relación cruzada

Una invariante bajo transformaciones proyectivas.

Los puntos A , B , C , D y A ′ , B ′ , C ′ , D ′ están relacionados mediante una transformación proyectiva, por lo que sus razones cruzadas, ( A , B ; C , D ) y ( A ′ , B ′ ; C ′ , D ′ ) son iguales.

En geometría , la razón cruzada , también llamada razón doble y razón anarmónica , es un número asociado a una lista de cuatro puntos colineales , particularmente puntos sobre una recta proyectiva . Dados cuatro puntos A , B , C , D en una recta, su relación cruzada se define como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$

donde una orientación de la línea determina el signo de cada distancia y la distancia se mide proyectada en el espacio euclidiano . (Si uno de los cuatro puntos es el punto de la línea en el infinito, entonces las dos distancias que involucran ese punto se eliminan de la fórmula). El punto D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B precisamente si la relación cruzada de el cuádruple es −1 , llamado relación armónica . Por lo tanto, se puede considerar que la relación cruzada mide la desviación del cuádruple de esta relación; de ahí el nombre de relación anarmónica .

La relación cruzada se conserva mediante transformaciones fraccionarias lineales . Es esencialmente el único invariante proyectivo de un cuádruple de puntos colineales; esto subraya su importancia para la geometría proyectiva .

La relación cruzada había sido definida en la antigüedad, posiblemente ya por Euclides , y fue considerada por Pappus , quien notó su propiedad clave de invariancia. Fue ampliamente estudiado en el siglo XIX. ^[1]

Existen variantes de este concepto para un cuádruple de líneas concurrentes en el plano proyectivo y un cuádruple de puntos en la esfera de Riemann . En el modelo de geometría hiperbólica de Cayley-Klein , la distancia entre puntos se expresa en términos de una determinada relación cruzada.

Terminología e historia

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , de modo que la relación cruzada ( A , B ; C , D ) es igual a  −1 .

Pappus de Alejandría hizo uso implícito de conceptos equivalentes a la proporción cruzada en su Colección: Libro VII . Los primeros usuarios de Pappus incluyeron a Isaac Newton , Michel Chasles y Robert Simson . En 1986, Alexander Jones hizo una traducción del original de Pappus y luego escribió un comentario sobre cómo se relacionan los lemas de Pappus con la terminología moderna. ^[2]

El uso moderno de la proporción cruzada en geometría proyectiva comenzó con Lazare Carnot en 1803 con su libro Géométrie de Position . ^{[3] [ páginas necesarias ]} Chasles acuñó el término francés rapport anharmonique [proporción anarmónica] en 1837. ^[4] Los geómetras alemanes lo llaman das Doppelverhältnis [doble proporción].

Carl von Staudt no estaba satisfecho con las definiciones anteriores de la relación cruzada que se basaban en la manipulación algebraica de distancias euclidianas en lugar de basarse puramente en conceptos sintéticos de geometría proyectiva. En 1847, von Staudt demostró que la estructura algebraica está implícita en la geometría proyectiva, creando un álgebra basada en la construcción del conjugado armónico proyectivo , al que llamó tiro (en alemán: Wurf ): dados tres puntos en una recta, el conjugado armónico es un cuarto punto que hace que la relación cruzada sea igual a −1 . Su álgebra de lanzamientos proporciona una aproximación a las proposiciones numéricas, generalmente tomadas como axiomas, pero probadas en geometría proyectiva. ^[5]

El término inglés "cross-ratio" fue introducido en 1878 por William Kingdon Clifford . ^[6]

Definición

Si A , B , C y D son cuatro puntos en una recta afín orientada , su relación cruzada es:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:BC}{AD:BD}},}$

con la notación definida para significar la relación con signo del desplazamiento de W a X al desplazamiento de Y a Z. Para desplazamientos colineales esta es una cantidad adimensional . ${\displaystyle WX:YZ}$

Si los desplazamientos en sí se consideran números reales con signo, entonces la relación cruzada entre puntos se puede escribir

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC}{BC}}{\bigg /}{\frac {AD}{BD}}={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}.}$

Si es la línea real proyectivamente extendida , la razón cruzada de cuatro números distintos en está dada por ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle (x_{1},x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\bigg /}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-x_{1})}}.}$

Cuando uno de es el punto en el infinito ( ), esto se reduce a, por ejemplo ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$ ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle (\infty ,x_{2};x_{3},x_{4})={\frac {(x_{3}-\infty )(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})(x_{4}-\infty )}}={\frac {(x_{4}-x_{2})}{(x_{3}-x_{2})}}.}$

Las mismas fórmulas se pueden aplicar a cuatro números complejos distintos o, más generalmente, a elementos de cualquier campo , y también se pueden extender proyectivamente como arriba al caso en que uno de ellos sea ${\displaystyle \infty ={\tfrac {1}{0}}.}$

Propiedades

La relación cruzada de los cuatro puntos colineales A , B , C y D se puede escribir como

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC:CB}{AD:DB}}}$

donde describe la razón con la que el punto C divide el segmento de recta AB , y describe la razón con la que el punto D divide ese mismo segmento de recta. La razón cruzada aparece entonces como una razón de razones, describiendo cómo los dos puntos C y D están situados con respecto al segmento de línea AB . Siempre que los puntos A , B , C y D sean distintos, la razón cruzada ( A , B ; C , D ) será un número real distinto de cero. Podemos deducir fácilmente que ${\textstyle AC:CB}$ ${\textstyle AD:DB}$

• ( A , B ; C , D ) < 0 si y sólo si uno de los puntos C o D se encuentra entre los puntos A y B y el otro no
• ( A , B ; C , D ) = 1 / ( A , B ; D , C )
• ( A , B ; C , D ) = ( C , D ; A , B )
• ( A , B ; C , D ) ≠ ( A , B ; C , E ) ↔ D ≠ E

Seis razones cruzadas

¡Se pueden ordenar cuatro puntos en 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 formas, pero sólo hay seis formas de dividirlas en dos pares desordenados. Por tanto, cuatro puntos pueden tener sólo seis razones cruzadas diferentes, que se relacionan como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A)=\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,B;D,C)=(B,A;C,D)=(C,D;B,A)=(D,C;A,B)={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,C;B,D)=(B,D;A,C)=(C,A;D,B)=(D,B;C,A)=1-\lambda ,{\vphantom {\frac {1}{1}}}\\[4mu]&(A,C;D,B)=(B,D;C,A)=(C,A;B,D)=(D,B;A,C)={\frac {1}{1-\lambda }},\\[4mu]&(A,D;B,C)=(B,C;A,D)=(C,B;D,A)=(D,A;C,B)={\frac {\lambda -1}{\lambda }},\\[4mu]&(A,D;C,B)=(B,C;D,A)=(C,B;A,D)=(D,A;B,C)={\frac {\lambda }{\lambda -1}}.\end{aligned}}}$

Consulte el grupo anarmónico a continuación.

Geometría proyectiva

Uso de relaciones cruzadas en geometría proyectiva para medir dimensiones del mundo real de características representadas en una proyección en perspectiva . A, B, C, D y V son puntos de la imagen, su separación está dada en píxeles; A', B', C' y D' están en el mundo real, su separación en metros.

• En (1), el ancho de la calle lateral, W, se calcula a partir de los anchos conocidos de las tiendas adyacentes.
• En (2), solo se necesita el ancho de una tienda porque es visible un punto de fuga , V.

La relación cruzada es una invariante proyectiva en el sentido de que se conserva mediante las transformaciones proyectivas de una línea proyectiva.

En particular, si cuatro puntos se encuentran en una línea recta, entonces su relación cruzada es una cantidad bien definida, porque cualquier elección del origen e incluso de la escala en la línea producirá el mismo valor de la relación cruzada. ${\textstyle L}$ ${\textstyle {\mathbf {R}}^{2}}$

Además, sean cuatro rectas distintas en el plano que pasen por el mismo punto . Entonces, cualquier línea que no pase cruza estas líneas en cuatro puntos distintos (si es paralela a entonces el punto de intersección correspondiente está "en el infinito"). Resulta que la relación cruzada de estos puntos (tomados en un orden fijo) no depende de la elección de una línea y, por lo tanto, es una invariante de la 4-tupla de líneas. ${\textstyle \{L_{i}\mid 1\leq i\leq 4\}}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle P_{i}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{i}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L_{i}.}$

Esto se puede entender de la siguiente manera: si y son dos líneas que no pasan , entonces la transformación de perspectiva de a con el centro es una transformación proyectiva que toma el cuádruple de puntos en el cuádruple de puntos en . ${\textstyle L}$ ${\textstyle L'}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle L'}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle \{P_{i}\}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle \{P_{i}'\}}$ ${\textstyle L'}$

Por tanto, la invariancia de la razón cruzada bajo automorfismos proyectivos de la recta implica (de hecho, equivale a) la independencia de la razón cruzada de los cuatro puntos colineales de las rectas de la elección de la recta que los contiene. ${\textstyle \{P_{i}\}}$ ${\textstyle \{L_{i}\}}$

Definición en coordenadas homogéneas

Si cuatro puntos colineales están representados en coordenadas homogéneas por vectores a , b , c , d tales que c = a + b y d = ka + b , entonces su relación cruzada es k . ^[7]

Papel en la geometría no euclidiana

Arthur Cayley y Felix Klein encontraron una aplicación de la razón cruzada a la geometría no euclidiana . Dada una cónica no singular C en el plano proyectivo real , su estabilizador G _C en el grupo proyectivo G = PGL(3, R ) actúa transitivamente sobre los puntos en el interior de C. Sin embargo, existe una invariante para la acción de G _C sobre pares de puntos. De hecho, cada uno de esos invariantes se puede expresar en función de la relación cruzada apropiada. ^{[ cita necesaria ]}

Geometría hiperbólica

Explícitamente, sea la cónica el círculo unitario . Para dos puntos cualesquiera P y Q , dentro del círculo unitario. Si la recta que los une corta al círculo en dos puntos, X e Y , y los puntos son, en orden, X , P , Q , Y. Entonces, la distancia hiperbólica entre P y Q en el modelo de Cayley-Klein del plano hiperbólico se puede expresar como

${\displaystyle d_{h}(P,Q)={\frac {1}{2}}\left|\log {\frac {|XQ||PY|}{|XP||QY|}}\right|}$

(Se necesita el factor la mitad para hacer la curvatura −1 ). Dado que la relación cruzada es invariante bajo transformaciones proyectivas, se deduce que la distancia hiperbólica es invariante bajo las transformaciones proyectivas que preservan la cónica C.

Por el contrario, el grupo G actúa transitivamente sobre el conjunto de pares de puntos ( p , q ) en el disco unitario a una distancia hiperbólica fija.

Más tarde, en parte gracias a la influencia de Henri Poincaré , la proporción cruzada de cuatro números complejos en un círculo se utilizó para métricas hiperbólicas. Estar en un círculo significa que los cuatro puntos son la imagen de cuatro puntos reales bajo una transformación de Möbius y, por tanto, la razón cruzada es un número real. El modelo de semiplano de Poincaré y el modelo de disco de Poincaré son dos modelos de geometría hiperbólica en la línea proyectiva compleja .

Estos modelos son ejemplos de métricas de Cayley-Klein .

Grupo anarmónico y cuatro grupos de Klein

La relación cruzada puede definirse mediante cualquiera de estas cuatro expresiones:

${\displaystyle (A,B;C,D)=(B,A;D,C)=(C,D;A,B)=(D,C;B,A).}$

Estos se diferencian por las siguientes permutaciones de las variables (en notación cíclica ):

${\displaystyle 1,\ (\,A\,B\,)(\,C\,D\,),\ (\,A\,C\,)(\,B\,D\,),\ (\,A\,D\,)(\,B\,C\,).}$

Podemos considerar las permutaciones de las cuatro variables como una acción del grupo simétrico S ₄ sobre funciones de las cuatro variables. Dado que las cuatro permutaciones anteriores dejan inalterada la relación cruzada, forman el estabilizador K de la relación cruzada bajo esta acción, y esto induce una acción efectiva del grupo cociente sobre la órbita de la relación cruzada. Las cuatro permutaciones en K realizan el grupo de cuatro de Klein en S ₄ , y el cociente es isomorfo al grupo simétrico S ₃ . ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K}$

Así, las otras permutaciones de las cuatro variables alteran la relación cruzada para dar los siguientes seis valores, que son la órbita del grupo de seis elementos : ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}/K\cong \mathrm {S} _{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(A,B;C,D)&=\lambda &(A,B;D,C)&={\frac {1}{\lambda }},\\[4mu](A,C;D,B)&={\frac {1}{1-\lambda }}&(A,C;B,D)&=1-\lambda ,\\[4mu](A,D;C,B)&={\frac {\lambda }{\lambda -1}}&(A,D;B,C)&={\frac {\lambda -1}{\lambda }}.\end{aligned}}}$

El estabilizador de {0, 1, ∞} es isomorfo al grupo de rotación del Diedro trigonal , el grupo diédrico D ₃ . Es conveniente visualizar esto mediante una transformación de Möbius M que asigna el eje real al círculo unitario complejo (el ecuador de la esfera de Riemann ), con 0, 1, ∞ igualmente espaciados.

Considerando {0, 1, ∞} como los vértices del didedro, los otros puntos fijos de los 2 ciclos son los puntos {2, −1, 1/2}, que bajo M están opuestos a cada vértice de la esfera de Riemann, en el punto medio del borde opuesto. Cada 2 ciclos es una rotación de media vuelta de la esfera de Riemann intercambiando los hemisferios (el interior y el exterior del círculo en el diagrama).

Los puntos fijos de los 3 ciclos son exp(± iπ /3) , correspondientes bajo M a los polos de la esfera: exp( iπ /3) es el origen y exp(− iπ /3) es el punto en el infinito . Cada 3 ciclos es una rotación de 1/3 de vuelta alrededor de su eje, y se intercambian por los 2 ciclos.

Como funciones de estas hay ejemplos de transformaciones de Möbius , que bajo composición de funciones forman el grupo de Mobius PGL(2, Z ) . Las seis transformaciones forman un subgrupo conocido como grupo anarmónico , nuevamente isomorfo a S ₃ . Son los elementos de torsión ( transformaciones elípticas ) en PGL (2, Z ) . Es decir, , y son de orden 2 con respectivos puntos fijos y (es decir, la órbita de la relación cruzada armónica). Mientras tanto, los elementos y son de orden 3 en PGL(2, Z ) , y cada uno fija ambos valores de la relación cruzada "más simétrica" ​​(las soluciones a , las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los elementos de orden 2 intercambian estos dos elementos (como lo hacen con cualquier par distinto de sus puntos fijos) y, por lo tanto, la acción del grupo anarmónico da el mapa de cocientes de grupos simétricos . ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle 1-\lambda \,}$ ${\textstyle {\tfrac {\lambda }{\lambda -1}}}$ ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{1-\lambda }}}$ ${\textstyle {\tfrac {\lambda -1}{\lambda }}}$ ${\textstyle e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$ ${\displaystyle x^{2}-x+1}$ ${\displaystyle e^{\pm i\pi /3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\to \mathrm {S} _{2}}$

Además, los puntos fijos de los 2 ciclos individuales son, respectivamente, y este conjunto también se conserva y permuta por los 3 ciclos. Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación del Diedro trigonal , que es isomorfo al grupo Diedro del triángulo D ₃ , como se ilustra a la derecha. Algebraicamente, esto corresponde a la acción de S ₃ sobre los 2 ciclos (sus 2 subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos . ${\displaystyle -1,}$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}},}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\textstyle \mathrm {S} _{3}\mathrel {\overset {\sim }{\to }} \operatorname {Inn} (\mathrm {S} _{3})\cong \mathrm {S} _{3}.}$

El grupo anarmónico es generado por y Su acción sobre da un isomorfismo con S ₃ . También se puede realizar como las seis transformaciones de Möbius mencionadas, ^[8] que producen una representación proyectiva de S 3 sobre cualquier campo (ya que se define con entradas enteras), y siempre es fiel/inyectiva (ya que no hay dos términos que difieran sólo por 1/-1 ). Sobre el campo con dos elementos, la recta proyectiva sólo tiene tres puntos, por lo que esta representación es un isomorfismo, y es el isomorfismo excepcional . En la característica 3 , esto estabiliza el punto , que corresponde a la órbita de la relación cruzada armónica siendo solo un punto, ya que . Sobre el campo con tres elementos, la línea proyectiva tiene solo 4 puntos y , por lo que la representación es exactamente el estabilizador de la relación cruzada armónica, lo que produce una incrustación igual al estabilizador del punto . ${\textstyle \lambda \mapsto {\tfrac {1}{\lambda }}}$ ${\textstyle \lambda \mapsto 1-\lambda .}$ ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\approx \mathrm {PGL} (2,2)}$ ${\displaystyle -1=[-1:1]}$ ${\textstyle 2={\tfrac {1}{2}}=-1}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\approx \mathrm {PGL} (2,3)}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}\hookrightarrow \mathrm {S} _{4}}$ ${\displaystyle -1}$

Órbitas excepcionales

Para ciertos valores de habrá mayor simetría y, por lo tanto, menos de seis valores posibles para la relación cruzada. Estos valores de corresponden a puntos fijos de la acción de S ₃ sobre la esfera de Riemann (dados por las seis funciones anteriores); o, de manera equivalente, aquellos puntos con un estabilizador no trivial en este grupo de permutación. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

El primer conjunto de puntos fijos es Sin embargo, la relación cruzada nunca puede tomar estos valores si los puntos A , B , C y D son todos distintos. Estos valores son valores límite cuando un par de coordenadas se acercan entre sí: ${\displaystyle \{0,1,\infty \}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(Z,B;Z,D)&=(A,Z;C,Z)=0,\\[4mu](Z,Z;C,D)&=(A,B;Z,Z)=1,\\[4mu](Z,B;C,Z)&=(A,Z;Z,D)=\infty .\end{aligned}}}$

El segundo conjunto de puntos fijos es Esta situación es lo que clásicamente se llama ${\textstyle {\big \{}{-1},{\tfrac {1}{2}},2{\big \}}.}$relación cruzada armónica , y surge enconjugados armónicos proyectivos. En el caso real, no existen otras órbitas excepcionales.

En el caso complejo, la relación cruzada más simétrica ocurre cuando . Estos son entonces los dos únicos valores de la relación cruzada y se actúa sobre ellos según el signo de la permutación. ${\displaystyle \lambda =e^{\pm i\pi /3}}$

Enfoque transformacional

La relación cruzada es invariante bajo las transformaciones proyectivas de la línea. En el caso de una recta proyectiva compleja , o esfera de Riemann , estas transformaciones se conocen como transformaciones de Möbius . Una transformación general de Möbius tiene la forma

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\;,\quad {\mbox{where }}a,b,c,d\in \mathbb {C} {\mbox{ and }}ad-bc\neq 0.}$

Estas transformaciones forman un grupo que actúa sobre la esfera de Riemann , el grupo de Möbius .

La invariancia proyectiva de la relación cruzada significa que

${\displaystyle (f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))=(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4}).\ }$

La relación cruzada es real si y sólo si los cuatro puntos son colineales o concíclicos , lo que refleja el hecho de que cada transformación de Möbius asigna círculos generalizados a círculos generalizados.

La acción del grupo de Möbius es simplemente transitiva sobre el conjunto de tripletas de puntos distintos de la esfera de Riemann: dada cualquier tripleta ordenada de puntos distintos, ( z ₂ , z ₃ , z ₄ ) , existe una única transformación de Möbius f ( z ) que lo asigna al triple (1, 0, ∞) . Esta transformación se puede describir convenientemente usando la relación cruzada: dado que ( z , z ₂ ; z ₃ , z ₄ ) debe ser igual a ( f ( z ), 1; 0, ∞) , que a su vez es igual a f ( z ) , tenemos obtener

${\displaystyle f(z)=(z,z_{2};z_{3},z_{4}).}$

Una explicación alternativa para la invariancia de la razón cruzada se basa en el hecho de que el grupo de transformaciones proyectivas de una recta se genera por las traslaciones, las homotecias y la inversión multiplicativa. Las diferencias z _j − z _k son invariantes bajo las traslaciones

${\displaystyle z\mapsto z+a}$

donde a es una constante en el campo terrestre F . Además, las razones de división son invariantes bajo una homotecia

${\displaystyle z\mapsto bz}$

para una constante b distinta de cero en F . Por lo tanto, la relación cruzada es invariante bajo las transformaciones afines .

Para obtener un mapeo de inversión bien definido

${\displaystyle T:z\mapsto z^{-1},}$

la línea afín necesita ser aumentada por el punto en el infinito , denotado ∞ , formando la línea proyectiva P ¹ ( F ) . Cada mapeo afín f  : F → F se puede extender de manera única a un mapeo de P ¹ ( F ) en sí mismo que fija el punto en el infinito. El mapa T intercambia 0 y ∞ . El grupo proyectivo es generado por T y las asignaciones afines se extienden a P ¹ ( F ). En el caso de F = C , el plano complejo , esto resulta en el grupo de Möbius . Dado que la relación cruzada también es invariante bajo T , es invariante bajo cualquier mapeo proyectivo de P ¹ ( F ) en sí mismo.

Descripción de coordenadas

Si escribimos los puntos complejos como vectores y definimos , y dejamos que sea el producto escalar de con , entonces la parte real de la razón cruzada viene dada por: ${\displaystyle {\overrightarrow {x}}_{n}=[\Re (z_{n}),\Im (z_{n})]^{\rm {T}}}$ ${\displaystyle x_{nm}=x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle C_{1}={\frac {(x_{12},x_{14})(x_{23},x_{34})-(x_{12},x_{34})(x_{14},x_{23})+(x_{12},x_{23})(x_{14},x_{34})}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Esta es una invariante de la transformación conforme especial bidimensional como la inversión . ${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow {\frac {x^{\mu }}{|x|^{2}}}}$

La parte imaginaria debe hacer uso del producto cruz bidimensional. ${\displaystyle a\times b=[a,b]=a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}$

${\displaystyle C_{2}={\frac {(x_{12},x_{14})[x_{34},x_{23}]-(x_{43},x_{23})[x_{12},x_{34}]}{|x_{23}|^{2}|x_{14}|^{2}}}}$

Homografía del anillo

El concepto de razón cruzada sólo depende de las operaciones anulares de suma, multiplicación e inversión (aunque la inversión de un elemento dado no es segura en un anillo). Un enfoque de la proporción cruzada lo interpreta como una homografía que lleva tres puntos designados a 0, 1 y ∞ . Bajo restricciones que tienen que ver con inversas, es posible generar dicho mapeo con operaciones de anillo en la línea proyectiva sobre un anillo . La relación cruzada de cuatro puntos es la evaluación de esta homografía en el cuarto punto.

Punto de vista geométrico diferencial.

La teoría adquiere un aspecto de cálculo diferencial a medida que los cuatro puntos se acercan. Esto lleva a la teoría de la derivada de Schwarzian y, más generalmente, de las conexiones proyectivas .

Generalizaciones de dimensiones superiores

La relación cruzada no se generaliza de manera simple a dimensiones superiores, debido a otras propiedades geométricas de las configuraciones de puntos, en particular la colinealidad: los espacios de configuración son más complicados y las k -tuplas distintas de puntos no están en posición general .

Mientras que el grupo lineal proyectivo de la línea proyectiva es 3-transitivo (cualesquiera tres puntos distintos pueden asignarse a otros tres puntos cualesquiera) y, de hecho, simplemente 3-transitivo (hay un mapa proyectivo único que lleva cualquier triple a otro triple), con Siendo así la relación cruzada el único invariante proyectivo de un conjunto de cuatro puntos, existen invariantes geométricos básicos en una dimensión superior. El grupo lineal proyectivo del n -espacio tiene ( n + 1) ² − 1 dimensiones (porque la proyectivización elimina una dimensión), pero en otras dimensiones el grupo lineal proyectivo es solo 2-transitivo, porque se deben asignar tres puntos colineales a tres puntos colineales (lo cual no es una restricción en la línea proyectiva) y, por lo tanto, no existe una "relación cruzada generalizada" que proporcione el invariante único de n ² puntos. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}=\mathbf {P} (K^{n+1})}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (n,K)=\mathbf {P} (\mathrm {GL} (n+1,K)),}$

La colinealidad no es la única propiedad geométrica de las configuraciones de puntos que debe mantenerse; por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero seis puntos generales no se encuentran en una cónica, por lo que si alguna tupla de 6 puntos se encuentra en una cónica también es una invariante proyectiva. Se pueden estudiar las órbitas de los puntos en posición general (en la línea, "posición general" equivale a ser distintos, mientras que en dimensiones superiores requiere consideraciones geométricas, como se analizó), pero, como indica lo anterior, esto es más complicado y menos informativo.

Sin embargo, existe una generalización a superficies de Riemann de género positivo , utilizando el mapa de Abel-Jacobi y las funciones theta .

Ver también

• Métrica de Hilbert

Notas

1. Un teorema sobre la proporción anarmónica de líneas apareció en la obra de Pappus , pero Michel Chasles , que dedicó considerables esfuerzos a reconstruir las obras perdidas de Euclides , afirmó que había aparecido antes en su libro Porismos .
2. Alexander Jones (1986) Libro 7 de la colección , parte 1: introducción, texto, traducción ISBN  0-387-96257-3 , parte 2: comentario, índice, figuras ISBN 3-540-96257-3 , Springer-Verlag 
3. Carnot, Lazare (1803). Geometría de posición. Crapelet.
4. Chasles, Michel (1837). Descripción histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos. Hayez. pag. 35.(El enlace es a la segunda edición reimpresa, Gauthier-Villars: 1875.)
5. Howard Eves (1972) Un estudio de geometría , edición revisada, página 73, Allyn y Bacon
6. WK Clifford (1878) Elements of Dynamic, libros I, II, III, página 42, Londres: MacMillan & Co; Presentación en línea de Monografías matemáticas históricas de la Universidad de Cornell .
7. Irving Kaplansky (1969). Álgebra lineal y geometría: un segundo curso . ISBN 0-486-43233-5.
8. Chandrasekharan, K. (1985). Funciones elípticas . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 281. Springer-Verlag . pag. 120.ISBN​ 3-540-15295-4. Zbl  0575.33001.

Referencias

• Lars Ahlfors (1953,1966,1979) Análisis complejo , 1.ª edición, página 25; Segunda y tercera ediciones, página 78, McGraw-Hill ISBN 0-07-000657-1 . 
• Viktor Blåsjö (2009) "Systematische Entwickelung de Jakob Steiner: la culminación de la geometría clásica", Mathematical Intelligencer 31(1): 21–9.
• John J. Milne (1911) Tratado elemental sobre geometría de relaciones cruzadas con notas históricas, Cambridge University Press .
• Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 7, Addison-Wesley .
• IR Shafarevich y AO Remizov (2012) Álgebra y geometría lineales , Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 

enlaces externos

• MathPages: Kevin Brown explica la proporción cruzada en su artículo sobre el hexagrama místico de Pascal
• Relación cruzada al cortar el nudo
• Weisstein, Eric W. "Relación cruzada". MundoMatemático .
• Ardila, Federico. «La Proporción Cruzada» (vídeo) . YouTube . Brady Harán . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021 . Consultado el 6 de julio de 2018 .