Teoría de la elevación

Noción en la teoría de la medida

En matemáticas, la teoría de la elevación fue introducida por primera vez por John von Neumann en un artículo pionero de 1931, en el que respondió a una pregunta planteada por Alfréd Haar . ^[1] La teoría fue desarrollada posteriormente por Dorothy Maharam (1958) ^[2] y por Alexandra Ionescu Tulcea y Cassius Ionescu Tulcea (1961). ^[3] La teoría de la elevación estuvo motivada en gran medida por sus sorprendentes aplicaciones. Su desarrollo hasta 1969 fue descrito en una monografía de los Ionescu Tulceas. ^[4] La teoría de la elevación continuó desarrollándose desde entonces, produciendo nuevos resultados y aplicaciones.

Definiciones

Un levantamiento en un espacio de medida es un operador lineal y multiplicativo que es un inverso derecho del mapa del cociente. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\\f\mapsto [f]\end{cases}}}$$

donde es el espacio L p seminormado de funciones medibles y es su cociente normado habitual. En otras palabras, un levantamiento escoge de cada clase de equivalencia de funciones medibles acotadas módulo funciones despreciables un representante, que de ahora en adelante se escribe o o simplemente , de tal manera que y para todos y todos ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle T([f])}$ ${\displaystyle T[f]}$ ${\displaystyle Tf}$ ${\displaystyle T[1]=1}$ ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle T(r[f]+s[g])(p)=rT[f](p)+sT[g](p),}$$ $${\displaystyle T([f]\times [g])(p)=T[f](p)\times T[g](p).}$$

Los levantamientos se utilizan para producir desintegraciones de medidas , por ejemplo, distribuciones de probabilidad condicional dadas variables aleatorias continuas, y fibraciones de medidas de Lebesgue en los conjuntos de niveles de una función.

Existencia de elevaciones

Teorema. Supóngase que es completo. ^[5] Entonces admite un levantamiento si y sólo si existe una colección de conjuntos integrables mutuamente disjuntos en cuya unión es En particular, si es la completitud de una medida σ -finita ^[6] o de una medida de Borel regular interna en un espacio localmente compacto , entonces admite un levantamiento. ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

La prueba consiste en extender un levantamiento a sub- σ -álgebras cada vez mayores, aplicando el teorema de convergencia martingala de Doob si uno encuentra una cadena contable en el proceso.

Levantamientos fuertes

Supongamos que es completo y está equipado con una topología de Hausdorff completamente regular tal que la unión de cualquier colección de conjuntos abiertos despreciables es nuevamente despreciable – este es el caso si es σ -finito o proviene de una medida de Radon . Entonces el soporte de puede definirse como el complemento del subconjunto abierto despreciable más grande, y la colección de funciones continuas acotadas pertenece a ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau \subseteq \Sigma }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu ),}$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu ).}$

Un levantamiento fuerte para es un levantamiento tal que para todos en Esto es lo mismo que requerir que ^[7] para todos los conjuntos abiertos en ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle T:L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )\to {\mathcal {L}}^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ ${\displaystyle T\varphi =\varphi }$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle TU\geq (U\cap \operatorname {Supp} (\mu ))}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \tau .}$

Teorema. Si es σ -finito y completo y tiene base numerable entonces admite un levantamiento fuerte. ${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$

Demostración. Sea un levantamiento para y una base contable para Para cualquier punto en el conjunto despreciable sea cualquier carácter ^[8] en el que se extienda el carácter de Entonces para en y en definen: es el levantamiento fuerte deseado. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle U_{1},U_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle N:=\bigcup \nolimits _{n}\left\{p\in \operatorname {Supp} (\mu ):(T_{0}U_{n})(p)<U_{n}(p)\right\}}$$ ${\displaystyle T_{p}}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \phi \mapsto \phi (p)}$ ${\displaystyle C_{b}(X,\tau ).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$ $${\displaystyle (T[f])(p):={\begin{cases}(T_{0}[f])(p)&p\notin N\\T_{p}[f]&p\in N.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle T}$

Aplicación: desintegración de una medida

Supóngase que y son espacios de medida σ -finitos ( positivos) y es una función medible. Una desintegración de junto con respecto a es una serie de medidas σ -aditivas positivas en tal que ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu )}$ ${\displaystyle \mu ,\mu }$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y\ni y\mapsto \lambda _{y}}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\mu )}$

1. ${\displaystyle \lambda _{y}}$es transportado por la fibra de más , es decir y para casi todos ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{y\}\in \Phi }$ ${\displaystyle \lambda _{y}\left((X\setminus \pi ^{-1}(\{y\})\right)=0}$ ${\displaystyle y\in Y}$
2. para cada función -integrable en el sentido de que, para -casi todo en es -integrable, la función es -integrable y la igualdad mostrada se cumple. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle \int _{X}f(p)\;\mu (dp)=\int _{Y}\left(\int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)\right)\nu (dy)\qquad (*)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$ $${\displaystyle y\mapsto \int _{\pi ^{-1}(\{y\})}f(p)\,\lambda _{y}(dp)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (*)}$

Las desintegraciones se dan en diversas circunstancias, las pruebas varían, pero casi todas emplean levantamientos fuertes. Aquí se presenta un resultado bastante general. Su prueba breve da una idea general.

Teorema. Supóngase que es un espacio polaco ^[9] y un espacio de Hausdorff separable, ambos equipados con sus σ - álgebras de Borel. Sea una medida de Borel σ -finita en y una función medible. Entonces existe una medida de Borel σ-finita en y una desintegración (*). Si es finito, puede tomarse como el empuje hacia delante ^[10] y entonces son probabilidades. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \Sigma ,\Phi -}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \pi _{*}\mu ,}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$

Demostración. Debido a la naturaleza pulida de hay una secuencia de subconjuntos compactos de que son mutuamente disjuntos, cuya unión tiene complemento despreciable, y en la que es continua. Esta observación reduce el problema al caso de que tanto y sean compactos y sea continua, y Complete bajo y fije un levantamiento fuerte para Dada una función medible acotada sea su esperanza condicional bajo es decir, la derivada de Radon-Nikodym de ^[11] con respecto a Entonces establezca, para cada en Demostrar que esto define una desintegración es una cuestión de contabilidad y un teorema de Fubini adecuado. Para ver cómo entra la fuerza del levantamiento, note que y tome el ínfimo sobre todos los positivos en con se hace evidente que el soporte de se encuentra en la fibra sobre ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \nu =\pi _{*}\mu .}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (Y,\Phi ,\nu ).}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \lfloor f\rfloor }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \pi _{*}(f\mu )}$ ${\displaystyle \pi _{*}\mu .}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \lambda _{y}(f):=T(\lfloor f\rfloor )(y).}$ $${\displaystyle \lambda _{y}(f\cdot \varphi \circ \pi )=\varphi (y)\lambda _{y}(f)\qquad \forall y\in Y,\varphi \in C_{b}(Y),f\in L^{\infty }(X,\Sigma ,\mu )}$$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C_{b}(Y)}$ ${\displaystyle \varphi (y)=1;}$ ${\displaystyle \lambda _{y}}$ ${\displaystyle y.}$

Referencias

1. von Neumann, Juan (1931). "Algebraische Repräsentanten der Funktionen" bis auf eine Menge vom Maße Null"". Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). 1931 (165): 109-115. doi :10.1515/crll.1931.165.109. SEÑOR  1581278.
2. Maharam, Dorothy (1958). "Sobre un teorema de von Neumann". Actas de la American Mathematical Society . 9 (6): 987–994. doi : 10.2307/2033342 . JSTOR  2033342. MR  0105479.
3. Ionescu Tulcea, Alejandra ; Ionescu Tulcea, Casio (1961). "En la propiedad de elevación. Yo." Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 3 (3): 537–546. doi : 10.1016/0022-247X(61)90075-0 . SEÑOR  0150256.
4. Ionescu Tulcea, Alejandra ; Ionescu Tulcea, Casio (1969). Temas de la teoría del levantamiento . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . vol. 48. Nueva York: Springer-Verlag . SEÑOR  0276438. OCLC  851370324.
5. Un subconjunto es localmente despreciable si interseca cada conjunto integrable en un subconjunto de un conjunto despreciable de es completo si cada conjunto localmente despreciable es despreciable y pertenece a ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma .}$ ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle \Sigma .}$
6. es decir, existe una colección contable de conjuntos integrables –conjuntos de medida finita en– que cubre el conjunto subyacente ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X.}$
7. se identifican con sus funciones indicadoras. ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (\mu )}$
8. Un carácter en un álgebra unitaria es una función lineal multiplicativa con valores en el campo de coeficientes que asigna la unidad a 1.
9. Un espacio separable es polaco si su topología proviene de una métrica completa. En la situación actual sería suficiente exigir que sea Suslin , es decir, sea la imagen continua de Hausdorff de un espacio polaco. ${\displaystyle X}$
10. El empuje hacia adelante de debajo también llamado imagen de debajo y denotado es la medida en definida por para en . ${\displaystyle \pi _{*}\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (\mu ),}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \nu (A):=\mu \left(\pi ^{-1}(A)\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Phi }$
11. es la medida que tiene densidad con respecto a ${\displaystyle f\mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$