Karl Georg Christian von Staudt (24 de enero de 1798 - 1 de junio de 1867) fue un matemático alemán que utilizó la geometría sintética para proporcionar una base para la aritmética.
Vida e influencia
Karl nació en la Ciudad Imperial Libre de Rothenburg, que ahora se llama Rothenburg ob der Tauber en Alemania. A partir de 1814 estudió en el Gymnasium en Ausbach. Asistió a la Universidad de Göttingen de 1818 a 1822, donde estudió con Gauss, quien era director del observatorio. Staudt proporcionó una efemérides para las órbitas de Marte y el asteroide Pallas . Cuando en 1821 se observó el cometa Nicollet-Pons, proporcionó los elementos de su órbita . Estos logros en astronomía le valieron su doctorado de la Universidad de Erlangen en 1822.
Staudt comenzó su carrera profesional como profesor de secundaria en Würzburg hasta 1827 y luego en Núremberg hasta 1835. En 1832 se casó con Jeanette Dreschler, con quien tuvo un hijo, Eduard, y una hija, Mathilda, pero Jeanette falleció en 1848.
El libro Geometrie der Lage (1847) fue un hito en la geometría proyectiva . Como escribió Burau (1976):
Staudt fue el primero en adoptar un enfoque totalmente riguroso. Sin excepción, sus predecesores seguían hablando de distancias, perpendiculares, ángulos y otras entidades que no desempeñan ningún papel en la geometría proyectiva. [1]
De hecho, en 1889 Mario Pieri tradujo a von Staudt, antes de escribir su I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). En 1900 Charlotte Scott del Bryn Mawr College parafraseó gran parte del trabajo de von Staudt en inglés para The Mathematical Gazette . [2] Cuando Wilhelm Blaschke publicó su libro de texto Projective Geometry en 1948, se colocó un retrato del joven Karl frente al Vorwort .
Staudt fue más allá de la geometría proyectiva real y entró en el espacio proyectivo complejo en sus tres volúmenes de Beiträge zur Geometrie der Lage publicados entre 1856 y 1860.
En 1922, HF Baker escribió sobre el trabajo de von Staudt:
Fue von Staudt quien se propuso conscientemente eliminar las ideas de distancia y congruencia, aunque el reconocimiento de su importancia se hubiera demorado mucho de no ser por el trabajo de Cayley y Klein sobre la teoría proyectiva de la distancia. Generalizados y combinados con la disertación posterior de Riemann, los volúmenes de von Staudt deben considerarse como la base de lo que, en su aspecto geométrico, la teoría de la relatividad en física puede llegar a ser. [3]
Von Staudt hizo el importante descubrimiento de que la relación que una cónica establece entre polos y polares es en realidad más fundamental que la cónica misma y puede establecerse independientemente. Esta "polaridad" puede entonces utilizarse para definir la cónica, de una manera que es perfectamente simétrica e inmediatamente autodual: una cónica es simplemente el lugar geométrico de los puntos que se encuentran sobre sus polares, o la envolvente de las líneas que pasan por sus polos. El tratamiento que Von Staudt hace de las cuádricas es análogo, en tres dimensiones. [4]
Álgebra de lanzamientos
En 1857, en el segundo Beiträge , von Staudt aportó una ruta hacia los números a través de la geometría llamada álgebra de proyecciones ( ‹Ver Tfd› Alemán : Wurftheorie ). Se basa en el rango proyectivo y la relación de conjugados armónicos proyectivos . A través de operaciones de adición de puntos y multiplicación de puntos, se obtiene un "álgebra de puntos", como en el capítulo 6 del libro de texto de Veblen y Young sobre geometría proyectiva. La presentación habitual se basa en la razón cruzada ( CA,BD ) de cuatro puntos colineales. Por ejemplo, Coolidge escribió: [5]
¿Cómo se suman dos distancias? Les damos el mismo punto de partida, hallamos el punto medio entre sus puntos terminales, es decir, el conjugado armónico del infinito respecto de sus puntos terminales, y luego hallamos el conjugado armónico del punto inicial respecto de este punto medio y del infinito. Generalizando esto, si queremos sumar las distancias ( CA,BD ) y ( CA,BD' ), hallamos M el conjugado armónico de C respecto de D y D' , y luego S el conjugado armónico de A respecto de C y M :
De la misma manera podemos encontrar una definición del producto de dos lanzamientos. Como el producto de dos números guarda la misma razón con uno de ellos que la que guarda el otro con la unidad, la razón de dos números es la razón cruzada que guardan como par con el infinito y el cero, así Von Staudt, en la notación anterior, define el producto de dos lanzamientos por
Estas definiciones implican una larga serie de pasos para demostrar que el álgebra así definida obedece las leyes conmutativas, asociativas y distributivas habituales, y que no hay divisores de cero.
Veblen y Young [6] dan un enunciado resumido como Teorema 10: "El conjunto de puntos de una línea, al eliminarlos, forma un cuerpo con respecto a las operaciones definidas previamente". Como señala Freudenthal [7] : 199
...hasta Hilbert, no hay otro ejemplo de una derivación tan directa de las leyes algebraicas a partir de axiomas geométricos como el que se encuentra en los Beiträge de von Staudt .
Otra afirmación del trabajo de von Staudt con los conjugados armónicos viene en forma de teorema:
La única correspondencia biunívoca entre los puntos reales de una línea que preserva la relación armónica entre cuatro puntos es una proyectividad no singular. [8]
El álgebra de lanzamientos fue descrita como "aritmética proyectiva" por John Stillwell (2005). [9]
En una sección llamada "Aritmética proyectiva", dice
La verdadera dificultad es que la construcción de a + b , por ejemplo, es diferente de la construcción de b + a , por lo que es una "coincidencia" si a + b = b + a . De manera similar, es una "coincidencia" si ab = ba , de cualquier otra ley del álgebra se cumple. Afortunadamente, podemos demostrar que las coincidencias requeridas ocurren realmente, porque están implícitas en ciertas coincidencias geométricas, a saber, los teoremas de Pappus y Desargues.
Para poder considerar el planteamiento de von Staudt como una base rigurosa de la geometría proyectiva, basta con añadir explícitamente los axiomas topológicos que von Staudt utiliza tácitamente. ... ¿cómo se puede formular la topología del espacio proyectivo sin el apoyo de una métrica? Von Staudt estaba aún lejos de plantear esta cuestión, que un cuarto de siglo después se volvería urgente. ... Felix Klein advirtió la laguna en el planteamiento de von Staudt; era consciente de la necesidad de formular la topología del espacio proyectivo independientemente del espacio euclidiano.... los italianos fueron los primeros en encontrar soluciones verdaderamente satisfactorias para el problema de una base puramente proyectiva de la geometría proyectiva, que von Staudt había intentado resolver. [7]
Uno de los matemáticos italianos fue Giovanni Vailati , quien estudió la propiedad de orden circular de la línea proyectiva real. La ciencia de este orden requiere una relación cuaternaria llamada relación de separación . Usando esta relación, los conceptos de secuencia monótona y límite pueden ser abordados, en una "línea" cíclica. Suponiendo que cada secuencia monótona tiene un límite, [10] la línea se convierte en un espacio completo . Estos desarrollos fueron inspirados por las deducciones de von Staudt de los axiomas de campo como una iniciativa en la derivación de propiedades de a partir de axiomas en geometría proyectiva.
Obras
Geometría del espacio , 1847
1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Núremberg
1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
^ de Hans Freudenthal (1974) "El impacto de los fundamentos de la geometría de von Staudt", en Para Dirk Struik , editor de RS Cohen, D. Reidel . También se encuentra en Geometría: el punto de vista de von Staudt , editores de Peter Plaumann y Karl Strambach, Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Bad Windsheim, julio/agosto de 1980, D. Reidel, ISBN 90-277-1283-2
^ Dirk Struik (1953) Lecciones de geometría analítica y proyectiva , pág. 22, "teorema de von Staudt"
^ Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Springer. pág. 128. doi :10.1007/0-387-29052-4_6.
