En matemáticas y física teórica (especialmente en la teoría de cuerdas twistoras ), un amplituhedro es una estructura geométrica introducida en 2013 por Nima Arkani-Hamed y Jaroslav Trnka. Permite el cálculo simplificado de interacciones de partículas en algunas teorías cuánticas de campos . En la teoría de Yang-Mills supersimétrica N = 4 planar , también equivalente a la teoría de cuerdas del modelo topológico perturbativo B en el espacio twistor , un amplituhedro se define como un espacio matemático conocido como Grassmanniano positivo . [1] [2]
La teoría del amplituhedro desafía la noción de que la localidad y la unitaridad del espacio-tiempo son componentes necesarios de un modelo de interacciones de partículas. En cambio, se las trata como propiedades que surgen de un fenómeno subyacente. [3] [4]
La conexión entre el amplituhedro y las amplitudes de dispersión es una conjetura que ha superado muchas pruebas no triviales, incluida la comprensión de cómo la localidad y la unitaridad surgen como consecuencias de la positividad. [1] La investigación ha sido dirigida por Nima Arkani-Hamed . Edward Witten describió el trabajo como "muy inesperado" y dijo que "es difícil adivinar qué sucederá o cuáles serán las lecciones". [5]
Cuando las partículas subatómicas interactúan, son posibles distintos resultados. La evolución de las distintas posibilidades se denomina "árbol" y la amplitud de probabilidad de un resultado determinado se denomina amplitud de dispersión . Según el principio de unitaridad , la suma de las probabilidades (los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad) para cada resultado posible es 1.
El "árbol" del proceso de dispersión sobre capas puede describirse mediante un Grassmanniano positivo , una estructura en geometría algebraica análoga a un politopo convexo , que generaliza la idea de un símplex en el espacio proyectivo . [3] Un politopo es el análogo n -dimensional de un poliedro tridimensional , los valores que se calculan en este caso son amplitudes de dispersión, por lo que el objeto se denomina amplituhedro . [1]
Utilizando la teoría de twistores , las relaciones de recursión de Britto–Cachazo–Feng–Witten ( recursión BCFW ) implicadas en el proceso de dispersión pueden representarse como un pequeño número de diagramas de twistores. Estos diagramas proporcionan efectivamente la receta para construir el Grassmanniano positivo, es decir, el amplituhedro, que puede capturarse en una sola ecuación. [3] La amplitud de dispersión puede entonces considerarse como el volumen de un cierto politopo, el Grassmanniano positivo, en el espacio de twistores de momento. [1]
Cuando se calcula el volumen del amplituhedro en el límite planar de la teoría supersimétrica de Yang-Mills N = 4 D = 4 , describe las amplitudes de dispersión de las partículas descritas por esta teoría. [1]
La representación basada en twistores proporciona una receta para construir células específicas en el Grassmanniano que se ensamblan para formar un Grassmanniano positivo, es decir, la representación describe una descomposición celular específica del Grassmanniano positivo.
Las relaciones de recursión se pueden resolver de muchas maneras diferentes, cada una de las cuales da lugar a una representación diferente, y la amplitud final se expresa también de diferentes maneras como una suma de procesos dentro de la capa. Por lo tanto, cualquier representación dentro de la capa dada de amplitudes de dispersión no es única, pero todas esas representaciones de una interacción dada producen el mismo amplituhedro. [1]
El enfoque del twistor es relativamente abstracto. Si bien la teoría del amplituhedro proporciona un modelo geométrico subyacente, el espacio geométrico no es el espacio-tiempo físico y también se entiende mejor como abstracto. [6]
El enfoque de twistores simplifica los cálculos de interacciones de partículas. En un enfoque perturbativo convencional de la teoría cuántica de campos, tales interacciones pueden requerir el cálculo de miles de diagramas de Feynman , la mayoría de los cuales describen partículas "virtuales" fuera de la capa que no tienen una existencia observable directamente. En contraste, la teoría de twistores proporciona un enfoque en el que las amplitudes de dispersión se pueden calcular de una manera que produce expresiones mucho más simples. [7] La teoría del amplituedro calcula amplitudes de dispersión sin hacer referencia a tales partículas virtuales. Esto debilita el caso de una existencia incluso transitoria e inobservable para tales partículas virtuales. [6]
La naturaleza geométrica de la teoría sugiere a su vez que la naturaleza del universo, tanto en el espacio-tiempo relativista clásico como en la mecánica cuántica , puede describirse con geometría . [6]
Los cálculos se pueden realizar sin asumir las propiedades mecánicas cuánticas de localidad y unitaridad . En la teoría del amplituhedro, la localidad y la unitaridad surgen como consecuencia directa de la positividad. [4] Están codificadas en la geometría positiva del amplituhedro, a través de la estructura de singularidad del integrando para amplitudes de dispersión. [1] Arkani-Hamed sugiere que esta es la razón por la que la teoría del amplituhedro simplifica los cálculos de amplitud de dispersión: en el enfoque de los diagramas de Feynman, la localidad es manifiesta, mientras que en el enfoque del amplituhedro, es implícita. [8]
