Teoremas de Sylow

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son una colección de teoremas que llevan el nombre del matemático noruego Peter Ludwig Sylow ^[1] y que dan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado . Los teoremas de Sylow forman una parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos simples finitos .

Para un número primo , un p -subgrupo de Sylow (a veces p -subgrupo de Sylow ) de un grupo es un -subgrupo maximal de , es decir, un subgrupo de que es un p -grupo (lo que significa que su cardinalidad es una potencia de o, equivalentemente, el orden de cada elemento del grupo es una potencia de ) que no es un subgrupo propio de ningún otro -subgrupo de . El conjunto de todos los subgrupos de Sylow para un primo dado a veces se escribe . $p$ $G$ $p$ $G$ $G$ $p,$ $p$ $p$ $G$ $p$ $p$ ${\text{Syl}}_{p}(G)$

Los teoremas de Sylow afirman una recíproca parcial del teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito el orden (número de elementos) de cada subgrupo de divide el orden de . Los teoremas de Sylow establecen que para cada factor primo del orden de un grupo finito , existe un subgrupo de Sylow de de orden , la potencia más alta de que divide el orden de . Además, cada subgrupo de orden es un subgrupo de Sylow de , y los subgrupos de Sylow de un grupo (para un primo dado ) son conjugados entre sí. Además, el número de subgrupos de Sylow de un grupo para un primo dado es congruente con 1 (mod ). $G$ $G$ $G$ $p$ $G$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p^{n}$ $p$ $G$ $p$ $p$ $p$ $p$ $p$

Teoremas

Motivación

Los teoremas de Sylow son una declaración poderosa sobre la estructura de los grupos en general, pero también son poderosos en aplicaciones de la teoría de grupos finitos. Esto se debe a que brindan un método para usar la descomposición en primos de la cardinalidad de un grupo finito para brindar declaraciones sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, proporciona una técnica para transportar información básica de teoría de números sobre un grupo a su estructura de grupo. A partir de esta observación, la clasificación de grupos finitos se convierte en un juego de encontrar qué combinaciones/construcciones de grupos de orden menor se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas es en la clasificación de grupos finitos de alguna cardinalidad fija, por ejemplo . ^[2] $G$ $|G|=60$

Declaración

Las colecciones de subgrupos que son cada uno máximo en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El resultado sorprendente aquí es que en el caso de , todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el mayor orden posible: si con donde $p$ no divide $a m$ , entonces cada $p$ -subgrupo de Sylow $P$ tiene orden . Es decir, $P$ es un $p$ -grupo y . Estas propiedades se pueden explotar para analizar más a fondo la estructura de $G$ . $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ $|G|=p^{n}m$ $n>0$ $|P|=p^{n}$ ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$

Los siguientes teoremas fueron propuestos y demostrados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872, y publicados en Mathematische Annalen .

Teorema (1) — Para cada factor primo $p$ con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , existe un $p$ -subgrupo de Sylow de $G$ , de orden . $p^{n}$

La siguiente versión más débil del teorema 1 fue demostrada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como teorema de Cauchy .

Corolario : Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ que divide el orden de $G$ , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo cíclico generado por este elemento) de orden $p$ en $G$ . ^[3]

Teorema (2) — Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ , todos $los p$ -subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados entre sí. Es decir, si $H$ y $K$ son $p$ -subgrupos de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento con . $g\in G$ $g^{-1}Hg=K$

Teorema (3) — Sea $p$ un factor primo con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , de modo que el orden de $G$ se puede escribir como , donde y $p$ no divide $a m$ . Sea el número de $p$ -subgrupos de Sylow de $G$ . Entonces se cumple lo siguiente: $p^{n}m$ $n>0$ $n_{p}$

$n_{p}$ divide $m$ , que es el índice del subgrupo $p de Sylow en$ $G$ .
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ , donde $P$ es cualquier subgrupo $p de Sylow de$ $G$ y denota el normalizador . $N_{G}$

Consecuencias

Los teoremas de Sylow implican que para un número primo cada subgrupo de Sylow es del mismo orden, . A la inversa, si un subgrupo tiene orden , entonces es un subgrupo de Sylow y, por lo tanto, es conjugado de cualquier otro subgrupo de Sylow. Debido a la condición de maximalidad, si es cualquier subgrupo de , entonces es un subgrupo de un subgrupo de orden . $p$ $p$ $p^{n}$ $p^{n}$ $p$ $p$ $H$ $p$ $G$ $H$ $p$ $p^{n}$

Una consecuencia importante del Teorema 2 es que la condición es equivalente a la condición de que el subgrupo de Sylow de es un subgrupo normal (el Teorema 3 a menudo puede mostrar ). Sin embargo, hay grupos que tienen subgrupos normales propios, no triviales, pero no subgrupos normales de Sylow, como . Los grupos que son de orden de potencia primo no tienen subgrupos de Sylow propios. $n_{p}=1$ $p$ $G$ $n_{p}=1$ $S_{4}$ $p$

El tercer punto del tercer teorema tiene como consecuencia inmediata que divide . $n_{p}$ $|G|$

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Existe un análogo de los teoremas de Sylow para grupos infinitos. Se define un $p$ -subgrupo de Sylow en un grupo infinito como un p -subgrupo (es decir, cada elemento en él tiene orden de potencia $p$ ) que es máximo para su inclusión entre todos $los p$ -subgrupos en el grupo. Sea , el conjunto de conjugados de un subgrupo . $\operatorname {Cl} (K)$ $K\subset G$

Teorema — Si $K$ es un $p$ -subgrupo de Sylow de $G$ , y es finito, entonces cada $p$ -subgrupo de Sylow es conjugado a $K$ , y . $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$

Ejemplos

Una ilustración sencilla de los subgrupos de Sylow y de los teoremas de Sylow es el grupo diedro del n -gono, D _{2 n} . Para n impar, 2 = 2 ¹ es la potencia más alta de 2 que divide el orden, y por lo tanto los subgrupos de orden 2 son subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n , y todos son conjugados bajo rotaciones; geométricamente los ejes de simetría pasan por un vértice y un lado.

Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow, y de hecho caen en dos clases de conjugación, geométricamente según pasen por dos vértices o por dos caras. Estas están relacionadas por un automorfismo externo , que puede representarse por la rotación a través de π/ n , la mitad de la rotación mínima en el grupo diedro.

Otro ejemplo son los p-subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ), donde p y q son primos ≥ 3 y $p \equiv 1 (mod q)$ , que son todos abelianos . El orden de GL ₂ ( F _q ) es $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . Como $q = p n m + 1$ , el orden de $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Por lo tanto, por el Teorema 1, el orden de los p -subgrupos de Sylow es p ^{2 n} .

Un subgrupo de este tipo, P , es el conjunto de matrices diagonales , x es cualquier raíz primitiva de F _q . Como el orden de F _q es $q$ $- 1$ , sus raíces primitivas tienen orden q − 1, lo que implica que $x$ $($ $q$ $- 1)/$ $p$ $n$ o x ^m y todas sus potencias tienen un orden que es una potencia de p . Por lo tanto, P es un subgrupo donde todos sus elementos tienen órdenes que son potencias de p . Hay p ⁿ opciones tanto para a como para b , lo que hace que $|$ $P$ $| =$ $p$ $2$ $n$ . Esto significa que P es un p -subgrupo de Sylow, que es abeliano, ya que todas las matrices diagonales conmutan, y como el Teorema 2 establece que todos los p -subgrupos de Sylow son conjugados entre sí, los p -subgrupos de Sylow de GL ₂ ( F _q ) son todos abelianos. ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$

Ejemplos de aplicaciones

Dado que el teorema de Sylow asegura la existencia de p-subgrupos de un grupo finito, vale la pena estudiar los grupos de orden de potencia primo con más detenimiento. La mayoría de los ejemplos utilizan el teorema de Sylow para demostrar que un grupo de un orden particular no es simple . Para grupos de orden pequeño, la condición de congruencia del teorema de Sylow suele ser suficiente para forzar la existencia de un subgrupo normal .

Ejemplo-1: Grupos de orden pq , p y q primos con p < q .
Ejemplo-2: Grupos de orden 30, grupos de orden 20, grupos de orden p ²q , p y q primos distintos son algunas de las aplicaciones.
Ejemplo-3: (Grupos de orden 60): Si el orden | G | = 60 y G tiene más de un 5-subgrupo de Sylow, entonces G es simple.

Órdenes de grupo cíclicas

Algunos números no primos n son tales que cada grupo de orden n es cíclico. Se puede demostrar que n = 15 es un número de este tipo utilizando los teoremas de Sylow: Sea G un grupo de orden 15 = 3 · 5 y n ₃ el número de 3-subgrupos de Sylow. Entonces n ₃ 5 y n ₃ ≡ 1 (mód 3). El único valor que satisface estas restricciones es 1; por lo tanto, solo hay un subgrupo de orden 3, y debe ser normal (ya que no tiene conjugados distintos). De manera similar, n ₅ debe dividir a 3, y n ₅ debe ser igual a 1 (mód 5); por lo tanto también debe tener un único subgrupo normal de orden 5. Como 3 y 5 son coprimos , la intersección de estos dos subgrupos es trivial, y por lo tanto G debe ser el producto directo interno de los grupos de orden 3 y 5, es decir, el grupo cíclico de orden 15. Por lo tanto, solo hay un grupo de orden 15 ( salvo isomorfismo). $\mid$

Los grupos pequeños no son sencillos

Un ejemplo más complejo involucra el orden del grupo simple más pequeño que no es cíclico . El teorema p a q b de Burnside establece que si el orden de un grupo es el producto de una o dos potencias primos , entonces es resoluble , y por lo tanto el grupo no es simple, o es de orden primo y es cíclico. Esto descarta todo grupo hasta el orden 30 (= 2 · 3 · 5) .

Si G es simple y | G | = 30, entonces n ₃ debe ser divisor de 10 ( = 2 · 5), y n ₃ debe ser igual a 1 (mod 3). Por lo tanto, n ₃ = 10, ya que ni 4 ni 7 dividen a 10, y si n ₃ = 1 entonces, como antes, G tendría un subgrupo normal de orden 3, y no podría ser simple. G tiene entonces 10 subgrupos cíclicos distintos de orden 3, cada uno de los cuales tiene 2 elementos de orden 3 (más la identidad). Esto significa que G tiene al menos 20 elementos distintos de orden 3.

Además, n ₅ = 6, ya que n ₅ debe dividir a 6 ( = 2 · 3), y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5). Por lo tanto, G también tiene 24 elementos distintos de orden 5. Pero el orden de G es solo 30, por lo que no puede existir un grupo simple de orden 30.

A continuación, supongamos que | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Aquí n ₇ debe dividir a 6 ( = 2 · 3) y n ₇ debe ser igual a 1 (mod 7), por lo que n ₇ = 1. Por lo tanto, como antes, G no puede ser simple.

Por otra parte, para | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, entonces n ₃ = 10 y n ₅ = 6 son perfectamente posibles. Y de hecho, el grupo no cíclico simple más pequeño es A ₅ , el grupo alternado sobre 5 elementos. Tiene orden 60, y tiene 24 permutaciones cíclicas de orden 5, y 20 de orden 3.

Teorema de Wilson

Parte del teorema de Wilson establece que

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

para cada primo p . Se puede demostrar fácilmente este teorema mediante el tercer teorema de Sylow. De hecho, observe que el número n _p de p -subgrupos de Sylow en el grupo simétrico S _p es ⁠1/pág - 1⁠ veces el número de p-ciclos en S _p , es decir, $(p - 2)!$ . Por otro lado, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Por lo tanto, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . Entonces, $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Resultados de la fusión

El argumento de Frattini muestra que un subgrupo de Sylow de un subgrupo normal proporciona una factorización de un grupo finito. Una ligera generalización conocida como teorema de fusión de Burnside establece que si G es un grupo finito con un p -subgrupo P de Sylow y dos subconjuntos A y B normalizados por P , entonces A y B son G -conjugados si y solo si son N _G ( P )-conjugados. La prueba es una aplicación simple del teorema de Sylow: si B = A ^g , entonces el normalizador de B contiene no solo a P sino también a P ^g (ya que P ^g está contenido en el normalizador de A ^g ). Por el teorema de Sylow P y P ^g son conjugados no solo en G , sino también en el normalizador de B . Por lo tanto, gh ⁻¹ normaliza P para algún h que normaliza B , y entonces A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , de modo que A y B son N _G ( P )-conjugados. El teorema de fusión de Burnside se puede utilizar para dar una factorización más potente llamada producto semidirecto : si G es un grupo finito cuyo p -subgrupo de Sylow P está contenido en el centro de su normalizador, entonces G tiene un subgrupo normal K de orden coprimo a P , G = PK y P ∩ K = {1}, es decir, G es p -nilpotente .

Aplicaciones menos triviales de los teoremas de Sylow incluyen el teorema del subgrupo focal , que estudia el control que un p -subgrupo de Sylow del subgrupo derivado tiene sobre la estructura de todo el grupo. Este control se explota en varias etapas de la clasificación de grupos simples finitos y, por ejemplo, define las divisiones de casos utilizadas en el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que clasifica grupos simples finitos cuyo 2-subgrupo de Sylow es un grupo cuasi-diédrico . Estos se basan en el fortalecimiento de JL Alperin de la parte de conjugación del teorema de Sylow para controlar qué tipos de elementos se utilizan en la conjugación.

Demostración de los teoremas de Sylow

Los teoremas de Sylow se han demostrado de diversas maneras, y la historia de las pruebas en sí es el tema de muchos artículos, incluidos los de Waterhouse, ^[4] Scharlau, ^[5] Casadio y Zappa, ^[6] Gow, ^[7] y, en cierta medida, Meo. ^[8]

Una demostración de los teoremas de Sylow explota la noción de acción grupal de diversas maneras creativas. El grupo $G$ actúa sobre sí mismo o sobre el conjunto de sus p -subgrupos de diversas maneras, y cada una de esas acciones puede explotarse para demostrar uno de los teoremas de Sylow. Las siguientes demostraciones se basan en argumentos combinatorios de Wielandt. ^[9] En lo que sigue, utilizamos como notación para "a divide a b" y para la negación de esta afirmación. $a\mid b$ $a\nmid b$

Teorema (1) — Un grupo finito G cuyo orden es divisible por una potencia prima p ^k tiene un subgrupo de orden p ^k . $|G|$

Prueba

Sea $| G | = p k m = p k + r u$ tal que , y sea Ω el conjunto de subconjuntos de $G$ de tamaño p ^k . $G$ actúa sobre Ω por multiplicación izquierda: para $g$ $\in$ $G$ y $ω$ $\in Ω$ , $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . Para un conjunto dado $ω$ $\in Ω$ , escriba G _ω para su subgrupo estabilizador ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ y G ω para su órbita ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ en Ω. $p\nmid u$

La prueba mostrará la existencia de algún $ω \in Ω$ para el cual $G$ _$ω$ tiene p ^k elementos, lo que proporciona el subgrupo deseado. Este es el tamaño máximo posible de un subgrupo estabilizador $G$ _$ω$ , ya que para cualquier elemento fijo $α \in ω \subseteq G$ , la clase lateral derecha $G$ _$ω$ $α$ está contenida en $ω$ ; por lo tanto, $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

Por el teorema del estabilizador de órbita tenemos $| G ω | | G ω | = | G |$ para cada $ω \in Ω$ , y por lo tanto usando la valoración aditiva p-ádica ν _p , que cuenta el número de factores p , uno tiene $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Esto significa que para aquellos $ω$ con $| G ω | = p k$ , los que estamos buscando, uno tiene $ν p (| G ω |) = r$ , mientras que para cualquier otro $ω$ uno tiene $ν p (| G ω |) > r$ (como $0 < | G ω | < p k$ implica $ν p (| G ω |) < k)$ . Ya que $| Ω |$ es la suma de $| G ω |$ En todas las órbitas distintas $G$ $ω$ , se puede demostrar la existencia de ω del primer tipo demostrando que $ν p (| Ω |) = r$ (si no existiera ninguna, esa valoración excedería a r ). Este es un ejemplo del teorema de Kummer (ya que en la notación de base p el número $| G |$ termina con exactamente k + r dígitos cero, restarle p ^k implica un acarreo en r lugares), y también se puede demostrar mediante un cálculo simple:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}m-j}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}m-j/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

y no queda ninguna potencia de p en ninguno de los factores dentro del producto de la derecha. Por lo tanto, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , completando la prueba.

Se puede observar que, a la inversa, cada subgrupo H de orden p ^k da lugar a conjuntos $ω \in Ω$ para los cuales G _ω = H , es decir, cualquiera de los m clases laterales distintos Hg .

Lema — Sea $H un$ $p$ -grupo finito , sea Ω un conjunto finito sobre el que actúa $H$ y sea Ω ₀ el conjunto de puntos de Ω que están fijos bajo la acción de $H$ . Entonces $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Prueba

Cualquier elemento $x \in Ω$ no fijado por $H$ se encontrará en una órbita de orden $| H |/| H x |$ (donde H _x denota el estabilizador ), que es un múltiplo de $p$ por suposición. El resultado se obtiene inmediatamente escribiendo $| Ω |$ como la suma de $| H x |$ sobre todas las órbitas distintas $H$ $x$ y reduciendo mod $p$ .

Teorema (2) — Si H es un p -subgrupo de $G$ y P es un p -subgrupo de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ tal que g ⁻¹Hg ≤ P . En particular, todos los p -subgrupos de Sylow de $G$ son conjugados entre sí (y por lo tanto isomorfos ), es decir, si H y K son p -subgrupos de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ con g ⁻¹Hg = K .

Prueba

Sea Ω el conjunto de clases laterales izquierdas de P en $G$ y sea H el que actúa sobre Ω por multiplicación por la izquierda. Aplicando el Lema a H sobre Ω, vemos que $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . Ahora bien , por definición , entonces , por lo tanto, en particular $|$ $Ω$ $0$ $| \neq 0$ , por lo que existe algún $gP$ $\in Ω$ $0$ . Con este gP , tenemos hgP = gP para todo $h$ $\in$ $H$ , por lo que g ⁻¹HgP = P y, por lo tanto, g ⁻¹Hg ≤ P . Además, si H es un p -subgrupo de Sylow , entonces $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $| = |$ $H$ $| = |$ $P$ $|$ de modo que g ⁻¹Hg = P . $p\nmid [G:P]$ $p\nmid |\Omega _{0}|$

Teorema (3) — Sea q el orden de cualquier p -subgrupo de Sylow P de un grupo finito G . Sea n _p el número de p -subgrupos de Sylow de G . Entonces (a) $n p = [G : N G (P)]$ (donde N _G ( P ) es el normalizador de P ), (b) $n p$ divide $a | G |/ q$ , y (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Prueba

Sea Ω el conjunto de todos los p -subgrupos de Sylow de $G$ y sea $G$ el que actúa sobre Ω por conjugación. Sea $P \in Ω$ un p -subgrupo de Sylow. Por el Teorema 2, la órbita de P tiene un tamaño n _p , por lo que por el teorema del estabilizador de órbita $n p = [G : G P]$ . Para esta acción de grupo, el estabilizador $G$ _P viene dado por ${g \in G | gPg -1 = P} = N G (P)$ , el normalizador de P en G . Por lo tanto, $n p = [G : N G (P)]$ , y se deduce que este número es un divisor de $[G : P] = | G |/ q$ .

Sea ahora P el que actúa sobre Ω por conjugación, y de nuevo sea Ω ₀ el conjunto de puntos fijos de esta acción. Sea $Q \in Ω 0$ y observemos que entonces $Q = xQx -1$ para todo $x \in P$ de modo que P ≤ N _G ( Q ). Por el Teorema 2, P y Q son conjugados en N _G ( Q ) en particular, y Q es normal en N _G ( Q ), por lo que entonces P = Q . De ello se deduce que Ω ₀ = { P } de modo que, por el Lema, $| Ω | \equiv | Ω 0 | = 1 (mod p)$ .

Algoritmos

El problema de encontrar un subgrupo de Sylow de un grupo dado es un problema importante en la teoría de grupos computacionales .

Una prueba de la existencia de p -subgrupos de Sylow es constructiva: si H es un p -subgrupo de G y el índice [ G : H ] es divisible por p , entonces el normalizador N = N _G ( H ) de H en G es también tal que [ N : H ] es divisible por p . En otras palabras, un sistema generador policíclico de un p -subgrupo de Sylow se puede encontrar partiendo de cualquier p -subgrupo H (incluyendo la identidad) y tomando elementos de orden de potencia p contenidos en el normalizador de H pero no en H mismo. La versión algorítmica de esto (y muchas mejoras) se describe en forma de libro de texto en Butler, ^[10] incluyendo el algoritmo descrito en Cannon. ^[11] Estas versiones todavía se utilizan en el sistema de álgebra computacional GAP .

En grupos de permutación , se ha demostrado, en Kantor ^[12]^[13]^[14] y Kantor y Taylor, ^[15] que un p- subgrupo de Sylow y su normalizador se pueden encontrar en tiempo polinomial de la entrada (el grado del grupo multiplicado por el número de generadores). Estos algoritmos se describen en forma de libro de texto en Seress, ^[16] y ahora se están volviendo prácticos a medida que el reconocimiento constructivo de grupos simples finitos se vuelve una realidad. En particular, se utilizan versiones de este algoritmo en el sistema de álgebra computacional Magma .

Véase también

Notas

^ Sylow, L. (1872). "Teoremas sobre los grupos de sustituciones". Matemáticas. Ana. (en francés). 5 (4): 584–594. doi :10.1007/BF01442913. JFM 04.0056.02. S2CID 121928336.
^ Gracia–Saz, Alfonso. «Clasificación de grupos de orden 60» (PDF) . math.toronto.edu . Archivado (PDF) del original el 28 de octubre de 2020 . Consultado el 8 de mayo de 2021 .
^ Fraleigh, John B. (2004). Un primer curso de álgebra abstracta . Con la colaboración de Victor J. Katz. Pearson Education. pág. 322. ISBN 9788178089973.
^ Waterhouse 1980.
^ Scharlau 1988.
^ Casadio y Zappa 1990.
^ Gow 1994.
^ Meo 2004.
^ Wielandt 1959.
^ Butler 1991, Capítulo 16.
^ Cañón 1971.
^ Cantor 1985a.
^ Kantor 1985b.
^ Cantor 1990.
^ Kantor y Taylor 1988.
^ Seress 2003.

Referencias

Pruebas

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Algoritmos

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Enlaces externos

"Teoremas de Sylow", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Álgebra abstracta/Teoría de grupos/Teoremas de Sylow en Wikilibros
Weisstein, Eric W. "Subgrupo p de Sylow". MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Teoremas de Sylow". MathWorld .