un patrón de enredo de largo alcance. El orden topológico es robusto frente a cualquier perturbación. Tiene teoría de calibre emergente, carga fraccionaria emergente y estadísticas fraccionarias. Por el contrario, los aisladores topológicos son robustos solo frente a perturbaciones que respetan la inversión temporal y las simetrías U(1). Sus excitaciones de cuasipartículas no tienen carga fraccionaria ni estadísticas fraccionarias. Estrictamente hablando, el aislante topológico es un ejemplo de orden topológico de simetría protegida (SPT) , [50] donde el primer ejemplo de orden SPT es la fase Haldane de la cadena de espín 1. [51] [52] [53] [54] Pero la fase Haldane de la cadena de espín 2 no tiene orden SPT.

Impacto potencial

La teoría de ruptura de simetría de Landau es una piedra angular de la física de la materia condensada . Se utiliza para definir el territorio de la investigación de la materia condensada. La existencia de orden topológico parece indicar que la naturaleza es mucho más rica de lo que la teoría de ruptura de simetría de Landau ha indicado hasta ahora. Por lo tanto, el orden topológico abre una nueva dirección en la física de la materia condensada: una nueva dirección de materia cuántica altamente enredada. Nos damos cuenta de que las fases cuánticas de la materia (es decir, las fases de temperatura cero de la materia) se pueden dividir en dos clases: estados entrelazados de largo alcance y estados entrelazados de corto alcance. [3] El orden topológico es la noción que describe los estados entrelazados de largo alcance: orden topológico = patrón de entrelazamientos de largo alcance. Los estados entrelazados de corto alcance son triviales en el sentido de que todos pertenecen a una fase. Sin embargo, en presencia de simetría, incluso los estados entrelazados de corto alcance no son triviales y pueden pertenecer a diferentes fases. Se dice que esas fases contienen orden SPT . [50] El orden SPT generaliza la noción de aislante topológico a los sistemas en interacción.

Algunos sugieren que el orden topológico (o más precisamente, la condensación de redes de cuerdas ) en los modelos bosónicos (de espín) locales tiene el potencial de proporcionar un origen unificado para los fotones , electrones y otras partículas elementales en nuestro universo. [4]

Véase también

Notas

  1. ^ Nótese que la superconductividad puede ser descrita por la teoría de Ginzburg-Landau con campo de calibre EM dinámico U(1), que es una teoría de calibre Z2 , es decir, una teoría efectiva de orden topológico Z2 . La predicción del estado de vórtice en superconductores fue uno de los principales éxitos de la teoría de Ginzburg-Landau con campo de calibre U(1) dinámico. El vórtice en la teoría de calibre de Ginzburg-Landau no es nada más que la línea de flujo Z2 en la teoría de calibre Z2 . La teoría de Ginzburg-Landau sin el campo de calibre U (1) dinámico no logra describir los superconductores reales con interacción electromagnética dinámica. [8] [25] [26] [27] Sin embargo, en la física de la materia condensada, superconductor generalmente se refiere a un estado con campo de calibre EM no dinámico. Tal estado es un estado de ruptura de simetría sin orden topológico.

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Referencias por categorías

Estados Hall cuánticos fraccionarios

Estados de espín quirales

Caracterización temprana de los estados FQH

Orden topológico

Caracterización del orden topológico

Teoría eficaz del orden topológico

Mecanismo de orden topológico

Computación cuántica

Aparición de partículas elementales

Álgebra de operadores cuánticos