Tensor asesino

En matemáticas, un tensor Killing o un campo tensor Killing es una generalización de un vector Killing , para campos tensoriales simétricos en lugar de solo campos vectoriales . Es un concepto en geometría riemanniana y pseudoriemanniana , y se utiliza principalmente en la teoría de la relatividad general . Los tensores Killing satisfacen una ecuación similar a la ecuación de Killing para los vectores Killing. Al igual que los vectores Killing, cada tensor Killing corresponde a una cantidad que se conserva a lo largo de las geodésicas . Sin embargo, a diferencia de los vectores Killing, que están asociados con simetrías ( isometrías ) de una variedad , los tensores Killing generalmente carecen de una interpretación geométrica tan directa. Los tensores asesinos llevan el nombre de Wilhelm Killing .

Definición y propiedades

En la siguiente definición, los paréntesis alrededor de los índices tensoriales son notación para la simetrización. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })}$

Definición

Un tensor Killing es un campo tensor (de algún orden m ) en una variedad (pseudo)-riemanniana que es simétrica (es decir, ) y satisface: ^{[1] [2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=K_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=0}$

Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Killing para los vectores de Killing :

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta )}={\frac {1}{2}}(\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha })=0}$

Propiedades

Los vectores de eliminación son un caso especial de tensores de eliminación. Otro ejemplo sencillo de tensor Killing es el propio tensor métrico . Una combinación lineal de tensores Killing es un tensor Killing. Un producto simétrico de los tensores Killing también es un tensor Killing; es decir, si y son tensores Killing, entonces también es un tensor Killing. ^[1] ${\displaystyle S_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}}$ ${\displaystyle T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle S_{(\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

Cada tensor de Killing corresponde a una constante de movimiento en las geodésicas . Más específicamente, para cada geodésica con vector tangente , la cantidad es constante a lo largo de la geodésica. ^{[1] [2]} ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}u^{\beta _{1}}\cdots u^{\beta _{m}}}$

Ejemplos

Dado que los tensores Killing son una generalización de los vectores Killing, los ejemplos en Campo vectorial Killing § Ejemplos también son ejemplos de tensores Killing. Los siguientes ejemplos se centran en tensores Killing que no se obtienen simplemente a partir de vectores Killing.

Métrica FLRW

La métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker , ampliamente utilizada en cosmología , tiene vectores Killing espaciales correspondientes a sus simetrías espaciales, en particular rotaciones alrededor de ejes arbitrarios y en el caso plano para traslaciones a lo largo de , y . También tiene un tensor asesino. ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle K_{\mu \nu }=a^{2}(g_{\mu \nu }+U_{\mu }U_{\nu })}$

donde a es el factor de escala , es el vector base de coordenadas t y se utiliza la convención de firma −+++. ^[3] ${\displaystyle U^{\mu }=(1,0,0,0)}$

Métrica de Kerr

La métrica de Kerr , que describe un agujero negro en rotación, tiene dos vectores Killing independientes. Un vector Killing corresponde a la simetría de traslación temporal de la métrica y otro corresponde a la simetría axial alrededor del eje de rotación. Además, como lo muestran Walker y Penrose (1970), existe un tensor Killing no trivial de orden 2. ^{[4] [5] [6]} La constante de movimiento correspondiente a este tensor Killing se llama constante de Carter .

Asesinato-tensor Yano

Un tensor antisimétrico de orden p , , es un tensor de Killing-Yano fr:Tenseur de Killing-Yano si satisface la ecuación ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$

${\displaystyle \nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$.

Si bien también es una generalización del vector Killing , se diferencia del tensor Killing habitual en que la derivada covariante solo se contrae con un índice tensorial.

Tensor de muerte conforme

Los tensores de Killing conformales son una generalización de los tensores de Killing y los vectores de Killing conformes . Un tensor de Killing conforme es un campo tensorial (de algún orden m ) que es simétrico y satisface ^[4] ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}}$

para algún campo tensorial simétrico . Esto generaliza la ecuación para los vectores de Killing conformes, que establece que ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }}$

para algún campo escalar . ${\displaystyle \lambda }$

Cada tensor de Killing conforme corresponde a una constante de movimiento a lo largo de geodésicas nulas . Más específicamente, para cada geodésica nula con vector tangente , la cantidad es constante a lo largo de la geodésica. ^[4] ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}}$

La propiedad de ser un tensor Killing conforme se conserva bajo transformaciones conformes en el siguiente sentido. Si es un tensor Killing conforme con respecto a una métrica , entonces es un tensor Killing conforme con respecto a la métrica equivalente conforme , para todos los valores positivos . ^[7] ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle u}$

Ver también

• forma de matar
• Matar campo vectorial
• El asesinato de Guillermo

Referencias

1. Carroll 2003, págs. 136-137
2. Wald 1984, pág. 444
3. Carroll 2003, pag. 344
4. Walker, Martín; Penrose, Roger (1970), "Sobre las primeras integrales cuadráticas de las ecuaciones geodésicas para espacios-tiempos tipo {22}" (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 18 (4): 265–274, doi :10.1007/BF01649445, S2CID  123355453
5. Carroll 2003, págs. 262-263
6. Wald 1984, pág. 321
7. Dairbekov, NS; Sharafutdinov, VA (2011), "Sobre la eliminación conforme de campos tensoriales simétricos en variedades de Riemann", Avances siberianos en matemáticas , 21 : 1–41, arXiv : 1103.3637 , doi : 10.3103/S1055134411010019

• Carroll, Sean (2003), Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general , ISBN 0-8053-8732-3
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2