Sustitución trigonométrica

Técnica de evaluación integral

En matemáticas , una sustitución trigonométrica reemplaza una función trigonométrica por otra expresión. En cálculo , las sustituciones trigonométricas son una técnica para evaluar integrales. En este caso, una expresión que involucra una función radical se reemplaza por una trigonométrica. Las identidades trigonométricas pueden ayudar a simplificar la respuesta. ^{[1] [2]} Al igual que otros métodos de integración por sustitución, al evaluar una integral definida, puede ser más simple deducir completamente la antiderivada antes de aplicar los límites de integración.

Caso I: Integrandos que contienena2−incógnita2

Dejar y utilizar la identidad ${\displaystyle x=a\sin \theta ,}$ ${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .}$

Ejemplos del caso I

Construcción geométrica para el caso I

Ejemplo 1

En la integral

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}},}$$

podemos usar

$${\displaystyle x=a\sin \theta ,\quad dx=a\cos \theta \,d\theta ,\quad \theta =\arcsin {\frac {x}{a}}.}$$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\cos \theta \,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta }}}\\[6pt]&=\int d\theta \\[6pt]&=\theta +C\\[6pt]&=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}}$$

El paso anterior requiere que y podamos elegir ser la raíz principal de e imponer la restricción utilizando la función seno inverso. ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle \cos \theta >0.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{2},}$ ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$

Para una integral definida, se debe determinar cómo cambian los límites de integración. Por ejemplo, como va de a entonces va de a entonces va de a Entonces, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a/2,}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1/2,}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /6.}$

$${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}$$

Se debe tener cuidado al elegir los límites. Debido a que la integración anterior requiere que , solo pueda ir de a Ignorando esta restricción, se podría haber elegido ir de a lo que habría dado como resultado el valor negativo del valor real. ${\displaystyle -\pi /2<\theta <\pi /2}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \pi /6.}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 5\pi /6,}$

Alternativamente, evalúe completamente las integrales indefinidas antes de aplicar las condiciones de contorno. En ese caso, la antiderivada da

$${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right){\Biggl |}_{0}^{a/2}=\arcsin \left({\frac {1}{2}}\right)-\arcsin(0)={\frac {\pi }{6}}}$$Como antes.

Ejemplo 2

La integral

$${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx,}$$

puede evaluarse dejando donde de modo que y por el rango del arcoseno, de modo que y ${\textstyle x=a\sin \theta ,\,dx=a\cos \theta \,d\theta ,\,\theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}},}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\textstyle {\sqrt {a^{2}}}=a,}$ ${\textstyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle \cos \theta \geq 0}$ ${\textstyle {\sqrt {\cos ^{2}\theta }}=\cos \theta .}$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta }}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(\cos ^{2}\theta )}}\,(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\cos \theta )(a\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left(\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{a}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+C.\end{aligned}}}$$

Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación con valores en el rango . Alternativamente, aplique los términos de límite directamente a la fórmula para la antiderivada. ${\textstyle \theta =\arcsin {\dfrac {x}{a}},}$ ${\textstyle -\pi /2\leq \theta \leq \pi /2.}$

Por ejemplo, la integral definida

$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx,}$$

puede evaluarse sustituyendo con los límites determinados usando ${\displaystyle x=2\sin \theta ,\,dx=2\cos \theta \,d\theta ,}$ ${\textstyle \theta =\arcsin {\dfrac {x}{2}}.}$

Porque y ${\displaystyle \arcsin(1/{2})=\pi /6}$ ${\displaystyle \arcsin(-1/2)=-\pi /6,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4-4\sin ^{2}\theta }}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(1-\sin ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}{\sqrt {4(\cos ^{2}\theta )}}\,(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int _{-\pi /6}^{\pi /6}(2\cos \theta )(2\cos \theta )\,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\cos ^{2}\theta \,d\theta \\[6pt]&=4\int _{-\pi /6}^{\pi /6}\left({\frac {1+\cos 2\theta }{2}}\right)\,d\theta \\[6pt]&=2\left[\theta +{\frac {1}{2}}\sin 2\theta \right]_{-\pi /6}^{\pi /6}=[2\theta +\sin 2\theta ]{\Biggl |}_{-\pi /6}^{\pi /6}\\[6pt]&=\left({\frac {\pi }{3}}+\sin {\frac {\pi }{3}}\right)-\left(-{\frac {\pi }{3}}+\sin \left(-{\frac {\pi }{3}}\right)\right)={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}.\end{aligned}}}$$

Por otra parte, la aplicación directa de los términos de contorno a la fórmula previamente obtenida para la antiderivada da como resultado lo anterior. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx&=\left[{\frac {2^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{2}}+{\frac {x}{2}}{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\right]_{-1}^{1}\\[6pt]&=\left(2\arcsin {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)-\left(2\arcsin \left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {-1}{2}}{\sqrt {4-1}}\right)\\[6pt]&=\left(2\cdot {\frac {\pi }{6}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)-\left(2\cdot \left(-{\frac {\pi }{6}}\right)-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\\[6pt]&={\frac {2\pi }{3}}+{\sqrt {3}}\end{aligned}}}$$

Caso II: Integrandos que contienena2+incógnita2

Dejar y utilizar la identidad ${\displaystyle x=a\tan \theta ,}$ ${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .}$

Ejemplos del caso II

Construcción geométrica para el caso II

Ejemplo 1

En la integral

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}}$$

podemos escribir

$${\displaystyle x=a\tan \theta ,\quad dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\quad \theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$$

de modo que la integral se convierte en

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\\[6pt]&=\int {\frac {a\sec ^{2}\theta \,d\theta }{a^{2}\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=\int {\frac {d\theta }{a}}\\[6pt]&={\frac {\theta }{a}}+C\\[6pt]&={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C,\end{aligned}}}$$

proporcionó ${\displaystyle a\neq 0.}$

Para una integral definida, los límites cambian una vez que se realiza la sustitución y se determinan utilizando la ecuación con valores en el rango . Alternativamente, aplique los términos de límite directamente a la fórmula para la antiderivada. ${\displaystyle \theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}.}$

Por ejemplo, la integral definida

$${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}\,}$$

puede evaluarse sustituyendo con los límites determinados usando ${\displaystyle x=\tan \theta ,\,dx=\sec ^{2}\theta \,d\theta ,}$ ${\displaystyle \theta =\arctan x.}$

Desde y ${\displaystyle \arctan 0=0}$ ${\displaystyle \arctan 1=\pi /4,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}{\frac {\sec ^{2}\theta \,d\theta }{\sec ^{2}\theta }}\\[6pt]&=4\int _{0}^{\pi /4}d\theta \\[6pt]&=(4\theta ){\Bigg |}_{0}^{\pi /4}=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi .\end{aligned}}}$$

Mientras tanto, la aplicación directa de los términos de contorno a la fórmula para la antiderivada produce el mismo resultado que antes. $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {4\,dx}{1+x^{2}}}\,&=4\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\\[6pt]&=4\left[{\frac {1}{1}}\arctan {\frac {x}{1}}\right]_{0}^{1}\\[6pt]&=4(\arctan x){\Bigg |}_{0}^{1}\\[6pt]&=4(\arctan 1-\arctan 0)\\[6pt]&=4\left({\frac {\pi }{4}}-0\right)=\pi ,\end{aligned}}}$$

Ejemplo 2

La integral

$${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,{dx}}$$

puede evaluarse dejando ${\displaystyle x=a\tan \theta ,\,dx=a\sec ^{2}\theta \,d\theta ,\,\theta =\arctan {\frac {x}{a}},}$

donde de modo que y por el rango de arcotangente, de modo que y ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a,}$ ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \sec \theta >0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta }}=\sec \theta .}$

Entonces, la integral de la secante al cubo se puede evaluar mediante integración por partes . Como resultado, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}+a^{2}\tan ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}(1+\tan ^{2}\theta )}}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta }}\,(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=\int (a\sec \theta )(a\sec ^{2}\theta )\,d\theta \\[6pt]&=a^{2}\int \sec ^{3}\theta \,d\theta .\\[6pt]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}\cdot {\frac {x}{a}}+\ln \left|{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}+{\frac {x}{a}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}}$$

Caso III: Integrandos que contienenincógnita2−a2

Dejar y utilizar la identidad ${\displaystyle x=a\sec \theta ,}$ ${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .}$

Ejemplos del Caso III

Construcción geométrica para el caso III

Integrales como

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}}$$

También se puede evaluar mediante fracciones parciales en lugar de sustituciones trigonométricas. Sin embargo, la integral

$${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx}$$

No puede. En este caso, una sustitución adecuada es: $${\displaystyle x=a\sec \theta ,\,dx=a\sec \theta \tan \theta \,d\theta ,\,\theta =\operatorname {arcsec} {\frac {x}{a}},}$$

donde de modo que y suponiendo de modo que y ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}}}=a,}$ ${\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle x>0,}$ ${\displaystyle \tan \theta \geq 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta .}$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&=\int {\sqrt {a^{2}\sec ^{2}\theta -a^{2}}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}(\sec ^{2}\theta -1)}}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int {\sqrt {a^{2}\tan ^{2}\theta }}\cdot a\sec \theta \tan \theta \,d\theta \\&=\int a^{2}\sec \theta \tan ^{2}\theta \,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec \theta )(\sec ^{2}\theta -1)\,d\theta \\&=a^{2}\int (\sec ^{3}\theta -\sec \theta )\,d\theta .\end{aligned}}}$$

Se puede evaluar la integral de la función secante multiplicando el numerador y el denominador por y la integral de la secante al cubo por partes. ^[3] Como resultado, ${\displaystyle (\sec \theta +\tan \theta )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\,dx&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta +\ln |\sec \theta +\tan \theta |)-a^{2}\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}(\sec \theta \tan \theta -\ln |\sec \theta +\tan \theta |)+C\\[6pt]&={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {x}{a}}\cdot {\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}-\ln \left|{\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-1}}\right|\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}-a^{2}\ln \left|{\frac {x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}{a}}\right|\right)+C.\end{aligned}}}$$

Cuando lo cual sucede cuando se da el rango de arcosecante, es decir en cambio en ese caso. ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<\theta \leq \pi ,}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle \tan \theta \leq 0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}=-\tan \theta }$

Sustituciones que eliminan funciones trigonométricas

La sustitución se puede utilizar para eliminar funciones trigonométricas.

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(u,\pm {\sqrt {1-u^{2}}}\right)\,du&&u=\sin(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {1}{\mp {\sqrt {1-u^{2}}}}}f\left(\pm {\sqrt {1-u^{2}}},u\right)\,du&&u=\cos(x)\\[6pt]\int f(\sin(x),\cos(x))\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}f\left({\frac {2u}{1+u^{2}}},{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)\,du&&u=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]\end{aligned}}}$$

La última sustitución se conoce como sustitución de Weierstrass , que utiliza fórmulas de semiángulo tangente .

Por ejemplo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {4\cos x}{(1+\cos x)^{3}}}\,dx&=\int {\frac {2}{1+u^{2}}}{\frac {4\left({\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)}{\left(1+{\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}\right)^{3}}}\,du=\int (1-u^{2})(1+u^{2})\,du\\&=\int (1-u^{4})\,du=u-{\frac {u^{5}}{5}}+C=\tan {\frac {x}{2}}-{\frac {1}{5}}\tan ^{5}{\frac {x}{2}}+C.\end{aligned}}}$$

Sustitución hiperbólica

También se pueden utilizar sustituciones de funciones hiperbólicas para simplificar integrales. ^[4]

Por ejemplo, para integrar , introduzca la sustitución (y por lo tanto ), luego use la identidad para encontrar: ${\displaystyle 1/{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$ ${\displaystyle x=a\sinh {u}}$ ${\displaystyle dx=a\cosh u\,du}$ ${\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cosh u\,du}{\sqrt {a^{2}+a^{2}\sinh ^{2}u}}}\\[6pt]&=\int {\frac {\cosh {u}\,du}{\sqrt {1+\sinh ^{2}{u}}}}\\[6pt]&=\int {\frac {\cosh {u}}{\cosh u}}\,du\\[6pt]&=u+C\\[6pt]&=\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C.\end{aligned}}}$$

Si se desea, este resultado se puede transformar aún más utilizando otras identidades, como por ejemplo utilizando la relación ${\displaystyle \sinh ^{-1}{z}=\operatorname {arsinh} {z}=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}})}$ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh ^{-1}{\frac {x}{a}}+C&=\ln \left({\frac {x}{a}}+{\sqrt {{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1}}\,\right)+C\\[6pt]&=\ln \left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}{a}}\,\right)+C.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Integración por sustitución
• Sustitución de Weierstrass
• Sustitución de Euler

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Thomas, George B .; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Cálculo de Thomas: trascendentales tempranos (12.ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0.
3. Stewart, James (2012). "Sección 7.2: Integrales trigonométricas". Cálculo: trascendentales tempranas . Estados Unidos: Cengage Learning. págs. 475-476. ISBN 978-0-538-49790-9.
4. Boyadzhiev, Khristo N. "Sustituciones hiperbólicas para integrales" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2020. Consultado el 4 de marzo de 2013 .