Medida (matemáticas)

Generalización de masa, longitud, área y volumen.

De manera informal, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si es un subconjunto de la medida de es menor o igual a la medida de Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea 0. Un ejemplo simple es un volumen (qué tan grande ocupa un objeto un espacio) como medida. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

En matemáticas , el concepto de medida es una generalización y formalización de medidas geométricas ( longitud , área , volumen ) y otras nociones comunes, como magnitud , masa y probabilidad de eventos. Estos conceptos aparentemente distintos tienen muchas similitudes y a menudo se pueden tratar juntos en un solo contexto matemático. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad , la teoría de la integración y se pueden generalizar para asumir valores negativos , como ocurre con la carga eléctrica . Las generalizaciones de largo alcance (como las medidas espectrales y las medidas con valores de proyección ) de la medida se utilizan ampliamente en la física cuántica y la física en general.

La intuición detrás de este concepto se remonta a la antigua Grecia , cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo . ^{[1] [2]} Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se sentaron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Nikolai Luzin , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.

Definición

Aditividad contable de una medida : La medida de una unión disjunta contable es la misma que la suma de todas las medidas de cada subconjunto. ${\displaystyle \mu }$

Sea un conjunto y un -álgebra sobre una función de conjunto de la recta de números reales extendida se denomina medida si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$

• No negatividad : Para todos ${\displaystyle E\in \Sigma ,\ \ \mu (E)\geq 0.}$
• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$
• Aditividad contable (o -aditividad ): Para todas las colecciones contables de conjuntos disjuntos por pares en Σ, ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k}).}$$

Si al menos un conjunto tiene medida finita, entonces el requisito se cumple automáticamente debido a la aditividad contable: y por lo tanto ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ $${\displaystyle \mu (E)=\mu (E\cup \varnothing )=\mu (E)+\mu (\varnothing ),}$$ ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0.}$

Si se descarta la condición de no negatividad y toma como máximo uno de los valores de entonces se denomina medida con signo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pm \infty ,}$ ${\displaystyle \mu }$

El par se llama espacio medible y los miembros de se llaman conjuntos mesurables . ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Un triple se llama espacio de medida . Una medida de probabilidad es una medida con una medida total de uno, es decir, Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una medida de probabilidad. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

Para los espacios de medida que también son espacios topológicos, se pueden establecer varias condiciones de compatibilidad para la medida y la topología. La mayoría de las medidas que se cumplen en la práctica en el análisis (y en muchos casos también en la teoría de la probabilidad ) son medidas de Radon . Las medidas de Radon tienen una definición alternativa en términos de funcionales lineales en el espacio vectorial topológico localmente convexo de funciones continuas con soporte compacto . Este enfoque es adoptado por Bourbaki (2004) y varias otras fuentes. Para más detalles, consulte el artículo sobre medidas de Radon .

Instancias

Aquí se enumeran algunas medidas importantes.

• La medida de conteo se define por = número de elementos en ${\displaystyle \mu (S)}$ ${\displaystyle S.}$
• La medida de Lebesgue en es una medida invariante de traducción completa en un σ -álgebra que contiene los intervalos en tales que ; y cualquier otra medida con estas propiedades extiende la medida de Lebesgue. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu ([0,1])=1}$
• La medida del ángulo circular es invariante bajo rotación , y la medida del ángulo hiperbólico es invariante bajo mapeo de compresión .
• La medida de Haar para un grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida de Lebesgue (y también de la medida de conteo y de la medida de ángulos circulares) y tiene propiedades de unicidad similares.
• Cada variedad (pseudo)riemanniana tiene una medida canónica que en coordenadas locales se parece a donde es la medida de Lebesgue habitual. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mu _{g}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {|\det g|}}d^{n}x}$ ${\displaystyle d^{n}x}$
• La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue a conjuntos con dimensión no entera, en particular, conjuntos fractales.
• Cada espacio de probabilidad da lugar a una medida que toma el valor 1 en todo el espacio (y, por lo tanto, toma todos sus valores en el intervalo unitario [0, 1]). Dicha medida se denomina medida o distribución de probabilidad . Consulte la lista de distribuciones de probabilidad para ver ejemplos.
• La medida de Dirac δ _a (cf. función delta de Dirac ) está dada por δ _a ( S ) = χ _S (a), donde χ _S es la función indicadora de La medida de un conjunto es 1 si contiene el punto y 0 en caso contrario. ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle a}$

Otras medidas "nombradas" utilizadas en varias teorías incluyen: medida de Borel , medida de Jordan , medida ergódica , medida gaussiana , medida de Baire , medida de Radon , medida de Young y medida de Loeb .

En física, un ejemplo de medida es la distribución espacial de la masa (véase, por ejemplo, el potencial de gravedad ) u otra propiedad extensiva no negativa , conservada (véase la ley de conservación para obtener una lista de ellas) o no. Los valores negativos dan lugar a medidas con signo; consulte "generalizaciones" a continuación.

• La medida de Liouville , conocida también como forma de volumen natural en una variedad simpléctica, es útil en la mecánica estadística clásica y en la mecánica hamiltoniana.
• La medida de Gibbs se utiliza ampliamente en mecánica estadística, a menudo bajo el nombre de conjunto canónico .

La teoría de la medida se utiliza en el aprendizaje automático. Un ejemplo es la medida de probabilidad inducida por flujo en GFlowNet. ^[3]

Propiedades básicas

Sea una medida. ${\displaystyle \mu }$

Monotonía

Si y son conjuntos medibles con entonces ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}$ $${\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2}).}$$

Medida de uniones e intersecciones contables

Subaditividad contable

Para cualquier secuencia contable de conjuntos mensurables (no necesariamente disjuntos) en ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \Sigma :}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).}$$

Continuidad desde abajo

Si son conjuntos medibles que son crecientes (es decir que ) entonces la unión de los conjuntos es medible y ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq E_{3}\subseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)~=~\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\sup _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Continuidad desde arriba

Si son conjuntos medibles que son decrecientes (es decir que ) entonces la intersección de los conjuntos es medible; además, si al menos uno de los tiene medida finita entonces ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},\ldots }$ ${\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq E_{3}\supseteq \ldots }$ ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})=\inf _{i\geq 1}\mu (E_{i}).}$$

Esta propiedad es falsa sin la suposición de que al menos uno de los tiene medida finita. Por ejemplo, para cada let que todos tienen medida de Lebesgue infinita, pero la intersección está vacía. ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} ,}$

Otras propiedades

Lo completo

Un conjunto medible se denomina conjunto nulo si Un subconjunto de un conjunto nulo se denomina conjunto despreciable . Un conjunto despreciable no necesita ser medible, pero todo conjunto despreciable medible es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se denomina completa si todo conjunto despreciable es medible. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=0.}$

Una medida puede extenderse a una completa considerando el σ-álgebra de subconjuntos que difieren en un conjunto despreciable de un conjunto medible , es decir, de modo que la diferencia simétrica de y está contenida en un conjunto nulo. Se define como igual ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu (Y)}$ ${\displaystyle \mu (X).}$

"Dejando caer el borde"

Si es -medible, entonces para casi todos ^[4] Esta propiedad se utiliza en conexión con la integral de Lebesgue . ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\cal {B}}([0,+\infty ]))}$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$$ ${\displaystyle t\in [-\infty ,\infty ].}$

Prueba

Tanto y son funciones monótonamente no crecientes de, por lo que ambas tienen como máximo un número contable de discontinuidades y, por lo tanto, son continuas casi en todas partes, en relación con la medida de Lebesgue. Si, entonces, de modo que, como se desea. ${\displaystyle F(t):=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle G(t):=\mu \{x\in X:f(x)\geq t\}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle t<0}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=X=\{x\in X:f(x)>t\},}$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$

Si es tal que entonces la monotonía implica que como se requiere. Si para todos entonces hemos terminado, entonces supongamos lo contrario. Entonces hay un único tal que es infinito a la izquierda de (lo que solo puede suceder cuando ) y finito a la derecha. Argumentando como arriba, cuando De manera similar, si y entonces ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty ,}$$ ${\displaystyle F(t)=G(t),}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)>t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\in \{-\infty \}\cup [0,+\infty )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=+\infty }$ ${\displaystyle t<t_{0}.}$ ${\displaystyle t_{0}\geq 0}$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=+\infty }$ ${\displaystyle F\left(t_{0}\right)=G\left(t_{0}\right).}$

Sea una secuencia monótonamente no decreciente que converge a Las secuencias monótonamente no crecientes de miembros de tienen al menos un componente finitamente medible, y La continuidad desde arriba garantiza que El lado derecho entonces es igual a si es un punto de continuidad de Dado que es continua casi en todas partes, esto completa la prueba. ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)>t_{n}\}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \{x\in X:f(x)\geq t\}=\bigcap _{n}\{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ $${\displaystyle \mu \{x\in X:f(x)\geq t\}=\lim _{t_{n}\uparrow t}\mu \{x\in X:f(x)>t_{n}\}.}$$ ${\displaystyle \lim _{t_{n}\uparrow t}F\left(t_{n}\right)}$ ${\displaystyle F(t)=\mu \{x\in X:f(x)>t\}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle F}$

Aditividad

Se requiere que las medidas sean contablemente aditivas. Sin embargo, la condición se puede reforzar de la siguiente manera. Para cualquier conjunto y cualquier conjunto de no negativos definimos: Es decir, definimos la suma de los como el supremo de todas las sumas de un número finito de ellos. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r_{i},i\in I}$ $${\displaystyle \sum _{i\in I}r_{i}=\sup \left\lbrace \sum _{i\in J}r_{i}:|J|<\infty ,J\subseteq I\right\rbrace .}$$ ${\displaystyle r_{i}}$

Una medida de es -aditiva si para cualquier familia de conjuntos disjuntos se cumple lo siguiente: La segunda condición es equivalente a la afirmación de que el ideal de los conjuntos nulos es -completo. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \lambda <\kappa }$ ${\displaystyle X_{\alpha },\alpha <\lambda }$ $${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\in \Sigma }$$ $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{\alpha \in \lambda }X_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in \lambda }\mu \left(X_{\alpha }\right).}$$ ${\displaystyle \kappa }$

Medidas sigma-finitas

Un espacio de medida se llama finito si es un número real finito (en lugar de ). Las medidas finitas distintas de cero son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita es proporcional a la medida de probabilidad. Una medida se llama σ-finita si se puede descomponer en una unión contable de conjuntos mensurables de medida finita. Análogamente, se dice que un conjunto en un espacio de medida tiene una medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos con medida finita. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu (X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\frac {1}{\mu (X)}}\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$

Por ejemplo, los números reales con la medida estándar de Lebesgue son σ-finitos pero no finitos. Considérense los intervalos cerrados para todos los números enteros: hay una cantidad contable de tales intervalos, cada uno tiene medida 1, y su unión es la línea real entera. Alternativamente, considérense los números reales con la medida de conteo , que asigna a cada conjunto finito de reales la cantidad de puntos en el conjunto. Este espacio de medida no es σ-finito, porque cada conjunto con medida finita contiene solo una cantidad finita de puntos, y se necesitarían una cantidad incontable de tales conjuntos para cubrir la línea real entera. Los espacios de medida σ-finitos tienen algunas propiedades muy convenientes; la σ-finitez puede compararse en este sentido con la propiedad de Lindelöf de los espacios topológicos. ^{[ investigación original? ]} También pueden considerarse como una generalización vaga de la idea de que un espacio de medida puede tener una 'medida incontable'. ${\displaystyle [k,k+1]}$ ${\displaystyle k;}$

Medidas estrictamente localizables

Medidas semifinitas

Sea un conjunto, sea un álgebra sigma en y sea una medida en Decimos que es semifinito para significar que para todo ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \},}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})\neq \emptyset .}$

Las medidas semifinitas generalizan las medidas sigma-finitas, de tal manera que algunos grandes teoremas de la teoría de la medida que son válidos para medidas sigma-finitas pero no arbitrarias pueden extenderse con pocas modificaciones para que sean válidos para medidas semifinitas. (Por hacer: agregar ejemplos de tales teoremas; cf. la página de discusión).

Ejemplos básicos

• Toda medida sigma-finita es semifinita.
• Supongamos let y supongamos para todos ${\displaystyle {\cal {A}}={\cal {P}}(X),}$ ${\displaystyle f:X\to [0,+\infty ],}$ ${\displaystyle \mu (A)=\sum _{a\in A}f(a)}$ ${\displaystyle A\subseteq X.}$
  • Tenemos que es sigma-finito si y solo si para todos y es contable. Tenemos que es semifinito si y solo si para todos ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f(x)<+\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$
  • Tomando lo anterior (es decir , la medida de conteo en ), vemos que la medida de conteo en es ${\displaystyle f=X\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$
    • sigma-finito si y sólo si es contable; y ${\displaystyle X}$
    • semifinito (sin tener en cuenta si es contable). (Por lo tanto, la medida de conteo, en el conjunto potencia de un conjunto incontable arbitrario da un ejemplo de una medida semifinita que no es sigma-finita.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X,}$
• Sea una métrica completa y separable en sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea Entonces la medida de Hausdorff es semifinita. ^[7] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$
• Sea una métrica completa y separable en sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea Entonces la medida de empaquetamiento es semifinita. ^[8] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} _{>0}.}$ ${\displaystyle {\cal {H}}^{s}|{\cal {B}}}$

Ejemplo implicado

La medida cero es sigma-finita y, por lo tanto, semifinita. Además, la medida cero es claramente menor o igual a. Se puede demostrar que existe una medida máxima con estas dos propiedades: ${\displaystyle \mu .}$

Teorema (parte semifinita) ^[9]  —  Para cualquier medida en existe, entre las medidas semifinitas en que son menores o iguales a un elemento mayor ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}.}$

Decimos que la parte semifinita de es la medida semifinita definida en el teorema anterior. Damos algunas fórmulas explícitas y agradables, que algunos autores pueden tomar como definición, para la parte semifinita: ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$

• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$^[9]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=(\sup\{\mu (A\cap B):B\in \mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}\}.}$^[10]
• ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}=\mu |_{\mu ^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{>0})}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}=+\infty \}\times \{+\infty \}\cup \{A\in {\cal {A}}:\sup\{\mu (B):B\in {\cal {P}}(A)\}<+\infty \}\times \{0\}.}$^[11]

Como es semifinito, se sigue que si entonces es semifinito. También es evidente que si es semifinito entonces ${\displaystyle \mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}.}$

No-ejemplos

Toda medida que no sea la medida cero no es semifinita. (Aquí, decimos medida para significar una medida cuyo rango está en : ) A continuación damos ejemplos de medidas que no son medidas cero. ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle (\forall A\in {\cal {A}})(\mu (A)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle 0-\infty }$

• Sea no vacío, sea un -álgebra en sea no la función cero, y sea Se puede demostrar que es una medida. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f:X\to \{0,+\infty \}}$ ${\displaystyle \mu =(\sum _{x\in A}f(x))_{A\in {\cal {A}}}.}$ ${\displaystyle \mu }$
  • ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0)\}\cup ({\cal {A}}\setminus \{\emptyset \})\times \{+\infty \}.}$^[12]
    • ${\displaystyle X=\{0\},}$ ${\displaystyle {\cal {A}}=\{\emptyset ,X\},}$ ${\displaystyle \mu =\{(\emptyset ,0),(X,+\infty )\}.}$^[13]
• Sea incontable, sea un -álgebra sobre sea los elementos contables de y sea Se puede demostrar que es una medida. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\cal {C}}=\{A\in {\cal {A}}:A{\text{ is countable}}\}}$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle \mu ={\cal {C}}\times \{0\}\cup ({\cal {A}}\setminus {\cal {C}})\times \{+\infty \}.}$ ${\displaystyle \mu }$

No-ejemplo involucrado

Las medidas que no son semifinitas son muy salvajes cuando se restringen a ciertos conjuntos. ^{[Nota 1]} Toda medida es, en cierto sentido, semifinita una vez que se le quita su parte (la parte salvaje). ${\displaystyle 0-\infty }$

—  A. Mukherjea y K. Pothoven, Análisis real y funcional, Parte A: Análisis real (1985)

Teorema (descomposición de Lutero) ^{[14] [15]}  —  Para cualquier medida en existe una medida en tal que para alguna medida semifinita en De hecho, entre tales medidas existe una medida mínima Además, tenemos ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu +\xi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$ ${\displaystyle \xi ,}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }.}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{\text{sf}}+\mu _{0-\infty }.}$

Decimos que la parte de significa la medida definida en el teorema anterior. A continuación se muestra una fórmula explícita para : ${\displaystyle \mathbf {0-\infty } }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{0-\infty }=(\sup\{\mu (B)-\mu _{\text{sf}}(B):B\in {\cal {P}}(A)\cap \mu _{\text{sf}}^{\text{pre}}(\mathbb {R} _{\geq 0})\})_{A\in {\cal {A}}}.}$

Resultados relativos a medidas semifinitas

• Sea o y sea Entonces es semifinito si y sólo si es inyectivo. ^{[16] [17]} (Este resultado tiene importancia en el estudio del espacio dual de ). ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L^{1}=L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}$
• Sea o y sea la topología de convergencia en medida en Entonces es semifinito si y sólo si es Hausdorff. ^[18] [ ^19] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{0}(\mu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {T}}}$
• (Johnson) Sea un conjunto, sea un álgebra sigma en sea una medida en sea un conjunto, sea un álgebra sigma en y sea una medida en Si ambos no son una medida, entonces ambos y son semifinitos si y solo si para todos y (Aquí, la medida está definida en el Teorema 39.1 en Berberian '65. ^[20] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}},}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\cal {B}}}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (\mu \times _{\text{cld}}\nu )}$ ${\displaystyle (A\times B)=\mu (A)\nu (B)}$ ${\displaystyle A\in {\cal {A}}}$ ${\displaystyle B\in {\cal {B}}.}$ ${\displaystyle \mu \times _{\text{cld}}\nu }$

Medidas localizables

Las medidas localizables son un caso especial de medidas semifinitas y una generalización de las medidas sigma-finitas.

Sea un conjunto, sea un álgebra sigma en y sea una medida en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\cal {A}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\cal {A}}.}$

• Sea o y sea Entonces es localizable si y sólo si es biyectivo (si y sólo si "es" ). ^{[21] [17]} ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle T:L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )\to \left(L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )\right)^{*}:g\mapsto T_{g}=\left(\int fgd\mu \right)_{f\in L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{\infty }(\mu )}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {F} }^{1}(\mu )^{*}}$

medidas s-finitas

Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas finitas. Las medidas s-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos .

Conjuntos no mensurables

Si se supone que el axioma de elección es verdadero, se puede demostrar que no todos los subconjuntos del espacio euclidiano son medibles según el método de Lebesgue ; ejemplos de tales conjuntos incluyen el conjunto de Vitali y los conjuntos no medibles postulados por la paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski .

Generalizaciones

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no estén restringidos a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto contablemente aditiva con valores en los números reales (con signo) se llama medida con signo , mientras que una función de este tipo con valores en los números complejos se llama medida compleja . Obsérvese, sin embargo, que la medida compleja es necesariamente de variación finita, por lo tanto, las medidas complejas incluyen medidas con signo finitas pero no, por ejemplo, la medida de Lebesgue .

Las medidas que toman valores en espacios de Banach han sido estudiadas extensamente. ^[22] Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se llama medida con valor de proyección ; estas se utilizan en el análisis funcional para el teorema espectral . Cuando es necesario distinguir las medidas usuales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva . Las medidas positivas están cerradas bajo la combinación cónica pero no bajo la combinación lineal general , mientras que las medidas con signo son el cierre lineal de las medidas positivas.

Otra generalización es la medida finitamente aditiva , también conocida como contenido . Es lo mismo que una medida excepto que en lugar de requerir aditividad contable , solo requerimos aditividad finita . Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que, en general, las medidas finitamente aditivas están conectadas con nociones como los límites de Banach , el dual de y la compactificación de Stone-Čech . Todas estas están vinculadas de una forma u otra al axioma de elección . Los contenidos siguen siendo útiles en ciertos problemas técnicos en la teoría de la medida geométrica ; esta es la teoría de las medidas de Banach . ${\displaystyle L^{\infty }}$

Una carga es una generalización en ambas direcciones: es una medida con signo y finitamente aditiva. ^[23] (Cf. b a ) para obtener información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada para significar que su rango es un subconjunto acotado de R ).

Véase también

• Portal de matemáticas

• Álgebra abeliana de von Neumann
• Casi en todas partes
• Teorema de extensión de Carathéodory
• Contenido (teoría de la medida)
• Teorema de Fubini
• El lema de Fatou
• Teoría de medidas difusas
• Teoría de la medida geométrica
• Medida de Hausdorff
• Medida interior
• Integración de Lebesgue
• Medida de Lebesgue
• Espacio de Lorentz
• Teoría de la elevación
• Cardenal medible
• Función medible
• Contenido de Minkowski
• Medida exterior
• Medida del producto
• Medida de impulso
• Medida regular
• Medida vectorial
• Valoración (teoría de la medida)
• Forma de volumen

Notas

1. Una forma de reformular nuestra definición es que es semifinito si y solo si Negando esta reformulación, encontramos que no es semifinito si y solo si Para cada conjunto, la medida del subespacio inducida por el álgebra sigma del subespacio inducida por, es decir, la restricción de a dicho álgebra sigma del subespacio, es una medida que no es la medida cero. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\forall A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\exists B\subseteq A)(0<\mu (B)<+\infty ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (\exists A\in \mu ^{\text{pre}}\{+\infty \})(\forall B\subseteq A)(\mu (B)\in \{0,+\infty \}).}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0-\infty }$

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Referencias

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22. Rao, MM (2012), Medidas aleatorias y vectoriales , Serie sobre análisis multivariante, vol. 9, World Scientific , ISBN 978-981-4350-81-5, Sr.  2840012.
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24. Folland 1999, p. 27, Ejercicio 1.15.a.

Enlaces externos

• "Medida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Tutorial: Teoría de la medida para principiantes