En matemáticas , un cardinal medible es un cierto tipo de número cardinal grande . Para definir el concepto, se introduce una medida de dos valores en un cardinal κ , o más generalmente en cualquier conjunto. Para un cardinal κ , se puede describir como una subdivisión de todos sus subconjuntos en conjuntos grandes y pequeños tales que κ en sí es grande, ∅ y todos los singletons { α } (con α ∈ κ ) son pequeños, los complementos de conjuntos pequeños son grandes y viceversa. La intersección de menos de κ conjuntos grandes es nuevamente grande. [1]
Resulta que los cardenales incontables dotados de una medida de dos valores son cardenales grandes cuya existencia no puede probarse a partir de ZFC . [2]
El concepto de cardinal medible fue introducido por Stanisław Ulam en 1930. [3]
Formalmente, un cardinal medible es un número cardinal incontable κ tal que existe una medida κ -aditiva, no trivial, de valor 0-1, μ en el conjunto potencia de κ.
Aquí, κ-aditivo significa: Para cada λ < κ y cada conjunto de tamaño λ { A β } β < λ de subconjuntos disjuntos por pares A β ⊆ κ, tenemos
De manera equivalente, κ es un cardinal medible si y solo si es un cardinal incontable con un ultrafiltro no principal κ -completo . Esto significa que la intersección de cualquier conjunto estrictamente menor que κ -muchos en el ultrafiltro también está en el ultrafiltro.
De manera equivalente, κ es medible, lo que significa que es el punto crítico de una incrustación elemental no trivial del universo V en una clase transitiva M. Esta equivalencia se debe a Jerome Keisler y Dana Scott , y utiliza la construcción de ultrapotencia de la teoría de modelos . Dado que V es una clase propia , es necesario abordar un problema técnico que no suele estar presente cuando se consideran ultrapotencias, mediante lo que ahora se llama el truco de Scott .
Es trivial notar que si κ admite una medida κ -aditiva no trivial , entonces κ debe ser regular . (Por no trivialidad y κ -aditividad, cualquier subconjunto de cardinalidad menor que κ debe tener medida 0, y luego por κ -aditividad nuevamente, esto significa que el conjunto entero no debe ser una unión de menos de κ conjuntos de cardinalidad menor que κ. ) Finalmente, si λ < κ, entonces no puede ser el caso que κ ≤ 2 λ . Si este fuera el caso, podríamos identificar κ con alguna colección de 0-1 secuencias de longitud λ. Para cada posición en la secuencia, el subconjunto de secuencias con 1 en esa posición o el subconjunto con 0 en esa posición tendrían que tener medida 1. La intersección de estos λ -muchos subconjuntos de medida 1 tendrían que tener medida 1, pero contendrían exactamente una secuencia, lo que contradeciría la no trivialidad de la medida. Por lo tanto, suponiendo el Axioma de Elección, podemos inferir que κ es un cardinal límite fuerte , lo que completa la prueba de su inaccesibilidad .
Aunque de ZFC se sigue que todo cardinal medible es inaccesible (y es inefable , Ramsey , etc.), es coherente con ZF que un cardinal medible puede ser un cardinal sucesor . De ZF + AD se sigue que ω 1 es medible, [4] y que todo subconjunto de ω 1 contiene o es disjunto de un subconjunto cerrado e ilimitado .
Ulam demostró que el cardinal más pequeño κ que admite una medida bivaluada contablemente aditiva no trivial debe de hecho admitir una medida κ -aditiva. (Si hubiera alguna colección de menos de κ subconjuntos de medida-0 cuya unión fuera κ, entonces la medida inducida en esta colección sería un contraejemplo de la minimalidad de κ. ) A partir de allí, uno puede probar (con el Axioma de Elección) que el cardinal más pequeño debe ser inaccesible.
Si κ es medible y p ∈ V κ y M (la ultrapotencia de V ) satisface ψ ( κ, p ), entonces el conjunto de α < κ tal que V satisface ψ ( α, p ) es estacionario en κ (en realidad un conjunto de medida 1). En particular, si ψ es una fórmula Π 1 y V satisface ψ ( κ, p ), entonces M la satisface y, por lo tanto, V satisface ψ ( α, p ) para un conjunto estacionario de α < κ. Esta propiedad se puede utilizar para mostrar que κ es un límite de la mayoría de los tipos de cardinales grandes que son más débiles que medibles. Nótese que el ultrafiltro o la medida que atestigua que κ es medible no puede estar en M ya que el cardinal medible más pequeño tendría que tener otro por debajo, lo cual es imposible.
Si uno comienza con una incrustación elemental j 1 de V en M 1 con punto crítico κ, entonces uno puede definir un ultrafiltro U en κ como { S ⊆ κ | κ ∈ j 1 ( S ) }. Luego, tomando una ultrapotencia de V sobre U, podemos obtener otra incrustación elemental j 2 de V en M 2 . Sin embargo, es importante recordar que j 2 ≠ j 1 . Por lo tanto, otros tipos de cardinales grandes, como los cardinales fuertes, también pueden ser medibles, pero no utilizando la misma incrustación. Se puede demostrar que un cardinal fuerte κ es medible y también tiene κ -muchos cardinales medibles debajo de él.
Todo cardinal medible κ es un cardinal enorme 0 porque κ M ⊆ M , es decir, toda función de κ a M está en M . En consecuencia, V κ +1 ⊆ M .
Si existe un cardinal medible, cada Σ1
2(con respecto a la jerarquía analítica ) el conjunto de números reales tiene una medida de Lebesgue . [4] En particular, cualquier conjunto de números reales no medible no debe ser Σ1
2.
Un cardinal κ se llama medible de valor real si hay una medida de probabilidad κ -aditiva en el conjunto potencia de κ que se anula en singletons. Los cardinales medibles de valor real fueron introducidos por Stefan Banach (1930). Banach y Kuratowski (1929) demostraron que la hipótesis del continuo implica que 𝔠 no es medible de valor real. Stanislaw Ulam (1930) demostró (ver a continuación partes de la prueba de Ulam) que los cardinales medibles de valor real son débilmente inaccesibles (de hecho son débilmente Mahlo ). Todos los cardinales medibles son medibles de valor real, y un cardinal κ medible de valor real es medible si y solo si κ es mayor que 𝔠. Por lo tanto, un cardinal es medible si y solo si es medible de valor real y fuertemente inaccesible. Existe un cardinal medible de valor real menor o igual a 𝔠 si y solo si hay una extensión aditiva contable de la medida de Lebesgue a todos los conjuntos de números reales si y solo si hay una medida de probabilidad sin átomos en el conjunto potencia de algún conjunto no vacío.
Solovay (1971) demostró que la existencia de cardinales medibles en ZFC, cardinales medibles de valor real en ZFC y cardinales medibles en ZF son equiconsistentes .
Digamos que un número cardinal α es un número Ulam si [5] [nb 1]
cuando sea
entonces
De manera equivalente, un número cardinal α es un número Ulam si
cuando sea
entonces
El cardinal infinito más pequeño ℵ 0 es un número de Ulam. La clase de números de Ulam está cerrada bajo la operación de sucesor cardinal . [6] Si un cardinal infinito β tiene un predecesor inmediato α que es un número de Ulam, suponga que μ satisface las propiedades ( 1 )–( 4 ) con X = β. En el modelo de von Neumann de ordinales y cardinales, para cada x ∈ β , elija una función inyectiva
y definir los conjuntos
Dado que las f x son uno a uno, los conjuntos
son disjuntos por pares. Por la propiedad ( 2 ) de μ, el conjunto
es contable , y por lo tanto
Por lo tanto, existe un b 0 tal que
lo que implica, dado que α es un número de Ulam y utilizando la segunda definición (con ν = μ y las condiciones ( 1 )–( 4 ) cumplidas),
Si b 0 < x < β y f x ( b 0 ) = a x entonces x ∈ U ( b 0 , a x ). Por lo tanto
Por la propiedad ( 2 ), μ ({ b 0 }) = 0, y como | b 0 | ≤ α , por ( 4 ), ( 2 ) y ( 3 ), μ ( b 0 ) = 0. Se deduce que μ ( β ) = 0. La conclusión es que β es un número de Ulam.
Existe una prueba similar [7] de que el supremo de un conjunto S de números de Ulam con | S | un número de Ulam es nuevamente un número de Ulam. Junto con el resultado anterior, esto implica que un cardinal que no es un número de Ulam es débilmente inaccesible .