Teorema maestro de Ramanujan

Teorema matemático

En matemáticas , el teorema maestro de Ramanujan , llamado así en honor a Srinivasa Ramanujan , ^[1] es una técnica que proporciona una expresión analítica para la transformada de Mellin de una función analítica .

Página del cuaderno de Ramanujan que enuncia su teorema maestro.

El resultado se expresa de la siguiente manera:

Si una función de valor complejo tiene una expansión de la forma ${\textstyle f(x)}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\,\varphi (k)\,}{k!}}(-x)^{k}}$$

entonces la transformada de Mellin de está dada por ${\textstyle f(x)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\,\varphi (-s)}$$

¿Dónde está la función gamma ? ${\textstyle \Gamma (s)}$

Fue ampliamente utilizado por Ramanujan para calcular integrales definidas y series infinitas .

Versiones de dimensiones superiores de este teorema también aparecen en la física cuántica a través de los diagramas de Feynman . ^[2]

Glaisher también obtuvo un resultado similar . ^[3]

Formalismo alternativo

Una formulación alternativa del teorema maestro de Ramanujan es la siguiente:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left(\,\lambda (0)-x\,\lambda (1)+x^{2}\,\lambda (2)-\,\cdots \,\right)dx={\frac {\pi }{\,\sin(\pi s)\,}}\,\lambda (-s)}$$

que se convierte a la forma anterior después de sustituir y utilizar la ecuación funcional para la función gamma . ${\textstyle \lambda (n)\equiv {\frac {\varphi (n)}{\,\Gamma (1+n)\,}}}$

La integral anterior es convergente para condiciones de crecimiento sujetas a . ^[4] ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$ ${\textstyle \varphi }$

Prueba

Una prueba sujeta a supuestos "naturales" (aunque no a las condiciones necesarias más débiles) del teorema maestro de Ramanujan fue proporcionada por GH Hardy ^[5] (capítulo XI) empleando el teorema del residuo y el conocido teorema de inversión de Mellin .

Aplicación a los polinomios de Bernoulli

La función generadora de los polinomios de Bernoulli viene dada por: ${\textstyle B_{k}(x)}$

$${\displaystyle {\frac {z\,e^{x\,z}}{\,e^{z}-1\,}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x)\,{\frac {z^{k}}{k!}}}$$

Estos polinomios se dan en términos de la función zeta de Hurwitz :

$${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\,(n+a)^{s}\,}}}$$

Utilizando el teorema maestro de Ramanujan y la función generadora de polinomios de Bernoulli se tiene la siguiente representación integral: ^[6] ${\textstyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}}$ ${\textstyle ~n\geq 1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{\,1-e^{-x}\,}}-{\frac {1}{x}}\right)dx=\Gamma (s)\,\zeta (s,a)\!}$$

que es válido para . ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$

Aplicación a la función gamma

Definición de la función gamma de Weierstrass

$${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {\,e^{-\gamma \,x\,}}{x}}\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(\,1+{\frac {x}{n}}\,\right)^{-1}e^{x/n}\!}$$

es equivalente a la expresión

$${\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma \,x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\,\zeta (k)\,}{k}}\,(-x)^{k}}$$

¿Dónde está la función zeta de Riemann ? ${\textstyle \zeta (k)}$

Luego, aplicando el teorema maestro de Ramanujan, tenemos:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{2}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$$

válido para . ${\textstyle 0<\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<1}$

Los casos especiales de y son ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle s={\frac {3}{4}}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{5/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {2\pi }{3}}\,\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\,\gamma \,x+\log \Gamma (1+x)\,}{x^{9/4}}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$$

Aplicación a las funciones de Bessel

La función de Bessel del primer tipo tiene la serie de potencias $${\displaystyle J_{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (k+\nu +1)k!}}{\bigg (}{\frac {z}{2}}{\bigg )}^{2k+\nu }}$$

Mediante el teorema maestro de Ramanujan, junto con algunas identidades para la función gamma y reordenando, podemos evaluar la integral

$${\displaystyle {\frac {2^{\nu -2s}\pi }{\sin {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}J_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma (s-\nu )}$$

válido para . ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+{\tfrac {3}{2}}}$

De manera equivalente, si se prefiere la función esférica de Bessel , la fórmula se convierte en ${\textstyle j_{\nu }(z)}$

$${\displaystyle {\frac {2^{\nu -2s}{\sqrt {\pi }}(1-2s+2\nu )}{\cos {(\pi (s-\nu ))}}}\int _{0}^{\infty }z^{s-1-\nu /2}j_{\nu }({\sqrt {z}})\,dz=\Gamma (s)\Gamma {\bigg (}{\frac {1}{2}}+s-\nu {\bigg )}}$$

válido para . ${\textstyle 0<2\operatorname {\mathcal {Re}} (s)<\operatorname {\mathcal {Re}} (\nu )+2}$

La solución es notable porque permite interpolar entre las identidades principales de la función gamma. En particular, la elección de da el cuadrado de la función gamma, da la fórmula de duplicación , da la fórmula de reflexión y la fijación al evaluable o da la función gamma por sí misma, hasta la reflexión y el escalado. ${\textstyle J_{0}({\sqrt {z}})}$ ${\textstyle j_{0}({\sqrt {z}})}$ ${\textstyle z^{-1/2}J_{1}({\sqrt {z}})}$ ${\textstyle s={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle s=1}$

Método de integración de corchetes

El método de integración entre corchetes (método de corchetes) aplica el teorema maestro de Ramanujan a una amplia gama de integrales. ^{[7] El método de integración entre corchetes genera la} expansión en serie del integrando , crea una serie entre corchetes, identifica el coeficiente de la serie y los parámetros de la fórmula y calcula la integral. ^[8]

Fórmulas de integración

En esta sección se identifican las fórmulas de integración para integrandos con y sin exponentes enteros consecutivos y para integrales simples y dobles. La fórmula de integración para integrales dobles se puede generalizar a cualquier integral múltiple . En todos los casos, hay un valor de parámetro o una matriz de valores de parámetro que resuelve una o más ecuaciones lineales derivadas de los términos exponenciales de la expansión en serie del integrando. ${\textstyle n^{\ast }}$ ${\textstyle N^{\ast }}$

Exponentes enteros consecutivos, 1 variable

Esta es la fórmula de expansión, integración e integración de la serie de funciones para una integral cuya expansión en serie del integrando contiene exponentes enteros consecutivos. ^[9] El parámetro es una solución a esta ecuación lineal. $${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n}\\&\int _{0}^{\infty }y^{c-1}f(y)\,dy\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ y^{n+c-1}dy\\&=\Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n^{\ast }}$ $${\displaystyle n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-c}$$

Exponentes generales, 1 variable

La aplicación de la sustitución genera la expansión en serie de funciones, la fórmula integral y de integración para una integral cuya expansión en serie del integrando no puede contener exponentes enteros consecutivos. ^[8] El parámetro es una solución a esta ecuación lineal. ${\textstyle y=x^{a}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an}\\&\int _{0}^{\infty }x^{c-1}f(x)\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ \varphi (n)\ x^{an+c-1}dx\\&=a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\,\varphi (n^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ ${\textstyle n^{\ast }}$ $${\displaystyle a\ n^{\ast }+c=0,\ n^{\ast }=-a^{-1}c}$$

Exponentes enteros consecutivos, doble integral

Esta es la fórmula de expansión, integración e integración de la serie de funciones para una integral doble cuya expansión en serie del integrando contiene exponentes enteros consecutivos. ^[10] Los parámetros y son soluciones de estas ecuaciones lineales. $${\displaystyle {\begin{aligned}&f(y_{1},y_{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}}\ y_{2}^{n_{2}}\\&\int _{0}^{\infty }y_{1}^{c_{1}-1}y_{2}^{c_{2}-1}\ f(y_{1},y_{2})\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ y_{1}^{n_{1}+c_{1}-1}\ y_{2}^{n_{2}+c_{2}-1}\ dy_{1}\ dy_{2}\\&=\Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\\\end{aligned}}}$$ ${\textstyle n_{1}^{\ast }}$ ${\textstyle n_{2}^{\ast }}$ $${\displaystyle n_{1}^{\ast }+c_{1}=0,\ n_{2}^{\ast }+c_{2}=0,\ n_{1}^{\ast }=-c_{1},\ n_{2}^{\ast }=-c_{2}}$$

Exponentes generales, integral doble

Esta sección describe la fórmula de integración para una integral doble cuya expansión en serie del integrando no puede contener exponentes enteros consecutivos. Las matrices contienen los parámetros necesarios para expresar los exponentes en una expansión en serie del integrando, y el determinante de la matriz invertible es . ^[11] La aplicación de la sustitución genera la expansión en serie de funciones, la fórmula integral y de integración para una integral doble cuya expansión en serie del integrando no puede contener exponentes enteros consecutivos. ^[10] La fórmula integral y de integración son ^{[12] [13]} La matriz de parámetros es una solución para esta ecuación lineal. ^[14] . ${\textstyle A}$ ${\textstyle \det |A|}$ $${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle y_{1}=x_{1}^{a_{11}}x_{2}^{a_{21}},\quad y_{2}=x_{1}^{a_{12}}x_{2}^{a_{22}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{n_{2}}}{n_{2}!}}\ \varphi (n_{1},n_{2})\ x_{1}^{n_{1}a_{11}+n_{2}a_{12}+c_{1}-1}\ x_{2}^{n_{1}a_{21}+n_{2}a_{22}+c_{2}-1}\ dx_{1}\ dx_{2}\\&=\det |A|^{-1}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ \Gamma (-n_{2}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast }).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle N^{\ast }}$ $${\displaystyle AN^{\ast }+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}C}$$

Índice de complejidad positivo

En algunos casos, puede haber más sumas que variables. Por ejemplo, si el integrando es un producto de 3 funciones de una sola variable común y cada función se convierte en una suma de desarrollo en serie, el integrando es ahora un producto de 3 sumas, cada suma corresponde a un desarrollo en serie distinto.

• El número de paréntesis es el número de ecuaciones lineales asociadas con una integral. Este término refleja la práctica común de poner entre paréntesis cada ecuación lineal. ^[15]
• El índice de complejidad es el número de sumas de integrandos menos el número de paréntesis (ecuaciones lineales). Cada desarrollo en serie del integrando contribuye con una suma. ^[15]
• Los índices de suma (variables) son los índices que indexan los términos en una expansión de serie. En el ejemplo, hay 3 índices de suma y porque el integrando es un producto de 3 expansiones de serie. ^[16] ${\textstyle n_{1},n_{2}}$ ${\textstyle n_{3}}$
• Los índices de suma libre (variables) son los índices de suma que quedan después de completar todas las integraciones. La integración reduce el número de sumas en el integrando al reemplazar las expansiones en serie (sumas) con una fórmula de integración. Por lo tanto, hay menos índices de suma después de la integración. El número de índices de suma libre elegidos es igual al índice de complejidad. ^[16]

Integrales con un índice de complejidad positivo

Los índices de suma libre son elementos del conjunto . La matriz de índices de suma libre es y los coeficientes de los índices de suma libre son matriz . Los índices restantes son conjuntos que contienen índices . Las matrices y contienen elementos de matriz que se multiplican o suman con los índices no sumatorios. Los índices de suma libre seleccionados deben dejar matriz no singular. . Esta es la fórmula de expansión en serie, integral e integración de la función. ^[17] Los parámetros son funciones lineales de los parámetros . ^[18] . ${\textstyle {\bar {n}}_{1},\ldots ,{\bar {n}}_{f}}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle {\bar {N}}}$ ${\textstyle {\bar {A}}}$ $${\displaystyle {\bar {A}}={\begin{vmatrix}{\bar {a}}_{11}&\ldots &{\bar {a}}_{1f}\\\vdots &&\vdots \\{\bar {a}}_{b1}&\ldots &{\bar {a}}_{bf}\end{vmatrix}},\ {\bar {N}}={\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{1}\\\vdots \\{\bar {n}}_{f}\end{vmatrix}}}$$ ${\textstyle B}$ ${\textstyle n_{1},\ldots ,n_{b}}$ ${\textstyle A,C}$ ${\textstyle N^{\ast }}$ ${\textstyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1b}\\\vdots &&\vdots \\a_{b1}&\ldots &a_{bb}\end{vmatrix}},\ C={\begin{vmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{b}\end{vmatrix}},\ \ N^{\ast }={\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\\vdots \\n_{b}^{\ast }\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&f(x_{1},\ldots ,x_{b})\\&=\sum _{n\in B}^{\infty }\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{n_{1}}}{n_{1}!}}{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{n_{b}}}{n_{b}!}}{\frac {(-1)^{\bar {n_{f}}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\varphi (n_{1},\ldots ,n_{b},{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f})\prod _{x_{k}\in B}x_{k}^{n_{1}a_{k1}+\dots +{\bar {n}}_{1}{\bar {a}}_{k1}+\dots +c_{k}-1}\\&\int _{0}^{\infty }\ldots \int _{0}^{\infty }x^{c_{1}-1}\dots x^{c_{b}-1}f(x_{1},\ldots ,x_{b})\ dx_{1}\ldots dx_{b}\\&=\det |A|^{-1}\sum _{{\bar {n}}\in F}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{1}}}{{\bar {n}}_{1}!}}\ldots {\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{f}}}{{\bar {n}}_{f}!}}\ \Gamma (-n_{1}^{\ast })\ldots \Gamma (-n_{b}^{\ast })\ \varphi (n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast },{\bar {n}}_{1},\dots ,{\bar {n}}_{f}).\end{aligned}}}$$ ${\textstyle n_{1}^{\ast },\ldots ,n_{b}^{\ast }}$ ${\textstyle {\bar {n}}_{1}^{\ast },\ldots ,{\bar {n}}_{f}^{\ast }}$ $${\displaystyle A\ N^{\ast }+{\bar {A}}\ {\bar {N}}+C=0,\ N^{\ast }=-A^{-1}({\bar {A}}\ {\bar {N}}+C)}$$

Serie de soportes

Las notaciones de series entre corchetes son notaciones que sustituyen a las notaciones de series de potencias comunes (Tabla 1). ^[19] Reemplazar las notaciones de series de potencias por notaciones de series entre corchetes transforma la serie de potencias en una serie entre corchetes. Una serie entre corchetes facilita la identificación de los parámetros de fórmula necesarios para la integración. También se recomienda reemplazar una suma elevada a una potencia: ^[19] con esta expresión de serie entre corchetes: $${\displaystyle {\frac {1}{(x_{1}+\ldots +x_{b})^{\alpha }}}}$$ $${\displaystyle \sum _{m_{1}=0}^{\infty }\ldots \sum _{m_{b}=0}^{\infty }\ \phi _{m_{1},\dots ,m_{b}}\ x_{1}^{m_{1}}\dots x_{b}^{m_{b}}{\frac {\langle \alpha +m_{1}+\ldots +m_{b}\rangle }{\Gamma (\alpha )}}.}$$

Algoritmo

Este algoritmo describe cómo aplicar las fórmulas integrales. ^{[8] [9] [20]}

Expresión integral de entrada

No se puede asignar un valor al valor integral de salida o a la integral

1. Expresar el integrando como una serie de potencias.
2. Transformar la serie de potencias del integrando en una serie de corchetes.
3. Obtener el índice de complejidad, los parámetros de la fórmula y la función de coeficiente de la serie.
   1. El índice de complejidad es el número de sumas de integrandos menos el número de paréntesis.
   2. Los parámetros o matrices son soluciones a ecuaciones lineales (índice de complejidad cero, integral única), (índice de complejidad cero, integral única) o (índice de complejidad positivo). ${\textstyle n^{\ast }}$ ${\textstyle N^{\ast }}$ ${\textstyle an^{\ast }+c=0}$ ${\textstyle AN^{\ast }+C=0}$ ${\textstyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$
   3. Identifique el parámetro o (índice de complejidad cero, integral simple) o calcule (todos los demás casos) a partir de las ecuaciones lineales asociadas. ${\textstyle a}$ ${\textstyle \det |A|}$
   4. Identificar la función coeficiente de la serie de corchetes. ${\textstyle \varphi ()}$
4. Si el índice de complejidad es negativo, no se puede asignar un valor a la integral de retorno.
5. Si el índice de complejidad es cero, seleccione la fórmula de la tabla 2 para el índice de complejidad cero, integral simple o múltiple, calcule el valor integral con esta fórmula y devuelva este valor integral.
6. Si el índice de complejidad es positivo, seleccione la fórmula de la tabla 2 para el índice de complejidad positivo y calcule el valor integral como una expansión de serie con esta fórmula para todas las opciones posibles de los índices de suma libre. Seleccione el índice de complejidad más bajo, la expansión de serie convergente, agregando series que convergen en la misma región.
   1. Si todas las expansiones de series son series divergentes o series nulas (todos los términos de la serie son cero), entonces no se puede asignar un valor a la integral de retorno.
   2. Si la expansión de la serie no es nula ni divergente, devuelve esta expansión de la serie como valor integral.

Ejemplos

Índice de complejidad cero

El método del corchete integrará esta integral. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\ e^{-x^{3}/2}\ dx}$$

1. Expresar el integrando como una serie de potencias. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ {\frac {(-1)^{n}}{n!}}\ x^{(3\cdot n+5/2)-1}\ dx}$$
2. Transformar la serie de potencias en una serie de corchetes. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n}\ \phi (n)\cdot \left\langle 3\ n+{\frac {5}{2}}\right\rangle }$$
3. Obtener el índice de complejidad, los parámetros de la fórmula y la función de coeficiente de la serie.

El índice de complejidad es cero.

${\textstyle 3\ n^{\ast }+5/2=0}$

${\textstyle n^{\ast }=-5/6,\ a=3}$

${\textstyle \varphi (n)=2^{-n}}$.

4. Utilice la tabla 2 para calcular la integral.

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{3/2}\cdot e^{-x^{3}/2}\ dx}$$ $${\displaystyle =a^{-1}\ \Gamma (-n^{\ast })\ \varphi (n^{\ast })}$$ $${\displaystyle ={\frac {\Gamma \left({\frac {5}{6}}\right)\ 2^{5/6}}{3}}}$$

Índice de complejidad positivo

El método de corchetes permite integrar esta integral. 1. Exprese el integrando como una serie de potencias. Utilice la fórmula de suma elevada a una potencia. 2. Transforme la serie de potencias en una serie de corchetes. 3. Obtenga el índice de complejidad, los parámetros de la fórmula y la función de coeficiente de la serie. $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{2},n_{3}}\ {\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}1^{n_{1}}x^{5n_{2}+3n_{3}}\langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle \ dx}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sum _{n_{1},n_{n},n_{3}}{\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}\phi _{123}\langle 5\ n_{2}+3\ n_{3}+1\rangle \langle n_{1}+n_{2}+n_{3}+1/2\rangle }$$

El índice de complejidad es 1 como 3 sumas y 2 paréntesis.

Seleccione como índice libre, . Las ecuaciones lineales, soluciones, determinante y coeficiente de la serie son ${\textstyle n_{3}}$ ${\textstyle {\bar {n}}_{3}}$

$${\displaystyle 5n_{2}^{\ast }+3{\bar {n}}_{3}+1=0,\ n_{1}^{\ast }+n_{2}^{\ast }+{\bar {n}}_{3}+1/2=0}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1\\0&5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}n_{1}^{\ast }\\n_{2}^{\ast }\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1\\3\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\bar {n}}_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}1/2\\1\end{vmatrix}}=0}$$ $${\displaystyle AN^{\ast }+{\bar {A}}{\bar {N}}+C=0}$$ $${\displaystyle \det |A|=5}$$ $${\displaystyle n_{1}^{\ast }=-{\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {3}{10}},\ n_{2}^{\ast }=-{\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}-{\frac {1}{5}}.}$$ $${\displaystyle \varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})={\frac {1}{\sqrt {\Gamma (1/2)}}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}$$ 4. Utilice la tabla 2 para calcular la integral $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(1+x^{3}+x^{5})^{1/2}}}\ dx\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}\det |A|^{-1}\Gamma (-n_{1}^{\ast })\Gamma (-n_{2}^{\ast })\varphi (n_{1}^{\ast },n_{2}^{\ast },{\bar {n}}_{3})\\&=\sum _{{\bar {n}}_{3}=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{{\bar {n}}_{3}}}{{\bar {n}}_{3}!}}{\frac {\Gamma ({\frac {2}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {3}{10}})\Gamma ({\frac {3}{5}}{\bar {n}}_{3}+{\frac {1}{5}})}{5{\sqrt {\pi }}}}\end{aligned}}}$$

Citas

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2. González, Moll y Schmidt 2011.
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5. Hardy 1978.
6. Espinosa y Moll 2002, págs. 449–468.
7. González y Moll 2010, págs. 50–73.
8. González, Jiu & Moll 2020, págs. 983–985.
9. Amdeberhan et al. 2012, pág. 117, ecuación 9.5.
10. Amdeberhan et al. 2012, pág. 118.
11. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuación. 7.
12. Amdeberhan et al. 2012, pág. 118, ecuación 9.6.
13. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuación. 8.
14. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuación. 9.
15. González et al. 2022, pág. 28.
16. Amdeberhan et al. 2012, pág. 117.
17. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuación. 10.
18. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuación. 11.
19. González, Moll y Schmidt 2011, p. 8.
20. Ananthanarayan y otros. 2023, ecuaciones. 9-11.

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El teorema maestro de Ramanujan". MathWorld .