construcción ADHM

Método de construcción de soluciones instantáneas.

En física matemática y teoría de calibre , la construcción ADHM o construcción de mónadas es la construcción de todos los instantones utilizando métodos de álgebra lineal por Michael Atiyah , Vladimir Drinfeld , Nigel Hitchin , Yuri I. Manin en su artículo "Construcción de instantáneos".

datos ADHM

La construcción ADHM utiliza los siguientes datos:

• espacios vectoriales complejos V y W de dimensión k y N ,
• matrices complejas k  ×  k B ₁ , B ₂ , una matriz compleja I k  ×  N y una matriz compleja  J N  ×  k ,
• un mapa del momento real ${\displaystyle \mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,}$
• un mapa de momentos complejo ${\displaystyle \displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

Entonces la construcción ADHM afirma que, dadas ciertas condiciones de regularidad,

• Dado B ₁ , B ₂ , I , J tal que , se puede construir un instante anti-auto-dual en una teoría de calibre SU( N ) con número de instante k , ${\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$
• Todos los instantones anti-autoduales se pueden obtener de esta manera y están en correspondencia uno a uno con soluciones hasta una rotación U( k ) que actúa sobre cada B en la representación adjunta y sobre I y J a través de la fundamental y representaciones antifundamentales
• La métrica en el espacio de módulos de instantones es la heredada de la métrica plana en B , I y J.

Generalizaciones

Instantones no conmutativos

En una teoría de calibre no conmutativa , la construcción ADHM es idéntica pero el mapa de momentos se establece igual a la proyección autodual de la matriz de no conmutatividad del espacio-tiempo multiplicada por la matriz identidad . En este caso, los instantones existen incluso cuando el grupo de calibre es U(1). Los instantones no conmutativos fueron descubiertos por Nikita Nekrasov y Albert Schwarz en 1998. ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$

Vórtices

Al establecer B ₂ y J en cero, se obtiene el espacio de módulos clásico de los vórtices no abelianos en una teoría de calibre supersimétrica con igual número de colores y sabores, como se demostró en Vórtices, instantenes y branas. La generalización a un mayor número de sabores apareció en Solitones en la fase de Higgs: el enfoque de la matriz Moduli. En ambos casos, el término de Fayet-Iliopoulos , que determina un condensado de squarks , desempeña el papel de parámetro de no conmutatividad en el mapa de momentos real.

La fórmula de construcción

Sean x las coordenadas espacio-temporales euclidianas de 4 dimensiones escritas en notación cuaterniónica ${\displaystyle x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Considere la matriz 2 k  × ( N  + 2 k )

${\displaystyle \Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Entonces las condiciones son equivalentes a la condición de factorización. ${\displaystyle \displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0}$

${\displaystyle \Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}}$donde f ( x ) es una matriz hermitiana k × k .

Entonces se puede construir un operador de proyección hermitiano P como

${\displaystyle P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .}$

El espacio nulo de Δ( x ) es de dimensión N para x genérico . Los vectores base para este espacio nulo se pueden ensamblar en una matriz ( N  + 2 k ) ×  N U ( x ) con condición de ortonormalización U ^† U  = 1.

Una condición de regularidad en el rango de Δ garantiza la condición de integridad

${\displaystyle P+UU^{\dagger }=1.\,}$

La conexión anti-selfdual se construye entonces a partir de U mediante la fórmula

${\displaystyle A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.}$

Ver también

• Mónada (álgebra homológica)
• Teoría del tornado

Referencias

• Atiyah, Michael Francis (1979), Geometría de los campos de Yang-Mills , Scuola Normale Superiore Pisa, Pisa, MR  0554924
• Atiyah, Michael Francis ; Drinfeld, VG ; Hitchin, Nueva Jersey ; Manin, Yuri Ivanovich (1978), "Construcción de instantones", Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Bibcode :1978PhLA...65..185A, doi :10.1016/0375-9601(78)90141- X, ISSN  0375-9601, SEÑOR  0598562
• Hitchin, N. (1983), "Sobre la construcción de monopolos", Commun. Matemáticas. Física. 89, 145-190.