En teoría matemática de grupos , un p-complemento normal de un grupo finito para un primo p es un subgrupo normal de orden coprimo a p e indexa una potencia de p . En otras palabras, el grupo es un producto semidirecto del complemento p normal y cualquier subgrupo p de Sylow . Un grupo se llama p-nilpotente si tiene un complemento p normal .
Cayley demostró que si el subgrupo 2 de Sylow de un grupo G es cíclico, entonces el grupo tiene un complemento 2 normal, lo que muestra que el subgrupo 2 de Sylow de un grupo simple de orden par no puede ser cíclico.
Burnside (1911, Teorema II, sección 243) demostró que si un subgrupo p de Sylow de un grupo G está en el centro de su normalizador, entonces G tiene un complemento p normal . Esto implica que si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo G y el subgrupo p de Sylow es cíclico, entonces G tiene un complemento p normal .
El teorema del complemento p normal de Frobenius es un fortalecimiento del teorema del complemento p normal de Burnside , que establece que si el normalizador de cada subgrupo no trivial de un subgrupo p de Sylow de G tiene un complemento p normal , entonces también lo tiene G. . Más precisamente, las siguientes condiciones son equivalentes:
El teorema del complemento p normal de Frobenius muestra que si todo normalizador de un subgrupo no trivial de un subgrupo p de Sylow tiene un complemento p normal , entonces G también lo tiene . Para las aplicaciones, suele ser útil tener una versión más potente en la que, en lugar de utilizar todos los subgrupos no triviales de un subgrupo p de Sylow , se utilizan sólo los subgrupos característicos no triviales. Para los números primos impares p, Thompson encontró un criterio tan reforzado: de hecho, no necesitaba todos los subgrupos característicos, sino sólo dos especiales.
Thompson (1964) demostró que si p es un primo impar y los grupos N(J( P )) y C(Z( P )) tienen complementos p normales para un subgrupo P de Sylow de G , entonces G tiene un complemento p .
En particular, si el normalizador de cada subgrupo de características no triviales de P tiene un complemento p normal , entonces G también lo tiene . Esta consecuencia es suficiente para muchas aplicaciones.
El resultado falla para p = 2 ya que el grupo simple PSL 2 ( F 7 ) de orden 168 es un contraejemplo.
Thompson (1960) dio una versión más débil de este teorema.
El teorema del complemento p normal de Thompson utilizó condiciones en dos subgrupos característicos particulares de un subgrupo p de Sylow . Glauberman mejoró esto aún más al mostrar que sólo es necesario utilizar un subgrupo característico: el centro del subgrupo de Thompson.
Glauberman (1968) usó su teorema ZJ para demostrar un teorema del complemento p normal, que si p es un primo impar y el normalizador de Z(J(P)) tiene un complemento p normal , para P un subgrupo p de Sylow G , entonces también lo hace G . Aquí Z representa el centro de un grupo y J el subgrupo de Thompson .
El resultado falla para p = 2 ya que el grupo simple PSL 2 ( F 7 ) de orden 168 es un contraejemplo.