Integral

Operación en cálculo matemático

Una integral definida de una función se puede representar como el área firmada de la región delimitada por su gráfica y el eje horizontal; en el gráfico anterior como ejemplo, la integral de es el área amarilla (−) restada del área azul (+) ${\displaystyle f(x)}$

En matemáticas , una integral es el análogo continuo de una suma , que se utiliza para calcular áreas , volúmenes y sus generalizaciones. La integración, el proceso de calcular una integral, es una de las dos operaciones fundamentales del cálculo , siendo la otra ^la diferenciación . La integración se utilizó inicialmente para resolver problemas de matemáticas y física , como encontrar el área bajo una curva o determinar el desplazamiento a partir de la velocidad. El uso de la integración se expandió a una amplia variedad de campos científicos a partir de entonces.

Una integral definida calcula el área con signo de la región en el plano que está limitada por la gráfica de una función dada entre dos puntos en la línea real . Convencionalmente, las áreas por encima del eje horizontal del plano son positivas mientras que las áreas por debajo son negativas. Las integrales también se refieren al concepto de antiderivada , una función cuya derivada es la función dada; en este caso, también se denominan integrales indefinidas . El teorema fundamental del cálculo relaciona la integración definida con la diferenciación y proporciona un método para calcular la integral definida de una función cuando se conoce su antiderivada; la diferenciación y la integración son operaciones inversas .

Aunque los métodos de cálculo de áreas y volúmenes datan de las matemáticas de la antigua Grecia , los principios de integración fueron formulados independientemente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz a finales del siglo XVII, quienes pensaron en el área bajo una curva como una suma infinita de rectángulos de ancho infinitesimal . Bernhard Riemann dio más tarde una definición rigurosa de integrales, que se basa en un procedimiento limitante que aproxima el área de una región curvilínea al dividir la región en losas verticales infinitesimalmente delgadas. A principios del siglo XX, Henri Lebesgue generalizó la formulación de Riemann al introducir lo que ahora se conoce como la integral de Lebesgue ; es más general que la de Riemann en el sentido de que una clase más amplia de funciones son integrables mediante Lebesgue.

Las integrales pueden generalizarse según el tipo de función y el dominio en el que se realiza la integración. Por ejemplo, una integral de línea se define para funciones de dos o más variables y el intervalo de integración se reemplaza por una curva que conecta dos puntos en el espacio. En una integral de superficie , la curva se reemplaza por un fragmento de una superficie en el espacio tridimensional .

Historia

Integración de precálculo

La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de agotamiento del antiguo astrónomo griego Eudoxo y el filósofo Demócrito ( ca. 370 a. C.), que buscaba encontrar áreas y volúmenes dividiéndolos en un número infinito de divisiones para las que se conocía el área o el volumen. ^[1] Este método fue desarrollado y empleado por Arquímedes en el siglo III a. C. y se utilizó para calcular el área de un círculo , el área superficial y el volumen de una esfera , el área de una elipse , el área bajo una parábola , el volumen de un segmento de un paraboloide de revolución, el volumen de un segmento de un hiperboloide de revolución y el área de una espiral . ^[2]

Un método similar fue desarrollado independientemente en China alrededor del siglo III d. C. por Liu Hui , quien lo utilizó para hallar el área del círculo. Este método fue utilizado más tarde en el siglo V por los matemáticos chinos Zu Chongzhi y Zu Geng, padre e hijo, para hallar el volumen de una esfera. ^[3]

En Oriente Medio, Hasan Ibn al-Haytham, latinizado como Alhazen ( c.  965  – c.  1040  d. C.) derivó una fórmula para la suma de cuartas potencias . ^[4] Alhazen determinó las ecuaciones para calcular el área encerrada por la curva representada por (que se traduce a la integral en notación contemporánea), para cualquier valor entero no negativo dado de . ^[5] Utilizó los resultados para llevar a cabo lo que ahora se llamaría una integración de esta función, donde las fórmulas para las sumas de cuadrados integrales y cuartas potencias le permitieron calcular el volumen de un paraboloide . ^[6] ${\displaystyle y=x^{k}}$ ${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$ ${\displaystyle k}$

Los siguientes avances significativos en el cálculo integral no comenzaron a aparecer hasta el siglo XVII. En esta época, el trabajo de Cavalieri con su método de indivisibles y el trabajo de Fermat comenzaron a sentar las bases del cálculo moderno, ^[7] con Cavalieri calculando las integrales de x ⁿ hasta el grado n = 9 en la fórmula de cuadratura de Cavalieri . ^[8] El caso n = −1 requirió la invención de una función , el logaritmo hiperbólico , logrado por cuadratura de la hipérbola en 1647.

A principios del siglo XVII, Barrow y Torricelli dieron otros pasos y aportaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la diferenciación . Barrow proporcionó la primera prueba del teorema fundamental del cálculo . ^[9] Wallis generalizó el método de Cavalieri, calculando integrales de x elevadas a una potencia general, incluidas las potencias negativas y las potencias fraccionarias. ^[10]

Leibniz y Newton

El mayor avance en la integración se produjo en el siglo XVII con el descubrimiento independiente del teorema fundamental del cálculo por parte de Leibniz y Newton . ^[11] El teorema demuestra una conexión entre la integración y la diferenciación. Esta conexión, combinada con la relativa facilidad de la diferenciación, puede aprovecharse para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase mucho más amplia de problemas. Igual de importante es el amplio marco matemático que desarrollaron tanto Leibniz como Newton. Dado el nombre de cálculo infinitesimal, permitió un análisis preciso de funciones con dominios continuos. Este marco finalmente se convirtió en el cálculo moderno , cuya notación para integrales se extrae directamente del trabajo de Leibniz.

Formalización

Aunque Newton y Leibniz proporcionaron un enfoque sistemático para la integración, su trabajo carecía de un grado de rigor . El obispo Berkeley atacó memorablemente los incrementos evanescentes utilizados por Newton, llamándolos " fantasmas de cantidades desaparecidas ". ^[12] El cálculo adquirió una base más firme con el desarrollo de los límites . La integración fue formalizada rigurosamente por primera vez, utilizando límites, por Riemann . ^[13] Aunque todas las funciones continuas acotadas por partes son integrables por Riemann en un intervalo acotado, posteriormente se consideraron funciones más generales, particularmente en el contexto del análisis de Fourier , a las que no se aplica la definición de Riemann, y Lebesgue formuló una definición diferente de integral, fundada en la teoría de la medida (un subcampo del análisis real ). Se propusieron otras definiciones de integral, que extendían los enfoques de Riemann y Lebesgue. Estos enfoques basados ​​en el sistema de números reales son los más comunes hoy en día, pero existen enfoques alternativos, como una definición de integral como la parte estándar de una suma infinita de Riemann, basada en el sistema de números hiperreales .

Notación histórica

La notación para la integral indefinida fue introducida por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. ^[14] Adaptó el símbolo de la integral , ∫ , de la letra ſ ( s larga ), que representa la suma (escrita como ſumma ; en latín significa "suma" o "total"). La notación moderna para la integral definida, con límites por encima y por debajo del signo de la integral, fue utilizada por primera vez por Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa alrededor de 1819-1820, reimpresa en su libro de 1822. ^[15]

Isaac Newton utilizó una pequeña barra vertical sobre una variable para indicar la integración, o colocó la variable dentro de un recuadro. La barra vertical se confundía fácilmente con.incógnitao x ′ , que se utilizan para indicar diferenciación, y la notación de caja era difícil de reproducir para los impresores, por lo que estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. ^[16]

Primer uso del término

El término fue impreso por primera vez en latín por Jacob Bernoulli en 1690: "Ergo et horum Integralia aequantur". ^[17]

Terminología y notación

En general, la integral de una función de valor real f ( x ) con respecto a una variable real x en un intervalo [ a , b ] se escribe como

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

El signo integral ∫ representa la integración. El símbolo dx , llamado diferencial de la variable x , indica que la variable de integración es x . La función f ( x ) se llama integrando, los puntos a y b se llaman límites (o aristas) de integración y se dice que la integral está sobre el intervalo [ a , b ] , llamado intervalo de integración. ^[18] Se dice que una función es integrableSi su integral sobre su dominio es finita. Si se especifican límites, la integral se denomina integral definida.

Cuando se omiten los límites, como en

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

La integral se denomina integral indefinida y representa una clase de funciones (la antiderivada ) cuya derivada es el integrando. ^[19] El teorema fundamental del cálculo relaciona la evaluación de integrales definidas con integrales indefinidas. Existen varias extensiones de la notación para integrales que abarcan la integración en dominios ilimitados y/o en múltiples dimensiones (consulte las secciones posteriores de este artículo).

En entornos avanzados, no es raro omitir dx cuando solo se utiliza la integral de Riemann simple o el tipo exacto de integral es irrelevante. Por ejemplo, se podría escribir para expresar la linealidad de la integral, una propiedad compartida por la integral de Riemann y todas sus generalizaciones. ^[20] ${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

Interpretaciones

Aproximaciones a la integral de √ x de 0 a 1, con 5 particiones de extremo derecho amarillas y 10 particiones de extremo izquierdo verdes

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Por ejemplo, a partir de la longitud, el ancho y la profundidad de una piscina rectangular con un fondo plano, se puede determinar el volumen de agua que puede contener, el área de su superficie y la longitud de su borde. Pero si es ovalada con un fondo redondeado, se requieren integrales para encontrar valores exactos y rigurosos para estas cantidades. En cada caso, se puede dividir la cantidad buscada en infinitas partes infinitesimales y luego sumar las partes para lograr una aproximación precisa.

Como otro ejemplo, para encontrar el área de la región limitada por la gráfica de la función f ( x ) = entre x = 0 y x = 1 , se puede dividir el intervalo en cinco partes ( 0, 1/5, 2/5, ..., 1 ), luego construir rectángulos usando la altura del extremo derecho de cada parte (por lo tanto √ 0 , √ 1/5 , √ 2/5 , ..., √ 1 ) y sumar sus áreas para obtener la aproximación ${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

que es mayor que el valor exacto. Alternativamente, al reemplazar estos subintervalos por unos con la altura del extremo izquierdo de cada pieza, la aproximación que se obtiene es demasiado baja: con doce de esos subintervalos, el área aproximada es solo 0,6203. Sin embargo, cuando el número de piezas aumenta hasta el infinito, alcanzará un límite que es el valor exacto del área buscada (en este caso, 2/3 ). Se escribe

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

lo que significa que 2/3 es el resultado de una suma ponderada de valores de función, √ x , multiplicada por los anchos de paso infinitesimales, denotados por dx , en el intervalo [0, 1] .

Sumas de Darboux

Definiciones formales

Existen muchas formas de definir formalmente una integral, y no todas son equivalentes. Las diferencias existen principalmente para abordar casos especiales distintos que pueden no ser integrables con otras definiciones, pero también, en ocasiones, por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue.

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define en términos de sumas de funciones de Riemann con respecto a particiones etiquetadas de un intervalo. ^[21] Una partición etiquetada de un intervalo cerrado [ a , b ] en la línea real es una secuencia finita

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Esto divide el intervalo [ a , b ] en n subintervalos [ x _{i −1} , x _i ] indexados por i , cada uno de los cuales está "etiquetado" con un punto específico t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ] . Una suma de Riemann de una función f con respecto a dicha partición etiquetada se define como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

De esta manera, cada término de la suma es el área de un rectángulo con una altura igual al valor de la función en el punto elegido del subintervalo dado, y un ancho igual al ancho del subintervalo, Δ _i = x _i − x _{i −1} . La malla de dicha partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande formado por la partición, max _{i =1... n} Δ _i . La integral de Riemann de una función f en el intervalo [ a , b ] es igual a S si: ^[22]

Para todo existe tal que, para cualquier partición etiquetada con malla menor que , ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

Cuando las etiquetas elegidas son el valor máximo (respectivamente, mínimo) de la función en cada intervalo, la suma de Riemann se convierte en una suma de Darboux superior (respectivamente, inferior) , lo que sugiere la estrecha conexión entre la integral de Riemann y la integral de Darboux .

Integral de Lebesgue

Integración de Lebesgue

A menudo resulta interesante, tanto en teoría como en aplicaciones, poder pasar al límite bajo la integral. Por ejemplo, con frecuencia se puede construir una secuencia de funciones que se aproximen, en un sentido adecuado, a la solución de un problema. En ese caso, la integral de la función solución debería ser el límite de las integrales de las aproximaciones. Sin embargo, muchas funciones que se pueden obtener como límites no son integrables en Riemann, por lo que dichos teoremas de límite no se cumplen con la integral de Riemann. Por lo tanto, es de gran importancia tener una definición de la integral que permita integrar una clase más amplia de funciones. ^[23]

Una de estas integrales es la integral de Lebesgue, que aprovecha el siguiente hecho para ampliar la clase de funciones integrables: si los valores de una función se reordenan en el dominio, la integral de una función debería permanecer igual. Así, Henri Lebesgue introdujo la integral que lleva su nombre, explicándola de esta manera en una carta a Paul Montel : ^[24]

Tengo que pagar una cierta cantidad de dinero que he acumulado en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta que alcanzo la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas según valores idénticos y luego pago los varios montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

Como dice Folland, "para calcular la integral de Riemann de f , se divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "se divide en efecto el rango de f ". ^[25] La definición de la integral de Lebesgue comienza con una medida , μ. En el caso más simple, la medida de Lebesgue μ ( A ) de un intervalo A = [ a , b ] es su ancho, b − a , de modo que la integral de Lebesgue concuerda con la integral de Riemann (adecuada) cuando ambas existen. ^[26] En casos más complicados, los conjuntos que se miden pueden estar muy fragmentados, sin continuidad y sin semejanza con los intervalos.

Usando la filosofía de "particionar el rango de f ", la integral de una función no negativa f  : R → R debería ser la suma sobre t de las áreas entre una delgada franja horizontal entre y = t e y = t + dt . Esta área es simplemente μ { x  : f ( x ) > t }  dt . Sea f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t } . La integral de Lebesgue de f se define entonces por

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

donde la integral de la derecha es una integral de Riemann impropia ordinaria ( f ^∗ es una función positiva estrictamente decreciente y, por lo tanto, tiene una integral de Riemann impropia bien definida ). ^[27] Para una clase adecuada de funciones (las funciones medibles ) esto define la integral de Lebesgue.

Una función general medible f es integrable según Lebesgue si la suma de los valores absolutos de las áreas de las regiones entre la gráfica de f y el eje x es finita: ^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

En ese caso, la integral es, como en el caso riemanniano, la diferencia entre el área por encima del eje x y el área por debajo del eje x : ^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

dónde

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

Otras integrales

Aunque las integrales de Riemann y Lebesgue son las definiciones más utilizadas de la integral, existen otras, entre ellas:

• La integral de Darboux , que se define mediante sumas de Darboux (sumas de Riemann restringidas), es equivalente a la integral de Riemann . Una función es integrable mediante Darboux si y solo si es integrable mediante Riemann. Las integrales de Darboux tienen la ventaja de ser más fáciles de definir que las integrales de Riemann.
• La integral de Riemann-Stieltjes , una extensión de la integral de Riemann que integra con respecto a una función en lugar de una variable.
• La integral de Lebesgue-Stieltjes , desarrollada posteriormente por Johann Radon , que generaliza las integrales de Riemann-Stieltjes y de Lebesgue.
• La integral de Daniell , que subsume la integral de Lebesgue y la integral de Lebesgue-Stieltjes sin depender de medidas .
• La integral de Haar , utilizada para la integración en grupos topológicos localmente compactos, introducida por Alfréd Haar en 1933.
• La integral de Henstock-Kurzweil , definida de diversas formas por Arnaud Denjoy , Oskar Perron y (más elegantemente, como la integral de calibre) Jaroslav Kurzweil , y desarrollada por Ralph Henstock .
• La integral de Itô y la integral de Stratonovich , que definen la integración con respecto a semimartingalas como el movimiento browniano .
• La integral de Young , que es una especie de integral de Riemann-Stieltjes con respecto a ciertas funciones de variación ilimitada .
• La integral de trayectoria aproximada , que se define para funciones equipadas con alguna estructura de "trayectoria aproximada" adicional y generaliza la integración estocástica tanto contra semimartingalas como contra procesos como el movimiento browniano fraccional .
• La integral de Choquet , una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953.
• La integral de Bochner , una extensión de la integral de Lebesgue a una clase más general de funciones, es decir, aquellas con un dominio que es un espacio de Banach .

Propiedades

Linealidad

La colección de funciones integrables de Riemann en un intervalo cerrado [ a , b ] forma un espacio vectorial bajo las operaciones de adición y multiplicación puntual por un escalar, y la operación de integración

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

es una función lineal en este espacio vectorial. Por lo tanto, la colección de funciones integrables está cerrada tomando combinaciones lineales , y la integral de una combinación lineal es la combinación lineal de las integrales: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

De manera similar, el conjunto de funciones integrables de Lebesgue de valor real en un espacio de medida dado E con medida μ es cerrado al tomar combinaciones lineales y, por lo tanto, forma un espacio vectorial, y la integral de Lebesgue

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

es una funcional lineal en este espacio vectorial, de modo que: ^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

De manera más general, considere el espacio vectorial de todas las funciones mensurables en un espacio de medida ( E , μ ) , que toman valores en un espacio vectorial topológico completo localmente compacto V sobre un campo topológico localmente compacto K , f  : E → V . Luego se puede definir un mapa de integración abstracto asignando a cada función f un elemento de V o el símbolo ∞ ,

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

que es compatible con combinaciones lineales. ^[31] En esta situación, la linealidad se cumple para el subespacio de funciones cuya integral es un elemento de V (es decir, "finito"). Los casos especiales más importantes surgen cuando K es R , C o una extensión finita del campo Q _p de números p-ádicos , y V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre K , y cuando K = C y V es un espacio de Hilbert complejo .

La linealidad, junto con algunas propiedades de continuidad natural y la normalización para una cierta clase de funciones "simples", se pueden utilizar para dar una definición alternativa de la integral. Este es el enfoque de Daniell para el caso de funciones de valores reales en un conjunto X , generalizado por Nicolas Bourbaki a funciones con valores en un espacio vectorial topológico localmente compacto. Véase Hildebrandt 1953 para una caracterización axiomática de la integral.

Desigualdades

Una serie de desigualdades generales son válidas para funciones integrables de Riemann definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] y pueden generalizarse a otras nociones de integral (Lebesgue y Daniell).

• Límites superior e inferior. Una función integrable f en [ a , b ] , está necesariamente acotada en ese intervalo. Por lo tanto, existen números reales m y M tales que m ≤ f  ( x ) ≤ M para todo x en [ a , b ] . Como las sumas inferior y superior de f sobre [ a , b ] están acotadas, respectivamente, por m ( b − a ) y M ( b − a ) , se sigue que $${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• Desigualdades entre funciones. ^[32] Si f ( x ) ≤ g ( x ) para cada x en [ a , b ] entonces cada una de las sumas superior e inferior de f está acotada por encima por las sumas superior e inferior, respectivamente, de g . Por lo tanto Esta es una generalización de las desigualdades anteriores, ya que M ( b − a ) es la integral de la función constante con valor M sobre [ a , b ] . Además, si la desigualdad entre funciones es estricta, entonces la desigualdad entre integrales también es estricta. Es decir, si f ( x ) < g ( x ) para cada x en [ a , b ] , entonces $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• Subintervalos. Si [ c , d ] es un subintervalo de [ a , b ] y f  ( x ) es no negativo para todo x , entonces $${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• Productos y valores absolutos de funciones. Si f y g son dos funciones, entonces podemos considerar sus productos puntuales y potencias, y valores absolutos : Si f es integrable en Riemann en [ a , b ] entonces lo mismo es cierto para | f | , y Además, si f y g son ambas integrables en Riemann entonces fg también es integrable en Riemann, y Esta desigualdad, conocida como la desigualdad de Cauchy-Schwarz , juega un papel destacado en la teoría del espacio de Hilbert , donde el lado izquierdo se interpreta como el producto interno de dos funciones integrables al cuadrado f y g en el intervalo [ a , b ] . $${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$ $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$ $${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
• Desigualdad de Hölder . ^[33] Supóngase que p y q son dos números reales, 1 ≤ p , q ≤ ∞ con ⁠1/pag⁠ + ⁠1/q⁠ = 1 , y f y g son dos funciones integrables de Riemann. Entonces las funciones | f | ^p y | g | ^q también son integrables y se cumple la siguiente desigualdad de Hölder :Para p = q = 2 , la desigualdad de Hölder se convierte en la desigualdad de Cauchy-Schwarz. $${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
• Desigualdad de Minkowski . ^[33] Supóngase que p ≥ 1 es un número real y f y g son funciones integrables en Riemann. Entonces | f | ^p , | g | ^p y | f + g | ^p también son integrables en Riemann y se cumple la siguiente desigualdad de Minkowski : Un análogo de esta desigualdad para la integral de Lebesgue se utiliza en la construcción de espacios L p . $${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$

Convenciones

En esta sección, f es una función integrable de Riemann de valor real . La integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

sobre un intervalo [ a , b ] se define si a < b . Esto significa que las sumas superior e inferior de la función f se evalúan en una partición a = x ₀ ≤ x ₁ ≤ . . . ≤ x _n = b cuyos valores x _i son crecientes. Geométricamente, esto significa que la integración tiene lugar "de izquierda a derecha", evaluándose f dentro de intervalos [ x _i  , x _{i  +1} ] donde un intervalo con un índice más alto se encuentra a la derecha de uno con un índice más bajo. Los valores a y b , los puntos finales del intervalo , se denominan límites de integración de f . Las integrales también se pueden definir si a > b : ^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

Con a = b , esto implica:

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

La primera convención es necesaria para tomar integrales sobre subintervalos de [ a , b ] ; la segunda dice que una integral tomada sobre un intervalo degenerado, o un punto , debe ser cero . Una razón para la primera convención es que la integrabilidad de f en un intervalo [ a , b ] implica que f es integrable en cualquier subintervalo [ c , d ] , pero en particular las integrales tienen la propiedad de que si c es cualquier elemento de [ a , b ] , entonces: ^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

Con la primera convención, la relación resultante

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

queda entonces bien definido para cualquier permutación cíclica de a , b y c .

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo es la afirmación de que la diferenciación y la integración son operaciones inversas: si una función continua se integra primero y luego se diferencia, se recupera la función original. ^[34] Una consecuencia importante, a veces llamada el segundo teorema fundamental del cálculo , permite calcular integrales utilizando una antiderivada de la función a integrar. ^[35]

Primer teorema

Sea f una función continua de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] . Sea F la función definida, para todo x en [ a , b ] , por ^[36]

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

Entonces, F es continua en [ a , b ] , diferenciable en el intervalo abierto ( a , b ) , y

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

para todo x en ( a , b ) .

Segundo teorema

Sea f una función de valor real definida en un intervalo cerrado [ a , b ] que admite una antiderivada F en [ a , b ] . Es decir, f y F son funciones tales que para todo x en [ a , b ] ,

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

Si f es integrable en [ a , b ] entonces

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Extensiones

Integrales impropias

La integral impropia tiene intervalos ilimitados tanto para el dominio como para el rango. ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

Una integral de Riemann "adecuada" supone que el integrando está definido y es finito en un intervalo cerrado y acotado, delimitado por los límites de integración. Una integral impropia se produce cuando una o más de estas condiciones no se satisfacen. En algunos casos, dichas integrales pueden definirse considerando el límite de una secuencia de integrales de Riemann adecuadas en intervalos progresivamente mayores.

Si el intervalo no está acotado, por ejemplo en su extremo superior, entonces la integral impropia es el límite ya que ese punto final tiende al infinito: ^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Si el integrando sólo está definido o es finito en un intervalo semiabierto, por ejemplo ( a , b ] , entonces nuevamente un límite puede proporcionar un resultado finito: ^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

Es decir, la integral impropia es el límite de las integrales propias cuando un extremo del intervalo de integración se aproxima a un número real especificado , o ∞ , o −∞ . En casos más complicados, se requieren límites en ambos extremos o en puntos interiores.

Integración múltiple

La integral doble calcula el volumen bajo una superficie ${\displaystyle z=f(x,y)}$

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje x , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función y el plano que contiene su dominio. ^[39] Por ejemplo, una función en dos dimensiones depende de dos variables reales, x e y , y la integral de una función f sobre el rectángulo R dado como el producto cartesiano de dos intervalos puede escribirse ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

donde la diferencial dA indica que la integración se toma con respecto al área. Esta integral doble se puede definir utilizando sumas de Riemann y representa el volumen (con signo) bajo el gráfico de z = f ( x , y ) sobre el dominio R . ^[40] En condiciones adecuadas (por ejemplo, si f es continua), el teorema de Fubini establece que esta integral se puede expresar como una integral iterada equivalente ^[41]

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

Esto reduce el problema de calcular una integral doble al de calcular integrales unidimensionales. Por este motivo, otra notación para la integral sobre R utiliza un signo de integral doble: ^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

Es posible la integración sobre dominios más generales. La integral de una función f , con respecto al volumen, sobre una región n- dimensional D se denota mediante símbolos como: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

Integrales de línea e integrales de superficie

Una integral de línea suma elementos a lo largo de una curva.

El concepto de integral se puede extender a dominios de integración más generales, como líneas curvas y superficies dentro de espacios de dimensiones superiores. Dichas integrales se conocen como integrales de línea e integrales de superficie respectivamente. Tienen aplicaciones importantes en física, como cuando se trabaja con campos vectoriales .

Una integral de línea (a veces llamada integral de trayectoria ) es una integral en la que la función que se va a integrar se evalúa a lo largo de una curva . ^[42] Se utilizan varias integrales de línea diferentes. En el caso de una curva cerrada, también se denomina integral de contorno .

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de línea es la suma de los valores del campo en todos los puntos de la curva, ponderada por alguna función escalar en la curva (comúnmente la longitud del arco o, para un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial con un vector diferencial en la curva). ^[43] Esta ponderación distingue la integral de línea de las integrales más simples definidas en intervalos . Muchas fórmulas simples en física tienen análogos continuos naturales en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza , F , multiplicada por el desplazamiento, s , puede expresarse (en términos de cantidades vectoriales) como: ^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

Para un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en un campo vectorial F , como un campo eléctrico o un campo gravitacional , el trabajo total realizado por el campo sobre el objeto se obtiene sumando el trabajo diferencial realizado al moverse de s a s + d s . Esto da la integral de línea ^[45]

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

La definición de integral de superficie se basa en dividir la superficie en pequeños elementos de superficie.

Una integral de superficie generaliza las integrales dobles para integrarlas sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvo en el espacio ); puede considerarse como el análogo integral doble de la integral de línea . La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial . El valor de la integral de superficie es la suma del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede lograr dividiendo la superficie en elementos de superficie, que proporcionan la partición para las sumas de Riemann. ^[46]

Para un ejemplo de aplicaciones de las integrales de superficie, considere un campo vectorial v sobre una superficie S ; es decir, para cada punto x en S , v ( x ) es un vector. Imagine que un fluido fluye a través de S , de modo que v ( x ) determina la velocidad del fluido en x . El flujo se define como la cantidad de fluido que fluye a través de S en una cantidad de tiempo unitaria. Para encontrar el flujo, uno necesita tomar el producto escalar de v con la superficie unitaria normal a S en cada punto, lo que dará un campo escalar, que está integrado sobre la superficie: ^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

El flujo de fluido en este ejemplo puede ser de un fluido físico como el agua o el aire, o de un flujo eléctrico o magnético. Por lo tanto, las integrales de superficie tienen aplicaciones en física, particularmente en la teoría clásica del electromagnetismo .

Integrales de contorno

En el análisis complejo , el integrando es una función compleja de una variable compleja z en lugar de una función real de una variable real x . Cuando una función compleja se integra a lo largo de una curva en el plano complejo, la integral se denota de la siguiente manera ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

Esto se conoce como integral de contorno .

Integrales de formas diferenciales

Una forma diferencial es un concepto matemático en los campos del cálculo multivariable , la topología diferencial y los tensores . Las formas diferenciales se organizan por grado. Por ejemplo, una forma unitaria es una suma ponderada de las diferenciales de las coordenadas, como:

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

donde E , F , G son funciones en tres dimensiones. Una forma diferencial unidimensional se puede integrar sobre una trayectoria orientada, y la integral resultante es simplemente otra forma de escribir una integral lineal. Aquí las diferenciales básicas dx , dy , dz miden longitudes orientadas infinitesimales paralelas a los tres ejes de coordenadas.

Una forma diferencial de dos es una suma de la forma

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

Aquí, las dos formas básicas miden áreas orientadas paralelas a los dos planos de coordenadas. El símbolo denota el producto de cuña , que es similar al producto vectorial en el sentido de que el producto de cuña de dos formas que representan longitudes orientadas representa un área orientada. Una dos formas se puede integrar sobre una superficie orientada y la integral resultante es equivalente a la integral de superficie que da el flujo de . ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

A diferencia del producto vectorial y del cálculo vectorial tridimensional, el producto en cuña y el cálculo de formas diferenciales tienen sentido en dimensiones arbitrarias y en variedades más generales (curvas, superficies y sus análogos de dimensiones superiores). La derivada exterior desempeña el papel del gradiente y el rizo del cálculo vectorial, y el teorema de Stokes generaliza simultáneamente los tres teoremas del cálculo vectorial: el teorema de divergencia , el teorema de Green y el teorema de Kelvin-Stokes .

Sumas

El equivalente discreto de la integración es la sumatoria . Las sumatorias y las integrales pueden tener las mismas bases utilizando la teoría de las integrales de Lebesgue o el cálculo de escalas temporales .

Integrales funcionales

Una integración que se realiza no sobre una variable (o, en física, sobre una dimensión espacial o temporal), sino sobre un espacio de funciones , se denomina integral funcional .

Aplicaciones

Las integrales se utilizan ampliamente en muchas áreas. Por ejemplo, en la teoría de la probabilidad , las integrales se utilizan para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria se encuentre dentro de un cierto rango. ^[48] Además, la integral bajo una función de densidad de probabilidad completa debe ser igual a 1, lo que proporciona una prueba de si una función sin valores negativos podría ser una función de densidad o no. ^[49]

Las integrales se pueden utilizar para calcular el área de una región bidimensional que tiene un límite curvo, así como para calcular el volumen de un objeto tridimensional que tiene un límite curvo. El área de una región bidimensional se puede calcular utilizando la integral definida antes mencionada. ^[50] El volumen de un objeto tridimensional como un disco o una arandela se puede calcular mediante la integración de discos utilizando la ecuación para el volumen de un cilindro, , donde es el radio. En el caso de un disco simple creado al rotar una curva sobre el eje x , el radio está dado por f ( x ) , y su altura es la diferencial dx . Utilizando una integral con límites a y b , el volumen del disco es igual a: ^[51] Las integrales también se utilizan en física, en áreas como la cinemática para encontrar cantidades como desplazamiento , tiempo y velocidad . Por ejemplo, en el movimiento rectilíneo , el desplazamiento de un objeto sobre el intervalo de tiempo está dado por ${\displaystyle \pi r^{2}h}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

donde es la velocidad expresada en función del tiempo. ^[52] El trabajo realizado por una fuerza (dada en función de la posición) desde una posición inicial a una posición final es: ^[53] ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

Las integrales también se utilizan en termodinámica , donde la integración termodinámica se utiliza para calcular la diferencia de energía libre entre dos estados dados.

Cálculo

Analítico

La técnica más básica para calcular integrales definidas de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo . Sea f ( x ) la función de x que se va a integrar en un intervalo dado [ a , b ] . Luego, encuentre una antiderivada de f ; es decir, una función F tal que F ′ = f en el intervalo. Siempre que el integrando y la integral no tengan singularidades en el camino de integración, por el teorema fundamental del cálculo,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

A veces es necesario utilizar una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de estas técnicas reescriben una integral como una diferente que, con suerte, sea más manejable. Las técnicas incluyen la integración por sustitución , la integración por partes , la integración por sustitución trigonométrica y la integración por fracciones parciales .

Existen métodos alternativos para calcular integrales más complejas. Muchas integrales no elementales se pueden desarrollar en una serie de Taylor e integrar término por término. Ocasionalmente, la serie infinita resultante se puede sumar analíticamente. También se puede utilizar el método de convolución utilizando funciones G de Meijer , suponiendo que el integrando se puede escribir como un producto de funciones G de Meijer. También hay muchas formas menos comunes de calcular integrales definidas; por ejemplo, la identidad de Parseval se puede utilizar para transformar una integral sobre una región rectangular en una suma infinita. Ocasionalmente, una integral se puede evaluar mediante un truco; para un ejemplo de esto, consulte Integral gaussiana .

Los cálculos de volúmenes de sólidos de revolución generalmente se pueden realizar mediante integración de discos o integración de capas .

En la lista de integrales se recogen resultados específicos obtenidos mediante diversas técnicas .

Simbólico

Muchos problemas de matemáticas, física e ingeniería implican integración, en cuyo caso se desea una fórmula explícita para la integral. A lo largo de los años se han compilado y publicado extensas tablas de integrales con este fin. Con la difusión de las computadoras, muchos profesionales, educadores y estudiantes han recurrido a sistemas de álgebra computacional diseñados específicamente para realizar tareas difíciles o tediosas, incluida la integración. La integración simbólica ha sido una de las motivaciones para el desarrollo de los primeros sistemas de este tipo, como Macsyma y Maple .

Una de las principales dificultades matemáticas de la integración simbólica es que, en muchos casos, una función relativamente simple no tiene integrales que puedan expresarse en forma cerrada que involucren únicamente funciones elementales , como las funciones racionales y exponenciales , los logaritmos , las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas , y las operaciones de multiplicación y composición. El algoritmo de Risch proporciona un criterio general para determinar si la antiderivada de una función elemental es elemental y para calcular la integral si es elemental. Sin embargo, las funciones con expresiones cerradas de antiderivadas son la excepción y, en consecuencia, los sistemas de álgebra computarizada no tienen ninguna esperanza de poder encontrar una antiderivada para una función elemental construida aleatoriamente. En el lado positivo, si los "bloques de construcción" para las antiderivadas se fijan de antemano, aún puede ser posible decidir si la antiderivada de una función dada puede expresarse utilizando estos bloques y operaciones de multiplicación y composición y encontrar la respuesta simbólica cuando exista. El algoritmo de Risch, implementado en Mathematica , Maple y otros sistemas de álgebra computacional , hace exactamente eso para funciones y antiderivadas construidas a partir de funciones racionales, radicales , logaritmos y funciones exponenciales.

Algunos integrandos especiales se dan con la suficiente frecuencia como para justificar un estudio especial. En particular, puede ser útil tener, en el conjunto de antiderivadas, las funciones especiales (como las funciones de Legendre , la función hipergeométrica , la función gamma , la función gamma incompleta , etc.). Extender el algoritmo de Risch para incluir dichas funciones es posible, pero desafiante, y ha sido un tema de investigación activo.

Más recientemente ha surgido un nuevo enfoque, utilizando funciones D -finitas , que son las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes polinómicos. La mayoría de las funciones elementales y especiales son D -finitas, y la integral de una función D -finita es también una función D -finita. Esto proporciona un algoritmo para expresar la antiderivada de una función D -finita como la solución de una ecuación diferencial. Esta teoría también permite calcular la integral definida de una función D como la suma de una serie dada por los primeros coeficientes y proporciona un algoritmo para calcular cualquier coeficiente.

Los sistemas de integración basados ​​en reglas facilitan la integración. Rubi, un integrador basado en reglas de sistemas de álgebra computacional, combina patrones con un extenso sistema de reglas de integración simbólica para integrar una amplia variedad de integrandos. Este sistema utiliza más de 6600 reglas de integración para calcular integrales. ^[54] El método de corchetes es una generalización del teorema maestro de Ramanujan que se puede aplicar a una amplia gama de integrales univariadas y multivariadas. Se aplica un conjunto de reglas a los coeficientes y términos exponenciales de la expansión en serie de potencias del integrando para determinar la integral. El método está estrechamente relacionado con la transformada de Mellin . ^[55]

Numérico

Métodos de cuadratura numérica: método del rectángulo, regla trapezoidal, método de Romberg, cuadratura gaussiana

Las integrales definidas pueden aproximarse utilizando varios métodos de integración numérica . El método del rectángulo se basa en dividir la región bajo la función en una serie de rectángulos correspondientes a los valores de la función y multiplicarlos por el ancho del paso para encontrar la suma. Un mejor enfoque, la regla trapezoidal , reemplaza los rectángulos utilizados en una suma de Riemann con trapezoides. La regla trapezoidal pondera el primer y el último valor por la mitad, luego multiplica por el ancho del paso para obtener una mejor aproximación. ^[56] La idea detrás de la regla trapezoidal, que aproximaciones más precisas a la función producen mejores aproximaciones a la integral, puede llevarse más lejos: la regla de Simpson aproxima el integrando por una función cuadrática por partes. ^[57]

Las sumas de Riemann, la regla del trapezoide y la regla de Simpson son ejemplos de una familia de reglas de cuadratura llamadas fórmulas de Newton-Cotes . La regla de cuadratura de Newton-Cotes de grado n aproxima el polinomio en cada subintervalo mediante un polinomio de grado n . Este polinomio se elige para interpolar los valores de la función en el intervalo. ^[58] Las aproximaciones de Newton-Cotes de grado superior pueden ser más precisas, pero requieren más evaluaciones de funciones y pueden sufrir de inexactitud numérica debido al fenómeno de Runge . Una solución a este problema es la cuadratura de Clenshaw-Curtis , en la que el integrando se aproxima desarrollándolo en términos de polinomios de Chebyshev .

El método de Romberg reduce a la mitad los anchos de paso de forma incremental, dando aproximaciones trapezoidales denotadas por T ( h ₀ ) , T ( h ₁ ) , y así sucesivamente, donde h _{k +1} es la mitad de h _k . Para cada nuevo tamaño de paso, solo es necesario calcular la mitad de los nuevos valores de la función; los demás se trasladan del tamaño anterior. Luego interpola un polinomio a través de las aproximaciones y extrapola a T (0) . La cuadratura gaussiana evalúa la función en las raíces de un conjunto de polinomios ortogonales . ^[59] Un método gaussiano de n puntos es exacto para polinomios de grado hasta 2 n − 1 .

El cálculo de integrales de dimensiones superiores (por ejemplo, cálculos de volumen) hace un uso importante de alternativas como la integración de Monte Carlo . ^[60]

Mecánico

El área de una figura bidimensional arbitraria se puede determinar utilizando un instrumento de medición llamado planímetro . El volumen de objetos irregulares se puede medir con precisión mediante el fluido desplazado cuando el objeto se sumerge.

Geométrico

A veces, el área se puede encontrar mediante construcciones geométricas con compás y regla de un cuadrado equivalente .

Integración por diferenciación

Kempf, Jackson y Morales demostraron relaciones matemáticas que permiten calcular una integral mediante diferenciación . Su cálculo involucra la función delta de Dirac y el operador de derivada parcial . Esto también se puede aplicar a integrales funcionales , lo que permite calcularlas mediante diferenciación funcional . ^[61] ${\displaystyle \partial _{x}}$

Ejemplos

Utilizando el teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo permite realizar cálculos sencillos de funciones básicas:

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Ecuación integral  – Ecuaciones con una función desconocida bajo un signo integral
• Símbolo integral  – Símbolo matemático utilizado para denotar integrales y antiderivadas.
• Listas de integrales

Notas

1. El cálculo integral es una disciplina matemática muy bien establecida y sobre la que existen numerosas fuentes. Véase, por ejemplo, Apostol 1967 y Anton, Bivens & Davis 2016.

Referencias

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Enlaces externos

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Libros en línea

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