Grupo cuántico

Constructo algebraico de interés en la física teórica

En matemáticas y física teórica , el término grupo cuántico denota uno de los pocos tipos diferentes de álgebras no conmutativas con estructura adicional. Estos incluyen grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo (que son álgebras de Hopf cuasi triangulares ), grupos cuánticos de matrices compactas (que son estructuras en álgebras C* unitarias separables ) y grupos cuánticos de biproductos cruzados. A pesar de su nombre, no tienen en sí mismos una estructura de grupo natural, aunque en cierto sentido están "cerca" de un grupo.

El término "grupo cuántico" apareció por primera vez en la teoría de sistemas integrables cuánticos , que luego fue formalizada por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una clase particular de álgebra de Hopf . El mismo término también se utiliza para otras álgebras de Hopf que deforman o se acercan a los grupos de Lie clásicos o álgebras de Lie , como una clase de grupos cuánticos "bicrossproduct" introducida por Shahn Majid poco después del trabajo de Drinfeld y Jimbo.

En el planteamiento de Drinfeld, los grupos cuánticos surgen como álgebras de Hopf dependientes de un parámetro auxiliar q o h , que se convierten en álgebras envolventes universales de una determinada álgebra de Lie, frecuentemente semisimple o afín , cuando q = 1 o h = 0. Estrechamente relacionados están ciertos objetos duales, también álgebras de Hopf y también llamados grupos cuánticos, que deforman el álgebra de funciones en el correspondiente grupo algebraico semisimple o un grupo de Lie compacto .

Significado intuitivo

El descubrimiento de los grupos cuánticos fue bastante inesperado, ya que se sabía desde hace mucho tiempo que los grupos compactos y las álgebras de Lie semisimples son objetos "rígidos", es decir, no se pueden "deformar". Una de las ideas detrás de los grupos cuánticos es que si consideramos una estructura que es en cierto sentido equivalente pero más grande, es decir, un álgebra de grupos o un álgebra envolvente universal , entonces un álgebra de grupos o un álgebra envolvente se puede "deformar", aunque la deformación ya no seguirá siendo un álgebra de grupos o un álgebra envolvente. Más precisamente, la deformación se puede lograr dentro de la categoría de álgebras de Hopf que no se requiere que sean ni conmutativas ni co-conmutativas . Se puede pensar en el objeto deformado como un álgebra de funciones en un "espacio no conmutativo", en el espíritu de la geometría no conmutativa de Alain Connes . Esta intuición, sin embargo, llegó después de que clases particulares de grupos cuánticos ya habían demostrado su utilidad en el estudio de la ecuación cuántica de Yang-Baxter y el método cuántico de dispersión inversa desarrollado por la Escuela de Leningrado ( Ludwig Faddeev , Leon Takhtajan , Evgeny Sklyanin , Nicolai Reshetikhin y Vladimir Korepin ) y trabajos relacionados de la Escuela Japonesa. ^[1] La intuición detrás de la segunda clase de grupos cuánticos, bicrossproduct , era diferente y provenía de la búsqueda de objetos autoduales como un enfoque a la gravedad cuántica . ^[2]

Grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo

Un tipo de objetos comúnmente llamados "grupos cuánticos" apareció en el trabajo de Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple o, más generalmente, un álgebra de Kac-Moody , en la categoría de álgebras de Hopf . El álgebra resultante tiene una estructura adicional, lo que la convierte en un álgebra de Hopf cuasitriangular .

Sea A = ( a _ij ) la matriz de Cartan del álgebra de Kac–Moody, y sea q ≠ 0, 1 un número complejo, entonces el grupo cuántico, U _q ( G ), donde G es el álgebra de Lie cuya matriz de Cartan es A , se define como el álgebra asociativa unital con generadores k _λ (donde λ es un elemento de la red de pesos , es decir 2(λ, α _i )/(α _i , α _i ) es un entero para todo i ), y e _i y f _i (para raíces simples , α _i ), sujeto a las siguientes relaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{0}&=1\\k_{\lambda }k_{\mu }&=k_{\lambda +\mu }\\k_{\lambda }e_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{(\lambda ,\alpha _{i})}e_{i}\\k_{\lambda }f_{i}k_{\lambda }^{-1}&=q^{-(\lambda ,\alpha _{i})}f_{i}\\\left[e_{i},f_{j}\right]&=\delta _{ij}{\frac {k_{i}-k_{i}^{-1}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}&&k_{i}=k_{\alpha _{i}},q_{i}=q^{{\frac {1}{2}}(\alpha _{i},\alpha _{i})}\\\end{aligned}}}$

Y para i ≠ j tenemos las q -relaciones de Serre, que son deformaciones de las relaciones de Serre :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}e_{i}^{n}e_{j}e_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\\[6pt]\sum _{n=0}^{1-a_{ij}}(-1)^{n}{\frac {[1-a_{ij}]_{q_{i}}!}{[1-a_{ij}-n]_{q_{i}}![n]_{q_{i}}!}}f_{i}^{n}f_{j}f_{i}^{1-a_{ij}-n}&=0\end{aligned}}}$

donde el factorial q , el análogo q del factorial ordinario , se define recursivamente utilizando el número q:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[0]}_{q_{i}}!&=1\\{[n]}_{q_{i}}!&=\prod _{m=1}^{n}[m]_{q_{i}},&&[m]_{q_{i}}={\frac {q_{i}^{m}-q_{i}^{-m}}{q_{i}-q_{i}^{-1}}}\end{aligned}}}$

En el límite cuando q → 1, estas relaciones se aproximan a las relaciones para el álgebra envolvente universal U ( G ), donde

${\displaystyle k_{\lambda }\to 1,\qquad {\frac {k_{\lambda }-k_{-\lambda }}{q-q^{-1}}}\to t_{\lambda }}$

y t _λ es el elemento del subálgebra de Cartan que satisface ( t _λ , h ) = λ ( h ) para todo h en el subálgebra de Cartan.

Hay varios coproductos coasociativos bajo los cuales estas álgebras son álgebras de Hopf, por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\Delta _{1}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{1}(e_{i})=1\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}&\Delta _{1}(f_{i})=k_{i}^{-1}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes 1\\\Delta _{2}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{2}(e_{i})=k_{i}^{-1}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes 1&\Delta _{2}(f_{i})=1\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}\\\Delta _{3}(k_{\lambda })=k_{\lambda }\otimes k_{\lambda }&\Delta _{3}(e_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes e_{i}+e_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}&\Delta _{3}(f_{i})=k_{i}^{-{\frac {1}{2}}}\otimes f_{i}+f_{i}\otimes k_{i}^{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

donde el conjunto de generadores se ha ampliado, si es necesario, para incluir k _λ para λ que se puede expresar como la suma de un elemento de la red de pesos y la mitad de un elemento de la red de raíces .

Además, cualquier álgebra de Hopf conduce a otra con coproducto inverso T o Δ, donde T viene dado por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , lo que da tres versiones posibles más.

El coeficiente de U _q ( A ) es el mismo para todos estos coproductos: ε ( k _λ ) = 1, ε ( e _i ) = ε ( f _i ) = 0, y los respectivos antípodas para los coproductos anteriores se dan por

${\displaystyle {\begin{array}{lll}S_{1}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{1}(e_{i})=-e_{i}k_{i}^{-1}&S_{1}(f_{i})=-k_{i}f_{i}\\S_{2}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{2}(e_{i})=-k_{i}e_{i}&S_{2}(f_{i})=-f_{i}k_{i}^{-1}\\S_{3}(k_{\lambda })=k_{-\lambda }&S_{3}(e_{i})=-q_{i}e_{i}&S_{3}(f_{i})=-q_{i}^{-1}f_{i}\end{array}}}$

Alternativamente, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el campo C ( q ), el campo de todas las funciones racionales de un q indeterminado sobre C .

De manera similar, el grupo cuántico U _q ( G ) puede considerarse como un álgebra sobre el campo Q ( q ), el campo de todas las funciones racionales de un indeterminado q sobre Q (véase más adelante en la sección sobre grupos cuánticos en q = 0). El centro del grupo cuántico puede describirse mediante determinante cuántico.

Teoría de la representación

Así como existen muchos tipos diferentes de representaciones para las álgebras de Kac-Moody y sus álgebras envolventes universales, también existen muchos tipos diferentes de representaciones para los grupos cuánticos.

Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, U _q ( G ) tiene una representación adjunta sobre sí misma como un módulo, y la acción viene dada por

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{x}\cdot y=\sum _{(x)}x_{(1)}yS(x_{(2)}),}$

dónde

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{(x)}x_{(1)}\otimes x_{(2)}.}$

Caso 1:qno es una raíz de unidad

Un tipo importante de representación es una representación de peso, y el módulo correspondiente se denomina módulo de peso. Un módulo de peso es un módulo con una base de vectores de peso. Un vector de peso es un vector distinto de cero v tal que k _λ · v = d _λ v para todo λ , donde d _λ son números complejos para todos los pesos λ tales que

${\displaystyle d_{0}=1,}$

${\displaystyle d_{\lambda }d_{\mu }=d_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ .

Un módulo de peso se denomina integrable si las acciones de e _i y f _i son localmente nilpotentes (es decir, para cualquier vector v en el módulo, existe un entero positivo k , posiblemente dependiente de v , tal que para todo i ). En el caso de módulos integrables, los números complejos d _λ asociados con un vector de peso satisfacen , ^{[ cita requerida ]} donde ν es un elemento de la red de pesos y c _λ son números complejos tales que ${\displaystyle e_{i}^{k}.v=f_{i}^{k}.v=0}$ ${\displaystyle d_{\lambda }=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$para todo yo .

De especial interés son las representaciones de mayor peso y los módulos de mayor peso correspondientes. Un módulo de mayor peso es un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos μ , y e _i · v = 0 para todos los i . De manera similar, un grupo cuántico puede tener una representación de menor peso y un módulo de menor peso, es decir, un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k _λ · v = d _λ v para todos los pesos λ , y f _i · v = 0 para todos los i .

Defina un vector v como que tiene peso ν si para todo λ en la red de pesos. ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=q^{(\lambda ,\nu )}v}$

Si G es un álgebra de Kac–Moody, entonces en cualquier representación irreducible de mayor peso de U _q ( G ), con mayor peso ν, las multiplicidades de los pesos son iguales a sus multiplicidades en una representación irreducible de U ( G ) con igual mayor peso. Si el mayor peso es dominante e integral (un peso μ es dominante e integral si μ satisface la condición de que sea un entero no negativo para todo i ), entonces el espectro de pesos de la representación irreducible es invariante bajo el grupo de Weyl para G , y la representación es integrable. ${\displaystyle 2(\mu ,\alpha _{i})/(\alpha _{i},\alpha _{i})}$

Por el contrario, si un módulo de mayor peso es integrable, entonces su vector de mayor peso v satisface , donde c _λ · v = d _λ v son números complejos tales que ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v=c_{\lambda }q^{(\lambda ,\nu )}v}$

• ${\displaystyle c_{0}=1,}$
• ${\displaystyle c_{\lambda }c_{\mu }=c_{\lambda +\mu },}$para todos los pesos λ y μ ,
• ${\displaystyle c_{2\alpha _{i}}=1}$para todo yo ,

y ν es dominante e integral.

Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, el producto tensorial de dos módulos es otro módulo. Para un elemento x de U _q (G) , y para los vectores v y w en los respectivos módulos, x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), de modo que , y en el caso del coproducto Δ ₁ , y ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot (v\otimes w)=k_{\lambda }\cdot v\otimes k_{\lambda }.w}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot (v\otimes w)=k_{i}\cdot v\otimes e_{i}\cdot w+e_{i}\cdot v\otimes w}$ ${\displaystyle f_{i}\cdot (v\otimes w)=v\otimes f_{i}\cdot w+f_{i}\cdot v\otimes k_{i}^{-1}\cdot w.}$

El módulo de peso más alto integrable descrito anteriormente es un producto tensorial de un módulo unidimensional (en el que k _λ = c _λ para todo λ , y e _i = f _i = 0 para todo i ) y un módulo de peso más alto generado por un vector distinto de cero v ₀ , sujeto a para todos los pesos λ , y para todo i . ${\displaystyle k_{\lambda }\cdot v_{0}=q^{(\lambda ,\nu )}v_{0}}$ ${\displaystyle e_{i}\cdot v_{0}=0}$

En el caso específico donde G es un álgebra de Lie de dimensión finita (como un caso especial de un álgebra de Kac-Moody), entonces las representaciones irreducibles con pesos integrales dominantes más altos también son de dimensión finita.

En el caso de un producto tensorial de módulos de mayor peso, su descomposición en submódulos es la misma que para el producto tensorial de los módulos correspondientes del álgebra de Kac-Moody (los pesos más altos son los mismos, al igual que sus multiplicidades).

Caso 2:qes una raíz de unidad

Cuasi-triangularidad

Caso 1:qno es una raíz de unidad

Estrictamente, el grupo cuántico U _q ( G ) no es cuasitrianguloso, pero puede considerarse como "casi cuasitrianguloso" en el sentido de que existe una suma formal infinita que desempeña el papel de una matriz R . Esta suma formal infinita se puede expresar en términos de los generadores e _i y f _i , y de los generadores de Cartan t _λ , donde k _λ se identifica formalmente con q ^{t _λ} . La suma formal infinita es el producto de dos factores, ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}}$

y una suma formal infinita, donde λ _j es una base para el espacio dual de la subálgebra de Cartan, y μ _j es la base dual, y η = ±1.

La suma infinita formal que desempeña el papel de la matriz R tiene una acción bien definida sobre el producto tensorial de dos módulos irreducibles de mayor peso, y también sobre el producto tensorial de dos módulos de menor peso. Específicamente, si v tiene peso α y w tiene peso β , entonces

${\displaystyle q^{\eta \sum _{j}t_{\lambda _{j}}\otimes t_{\mu _{j}}}\cdot (v\otimes w)=q^{\eta (\alpha ,\beta )}v\otimes w,}$

y el hecho de que los módulos sean ambos módulos de mayor peso o ambos módulos de menor peso reduce la acción del otro factor sobre v ⊗ W a una suma finita.

Específicamente, si V es un módulo de peso más alto, entonces la suma infinita formal, R , tiene una acción bien definida e invertible sobre V ⊗ V , y este valor de R (como un elemento de End( V ⊗ V )) satisface la ecuación de Yang-Baxter y, por lo tanto, nos permite determinar una representación del grupo de trenzas y definir cuasi-invariantes para nudos , enlaces y trenzas .

Caso 2:qes una raíz de unidad

Grupos cuánticos enq= 0

Masaki Kashiwara ha investigado el comportamiento limitante de los grupos cuánticos cuando q → 0, y ha encontrado una base con un comportamiento particularmente bueno llamada base cristalina .

Descripción y clasificación por sistemas de raíces y diagramas de Dynkin

Se ha logrado un progreso considerable en la descripción de cocientes finitos de grupos cuánticos como el anterior U _q ( g ) para q ⁿ = 1; generalmente se considera la clase de álgebras de Hopf puntiagudas , lo que significa que todos los comodulos simples izquierdos o derechos son unidimensionales y, por lo tanto, la suma de todas sus subcoálgebras simples forma un álgebra de grupo llamada coradical :

• En 2002, H.-J. Schneider y N. Andruskiewitsch ^[3] finalizaron su clasificación de álgebras de Hopf puntiagudas con un grupo co-radical abeliano (excluyendo los primos 2, 3, 5, 7), especialmente porque los cocientes finitos anteriores de U _q ( g ) se descomponen en E ′s (parte de Borel), F ′s duales y K ′s (álgebra de Cartan) al igual que las álgebras de Lie semisimples ordinarias :

${\displaystyle \left({\mathfrak {B}}(V)\otimes k[\mathbf {Z} ^{n}]\otimes {\mathfrak {B}}(V^{*})\right)^{\sigma }}$

Aquí, como en la teoría clásica, V es un espacio vectorial trenzado de dimensión n abarcado por los E ′, y σ (un llamado giro de cociclo) crea el enlace no trivial entre los E ′ y los F ′. Nótese que, en contraste con la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes enlazados. El papel del álgebra cuántica de Borel lo asume un álgebra de Nichols del espacio vectorial trenzado. ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(V)}$

Diagrama de Dynkin generalizado para un álgebra de Hopf puntiaguda que vincula cuatro copias A3

• Un ingrediente crucial fue la clasificación de I. Heckenberger de las álgebras de Nichols finitas para grupos abelianos en términos de diagramas de Dynkin generalizados . ^[4] Cuando hay primos pequeños, aparecen algunos ejemplos exóticos, como un triángulo (véase también la Figura de un diagrama de Dankin de rango 3).

Un diagrama de Dynkin de rango 3 asociado a un álgebra de Nichols de dimensión finita

• Mientras tanto, Schneider y Heckenberger ^[5] han demostrado en general la existencia de un sistema de raíces aritméticas también en el caso no abeliano, generando una base PBW como lo demostró Kharcheko en el caso abeliano (sin el supuesto de dimensión finita). Esto se puede utilizar ^[6] en casos específicos U _q ( g ) y explica, por ejemplo, la coincidencia numérica entre ciertas subálgebras coideales de estos grupos cuánticos y el orden del grupo de Weyl del álgebra de Lie g .

Grupos cuánticos de matrices compactas

SL Woronowicz introdujo los grupos cuánticos de matrices compactas. Los grupos cuánticos de matrices compactas son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" de la estructura están dadas por elementos de un C*-álgebra . La geometría de un grupo cuántico de matrices compactas es un caso especial de geometría no conmutativa .

Las funciones continuas de valor complejo en un espacio topológico compacto de Hausdorff forman un C*-álgebra conmutativa. Por el teorema de Gelfand , un C*-álgebra conmutativa es isomorfa al C*-álgebra de funciones continuas de valor complejo en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado únicamente por el C*-álgebra hasta el homeomorfismo .

Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de C*-álgebra Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el producto tensorial de C*-álgebra - la compleción del producto tensorial algebraico de C ( G ) y C ( G )), tal que Δ( f )( x , y ) = f ( xy ) para todo f ∈ C ( G ), y para todo x , y ∈ G (donde ( f ⊗ g )( x , y ) = f ( x ) g ( y ) para todo f , g ∈ C ( G ) y todo x , y ∈ G ). También existe una función multiplicativa lineal κ : C ( G ) → C ( G ), tal que κ ( f )( x ) = f ( x ⁻¹ ) para todo f ∈ C ( G ) y todo x ∈ G . Estrictamente, esto no hace que C ( G ) sea un álgebra de Hopf, a menos que G sea finito. Por otra parte, una representación finito-dimensional de G puede usarse para generar una *-subálgebra de C ( G ) que también es un *-álgebra de Hopf. Específicamente, si es una representación n -dimensional de G , entonces para todo i , j u _ij ∈ C ( G ) y ${\displaystyle g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}}$

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}.}$

De ello se deduce que el *-álgebra generada por u _ij para todo i, j y κ ( u _ij ) para todo i, j es un *-álgebra de Hopf: la unidad está determinada por ε( u _ij ) = δ _ij para todo i, j (donde δ _ij es el delta de Kronecker ), el antípoda es κ , y la unidad está dada por

${\displaystyle 1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.}$

Definición general

Como generalización, un grupo cuántico de matrices compactas se define como un par ( C , u ), donde C es una C*-álgebra y es una matriz con entradas en C tales que ${\displaystyle u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

• La subálgebra *, C ₀ , de C , que es generada por los elementos de la matriz de u , es densa en C ;

• Existe un homomorfismo del C*-álgebra llamado comultiplicación Δ: C → C ⊗ C (donde C ⊗ C es el producto tensorial del C*-álgebra - la completitud del producto tensorial algebraico de C y C ) tal que para todo i, j tenemos:

${\displaystyle \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}}$

• Existe una función antimultiplicativa lineal κ: C ₀ → C ₀ (la inversa) tal que κ ( κ ( v *)*) = v para todo v ∈ C ₀ y

${\displaystyle \sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,}$

donde I es el elemento identidad de C . Dado que κ es antimultiplicativo, entonces κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todo v , w en C ₀ .

Como consecuencia de la continuidad, la comultiplicación en C es coasociativa.

En general, C no es una biálgebra y C ₀ es un *-álgebra de Hopf.

De manera informal, C puede considerarse como el *-álgebra de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matrices compactas, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matrices compactas.

Representaciones

Una representación del grupo cuántico de matrices compactas se da mediante una correpresentación del *-álgebra de Hopf (una correpresentación de una coálgebra coasociativa counitaria A es una matriz cuadrada con entradas en A (por lo que v pertenece a M( n , A )) tal que ${\displaystyle v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}}$

${\displaystyle \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}}$

para todo i , j y ε ( v _ij ) = δ _ij para todo i, j ). Además, una representación v , se llama unitaria si la matriz para v es unitaria (o equivalentemente, si κ( v _ij ) = v* _ij para todo i , j ).

Ejemplo

Un ejemplo de un grupo cuántico de matrices compactas es SU _μ (2), donde el parámetro μ es un número real positivo. Por lo tanto, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), u ), donde C(SU _μ (2)) es el C*-álgebra generado por α y γ, sujeto a

${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,}$

y

${\displaystyle u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ (γ) = −μ ⁻¹ γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria. u es equivalente a la representación unitaria

${\displaystyle v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).}$

De manera equivalente, SU _μ (2) = (C(SU _μ (2)), w ), donde C(SU _μ (2)) es el C*-álgebra generada por α y β, sujeta a

${\displaystyle \beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,}$

${\displaystyle \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,}$

y

${\displaystyle w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),}$

de modo que la comultiplicación está determinada por ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α*, y el coinverso está determinado por κ(α) = α*, κ (β) = −μ ⁻¹ β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando . ${\displaystyle \gamma ={\sqrt {\mu }}\beta }$

Cuando μ = 1, entonces SU _μ (2) es igual al álgebra C (SU(2)) de funciones sobre el grupo compacto concreto SU(2).

Grupos cuánticos de bicrosproductos

Mientras que los pseudogrupos de matrices compactas son típicamente versiones de los grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo en una formulación de álgebra de función dual, con estructura adicional, los de biproducto cruzado son una segunda familia distinta de grupos cuánticos de creciente importancia como deformaciones de grupos de Lie resolubles en lugar de semisimples. Están asociados a desdoblamientos de Lie de álgebras de Lie o factorizaciones locales de grupos de Lie y pueden verse como el producto cruzado o la cuantificación de Mackey de uno de los factores que actúa sobre el otro para el álgebra y una historia similar para el coproducto Δ con el segundo factor actuando de vuelta sobre el primero.

El ejemplo no trivial más simple corresponde a dos copias de R que actúan localmente una sobre la otra y da como resultado un grupo cuántico (dado aquí en forma algebraica) con generadores p , K , K ⁻¹ , digamos, y coproducto

${\displaystyle [p,K]=hK(K-1)}$

${\displaystyle \Delta p=p\otimes K+1\otimes p}$

${\displaystyle \Delta K=K\otimes K}$

donde h es el parámetro de deformación.

Este grupo cuántico se vinculó a un modelo de juguete de física a escala de Planck que implementaba la reciprocidad de Born cuando se la veía como una deformación del álgebra de Heisenberg de la mecánica cuántica. Además, a partir de cualquier forma real compacta de un álgebra de Lie semisimple g, su complejización como un álgebra de Lie real de dos veces la dimensión se divide en g y una cierta álgebra de Lie resoluble (la descomposición de Iwasawa ), y esto proporciona un grupo cuántico bicrustado canónico asociado a g . Para su (2) se obtiene una deformación del grupo cuántico del grupo euclidiano E(3) de movimientos en 3 dimensiones.

Véase también

• Álgebra de Hopf
• Biálgebra de Lie
• Grupo de Poisson-Lie
• Álgebra cuántica afín

Notas

1. Schwiebert, Christian (1994), Dispersión inversa cuántica generalizada , pág. 12237, arXiv : hep-th/9412237v3 , Bibcode :1994hep.th...12237S
2. Majid, Shahn (1988), "Álgebras de Hopf para física en la escala de Planck", Gravedad clásica y cuántica , 5 (12): 1587–1607, Bibcode :1988CQGra...5.1587M, CiteSeerX 10.1.1.125.6178 , doi :10.1088/0264-9381/5/12/010 
3. Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas, Nuevas direcciones en álgebras de Hopf, 1–68, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002.
4. Heckenberger: Álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas, Tesis de habilitación 2005.
5. Heckenberger, Schneider: Sistema de raíces y gruppoide de Weyl para álgebras de Nichols, 2008.
6. Heckenberger, Schneider: Subálgebras coideales derechas de álgebras de Nichols y el orden Duflo del grupo de Weyl, 2009.

Referencias

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