Integral de la función secante

Antiderivada de la función secante

Gráfica de la función secante (roja) y su antiderivada (azul)

En cálculo , la integral de la función secante se puede evaluar utilizando una variedad de métodos y hay múltiples formas de expresar la antiderivada , todas las cuales pueden demostrarse como equivalentes mediante identidades trigonométricas .

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[15mu]\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[15mu]\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C\end{cases}}}$

Esta fórmula es útil para evaluar diversas integrales trigonométricas . En particular, se puede utilizar para evaluar la integral de la secante al cubo , que, aunque parece especial, aparece con bastante frecuencia en las aplicaciones. ^[1]

La integral definida de la función secante a partir de es la función Gudermanniana inversa . Para aplicaciones numéricas, todas las expresiones anteriores resultan en pérdida de significancia para algunos argumentos. Una expresión alternativa en términos del seno hiperbólico inverso arsinh se comporta numéricamente bien para argumentos reales : ^[2] ${\displaystyle 0}$ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}.}$ ${\textstyle |\phi |<{\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\phi =\int _{0}^{\phi }\sec \theta \,d\theta =\operatorname {arsinh} (\tan \phi ).}$

La integral de la función secante fue históricamente una de las primeras integrales de su tipo que se evaluaron, antes de que se desarrollara la mayor parte del cálculo integral. Es importante porque es la coordenada vertical de la proyección de Mercator , utilizada para la navegación marítima con rumbo constante .

Prueba de que las diferentes antiderivadas son equivalentes

Formas trigonométricas

Tres expresiones comunes para la integral de la secante,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &={\dfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C\\[5mu]&=\ln {{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}}+C\\[5mu]&=\ln {\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|}+C,\end{aligned}}}$

son equivalentes porque

${\displaystyle {\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}={\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}=\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|.}$

Demostración: podemos aplicar por separado la sustitución del medio ángulo tangente a cada una de las tres formas, y demostrar que son equivalentes a la misma expresión en términos de Bajo esta sustitución y ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle \cos \theta =(1-t^{2}){\big /}(1+t^{2})}$ ${\displaystyle \sin \theta =2t{\big /}(1+t^{2}).}$

Primero,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\dfrac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}}&={\sqrt {\frac {1+{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}{1-{\dfrac {2t}{1+t^{2}}}}}}={\sqrt {\frac {1+t^{2}+2t}{1+t^{2}-2t}}}={\sqrt {\frac {(1+t)^{2}}{(1-t)^{2}}}}\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

Segundo,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\sec \theta +\tan \theta \,{\bigr |}&=\left|{\frac {1}{\cos \theta }}+{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\right|=\left|{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+{\frac {2t}{1-t^{2}}}\right|=\left|{\frac {(1+t)^{2}}{(1+t)(1-t)}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

En tercer lugar, utilizando la identidad de adición tangente ${\displaystyle \tan(\phi +\psi )=(\tan \phi +\tan \psi ){\big /}(1-\tan \phi \,\tan \psi ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\,{\tan }{\biggl (}{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}\right|&=\left|{\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}\theta +\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }{1-\tan {\tfrac {1}{2}}\theta \,\tan {\tfrac {1}{4}}\pi }}\right|=\left|{\frac {t+1}{1-t\cdot 1}}\right|\\[5mu]&=\left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|.\end{aligned}}}$

Así que las tres expresiones describen la misma cantidad.

La solución convencional para la ordenada de la proyección de Mercator se puede escribir sin los signos de valor absoluto ya que la latitud se encuentra entre y , ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$ ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle y=\ln \,{\tan }{\biggl (}{\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}{\biggr )}.}$

Formas hiperbólicas

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\ln(\sec \theta +\tan \theta ),\\[4pt]e^{\psi }&=\sec \theta +\tan \theta ,\\[4pt]\sinh \psi &={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{2}}=\tan \theta ,\\[4pt]\cosh \psi &={\sqrt {1+\sinh ^{2}\psi }}=|\sec \theta \,|,\\[4pt]\tanh \psi &=\sin \theta .\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\operatorname {artanh} \left(\sin \theta \right)+C\\[-2mu]&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C\\[7mu]&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} {\left|\sec \theta \right|}+C.\end{aligned}}}$

Historia

La integral de la función secante fue uno de los "problemas abiertos más destacados de mediados del siglo XVII", resuelto en 1668 por James Gregory . ^[3] Aplicó su resultado a un problema relacionado con las tablas náuticas. ^[1] En 1599, Edward Wright evaluó la integral mediante métodos numéricos -lo que hoy llamaríamos sumas de Riemann- . ^[4] Quería la solución para fines de cartografía -específicamente para construir una proyección de Mercator precisa- . ^[3] En la década de 1640, Henry Bond, un profesor de navegación, topografía y otros temas matemáticos, comparó la tabla numéricamente calculada de Wright de valores de la integral de la secante con una tabla de logaritmos de la función tangente y, en consecuencia, conjeturó que ^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\varphi }\sec \theta \,d\theta =\ln \tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Esta conjetura se hizo ampliamente conocida y en 1665 Isaac Newton tuvo conocimiento de ella. ^[5]

Evaluaciones

Mediante una sustitución estándar (enfoque de Gregory)

Un método estándar para evaluar la integral secante presentado en varias referencias implica multiplicar el numerador y el denominador por sec  θ + tan  θ y luego usar la sustitución u = sec  θ + tan  θ . Esta sustitución se puede obtener a partir de las derivadas de la secante y la tangente sumadas, que tienen a la secante como factor común. ^[6]

Empezando con

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\sec \theta =\sec \theta \tan \theta \quad {\text{and}}\quad {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta ,}$

Agregándolos da

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\theta }}(\sec \theta +\tan \theta )&=\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \\&=\sec \theta (\tan \theta +\sec \theta ).\end{aligned}}}$

La derivada de la suma es entonces igual a la suma multiplicada por sec  θ . Esto permite multiplicar sec  θ por sec  θ + tan  θ en el numerador y denominador y realizar las siguientes sustituciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sec \theta +\tan \theta \\du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta .\end{aligned}}}$

La integral se evalúa de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {\sec \theta (\sec \theta +\tan \theta )}{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta \\[6pt]&=\int {\frac {\sec ^{2}\theta +\sec \theta \tan \theta }{\sec \theta +\tan \theta }}\,d\theta &u&=\sec \theta +\tan \theta \\[6pt]&=\int {\frac {1}{u}}\,du&du&=\left(\sec \theta \tan \theta +\sec ^{2}\theta \right)\,d\theta \\[6pt]&=\ln |u|+C\\[4pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

como se afirma. Esta fue la fórmula descubierta por James Gregory. ^[1]

Por fracciones parciales y sustitución (enfoque de Barrow)

Aunque Gregory demostró la conjetura en 1668 en sus Exercitationes Geometricae , ^[7] la prueba fue presentada en una forma que la hace casi imposible de comprender para los lectores modernos; Isaac Barrow , en sus Lectiones Geometricae de 1670, ^[8] dio la primera prueba "inteligible", aunque incluso esa estaba "expresada en el idioma geométrico de la época". ^[3] La prueba de Barrow del resultado fue el primer uso de fracciones parciales en la integración. ^[3] Adaptada a la notación moderna, la prueba de Barrow comenzaba de la siguiente manera:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta }$

Sustituyendo u = sen  θ , du = cos  θ dθ , se reduce la integral a

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du&=\int {\frac {1}{(1+u)(1-u)}}\,du\\[6pt]&=\int {\frac {1}{2}}\!\left({\frac {1}{1+u}}+{\frac {1}{1-u}}\right)du&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}{\bigl (}\ln \left|1+u\right|-\ln \left|1-u\right|{\bigr )}+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+u}{1-u}}\right|+C\end{aligned}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}+C,}$

como se esperaba. No es necesario tomar el valor absoluto porque y siempre son no negativos para valores reales de ${\displaystyle 1+\sin \theta }$ ${\displaystyle 1-\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta .}$

Por sustitución del semiángulo tangente

Estándar

Bajo la sustitución del semiángulo tangente ^[9] ${\textstyle t=\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \theta ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad d\theta ={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt,\\[10mu]&\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\\[10mu]&\sec \theta +\tan \theta ={\frac {1+2t+t^{2}}{1-t^{2}}}={\frac {1+t}{1-t}}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto la integral de la función secante es

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int \left({\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}\right)\!\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2}{(1-t)(1+t)}}\,dt\\[6pt]&=\int \left({\frac {1}{1+t}}+{\frac {1}{1-t}}\right)dt&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[6pt]&=\ln |1+t|-\ln |1-t|+C\\[6pt]&=\ln \left|{\frac {1+t}{1-t}}\right|+C\\[6pt]&=\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C,\end{aligned}}}$

Como antes.

No estándar

La integral también se puede derivar utilizando una versión algo no estándar de la sustitución del medio ángulo tangente, que es más simple en el caso de esta integral particular, publicada en 2013, ^[10] es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[10pt]{\frac {2x}{1+x^{2}}}&={\frac {2\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}{\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}}=2\sin \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\\[6pt]&=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta &&{\text{by the double-angle formula}}\\[10pt]dx&={\frac {1}{2}}\sec ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)d\theta ={\frac {1}{2}}\left(1+x^{2}\right)d\theta \\[10pt]d\theta &={\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx.\end{aligned}}}$

Sustituyendo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta &=\int {\frac {1+x^{2}}{2x}}\cdot {\frac {2}{1+x^{2}}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {1}{x}}\,dx\\[6pt]&=\ln |x|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\theta }{2}}\right)\right|+C.\end{aligned}}}$

Por dos sustituciones sucesivas

La integral también se puede resolver manipulando el integrando y sustituyendo dos veces. Utilizando la definición sec  θ = ⁠1/porque  θ⁠ y la identidad cos ²  θ + sen ²  θ = 1 , la integral se puede reescribir como

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {1}{\cos \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{\cos ^{2}\theta }}\,d\theta =\int {\frac {\cos \theta }{1-\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$

Sustituyendo u = sen  θ , du = cos  θ dθ se reduce la integral a

${\displaystyle \int {\frac {1}{1-u^{2}}}\,du.}$

La integral reducida se puede evaluar sustituyendo u = tanh  t , du = sech ²  t dt , y luego usando la identidad 1 − tanh ²  t = sech ²  t .

${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{1-\tanh ^{2}t}}\,dt=\int {\frac {\operatorname {sech} ^{2}t}{\operatorname {sech} ^{2}t}}\,dt=\int dt.}$

La integral ahora se reduce a una integral simple y al sustituir hacia atrás se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\int dt&=t+C\\&=\operatorname {artanh} u+C\\[4pt]&=\operatorname {artanh} (\sin \theta )+C,\end{aligned}}}$

que es una de las formas hiperbólicas de la integral.

Se puede utilizar una estrategia similar para integrar las funciones cosecante , secante hiperbólica y cosecante hiperbólica .

Otras formas hiperbólicas

También es posible encontrar las otras dos formas hiperbólicas directamente, multiplicando y dividiendo nuevamente por un término conveniente:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\sec \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec ^{2}\theta }{\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}\,d\theta ,}$

donde representa porque Sustituyendo u = tan  θ , du = sec ² θ dθ , se reduce a una integral estándar: ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\cos \theta )}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}=|\sec \theta \,|.}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {1+u^{2}}}}}\,du&=\pm \operatorname {arsinh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\cos \theta )\operatorname {arsinh} \left(\tan \theta \right)+C,\end{aligned}}}$

donde sgn es la función de signo .

Asimismo:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\tan \theta }}\,d\theta =\int {\frac {\sec \theta \tan \theta }{\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}\,d\theta .}$

Sustituyendo u = | sec  θ | , du = | sec  θ | tan  θ dθ , se reduce a una integral estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{\pm {\sqrt {u^{2}-1}}}}\,du&=\pm \operatorname {arcosh} u+C\\&=\operatorname {sgn}(\sin \theta )\operatorname {arcosh} \left|\sec \theta \right|+C.\end{aligned}}}$

Usando la forma exponencial compleja

Bajo la sustitución ${\displaystyle z=e^{i\theta },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta =-i\ln z,\quad d\theta ={\frac {-i}{z}}dz,\quad \cos \theta ={\frac {z+z^{-1}}{2}},\quad \sin \theta ={\frac {z-z^{-1}}{2i}},\quad \\[5mu]&\sec \theta ={\frac {2}{z+z^{-1}}},\quad \tan \theta =-i{\frac {z-z^{-1}}{z+z^{-1}}},\quad \\[5mu]&\sec \theta +\tan \theta =-i{\frac {2i+z-z^{-1}}{z+z^{-1}}}=-i{\frac {(z+i)(1+iz^{-1})}{(z-i)(1+iz^{-1})}}=-i{\frac {z+i}{z-i}}\end{aligned}}}$

Entonces la integral se puede resolver como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec \theta \,d\theta &=\int {\frac {2}{z+z^{-1}}}\,{\frac {-i}{z}}dz&&z=e^{i\theta }\\[5mu]&=\int {\frac {-2i}{z^{2}+1}}dz\\&=\int {\frac {1}{z+i}}-{\frac {1}{z-i}}\,dz&&{\text{partial fraction decomposition}}\\[5mu]&=\ln(z+i)-\ln(z-i)+C\\[5mu]&=\ln {\frac {z+i}{z-i}}+C\\[5mu]&=\ln {\bigl (}i(\sec \theta +\tan \theta ){\bigr )}+C\\[5mu]&=\ln(\sec \theta +\tan \theta )+\ln i+C\end{aligned}}}$

Como la constante de integración puede ser cualquier valor, el término constante adicional puede ser absorbido por ella. Por último, si theta tiene un valor real , podemos indicarlo con corchetes de valor absoluto para que la ecuación adopte su forma más familiar:

${\displaystyle \int \sec \theta \,d\theta =\ln \left|\tan \theta +\sec \theta \right|+C}$

Gudermanniano y Lambertiano

La función Gudermanniana relaciona el área de un sector circular con el área de un sector hiperbólico , a través de una proyección estereográfica común . Si el área del sector hiperbólico azul es el doble de ψ , entonces el área del sector circular rojo es el doble de ϕ = gd ψ . El área del triángulo violeta es el doble de la proyección estereográfica s = tan 1/2⁠ ϕ = tanh  ⁠1/2⁠ ψ . El punto azul tiene coordenadas (cosh  ψ , sinh  ψ ) . El punto rojo tiene coordenadas (cos  ϕ , sin  ϕ ). El punto morado tiene coordenadas (0, s ).

La integral de la función secante hiperbólica define la función Gudermanniana :

${\displaystyle \int _{0}^{\psi }\operatorname {sech} u\,du=\operatorname {gd} \psi .}$

La integral de la función secante define la función lambertiana, que es la inversa de la función gudermanniana:

${\displaystyle \int _{0}^{\varphi }\sec t\,dt=\operatorname {lam} \varphi =\operatorname {gd} ^{-1}\varphi .}$

Estas funciones se encuentran en la teoría de proyecciones de mapas: la proyección de Mercator de un punto en la esfera con longitud λ y latitud ϕ puede escribirse ^[11] como:

${\displaystyle (x,y)={\bigl (}\lambda ,\operatorname {lam} \varphi {\bigr )}.}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Integral de secante al cubo

Notas

1. Stewart, James (2012). "Sección 7.2: Integrales trigonométricas". Cálculo: trascendentales tempranas . Cengage Learning. págs. 475-476. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Por ejemplo, esta forma se utiliza en Karney, Charles FF (2011). "Transversal Mercator con una precisión de unos pocos nanómetros". Journal of Geodesy . 85 : 475–485.
3. V. Frederick Rickey y Philip M. Tuchinsky, Una aplicación de la geografía a las matemáticas: Historia de la integral de la secante en Mathematics Magazine , volumen 53, número 3, mayo de 1980, páginas 162–166.
4. Edward Wright , Ciertos errores en la navegación, que surgen de la habitual confección o verificación errónea de la carta náutica, brújula, bastón de mando y tablas de declinación del Sol y estrellas fijas detectadas y corregidas , Valentine Simms, Londres, 1599.
5. HW Turnbull, editor, The Correspondence of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1959–1960, volumen 1, páginas 13–16 y volumen 2, páginas 99–100.

   DT Whiteside , editor, The Mathematical Papers of Isaac Newton , Cambridge University Press, 1967, volumen 1, páginas 466–467 y 473–475.

6. Feldman, Joel. "Integración de sec x y sec3 x" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Columbia Británica .

   "Integral de la secante". MIT OpenCourseWare .

7. Gregory, James (1668). "Analogia Inter Lineam Meridianam Planispherii Nautici & Tangentes Artificiales Geometricè Demonstrata, &c." [Analogía entre la línea meridiana del planisferio náutico y las tangentes artificiales geométricamente demostradas, etc.]. Exercitationes Geometricae [ Ejercicios geométricos ] (en latín). Moses Pitt. págs. 14–24.
8. Barrow, Isaac (1674) [1670]. "Lectiones geométricae: XII, Apéndice I". Lectiones Opticae & Geométricae (en latín). Typis Guilielmi Dios mío. págs. 110-114.En inglés, "Lecture XII, Appendix I". The Geometrical Lectures of Isaac Barrow . Traducido por Child, James Mark. Open Court. 1916. págs. 165–169.
9. Stewart, James (2012). "Sección 7.4: Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales". Cálculo: trascendentales tempranas (7.ª ed.). Belmont, CA, EE. UU.: Cengage Learning. pp. 493. ISBN 978-0-538-49790-9.
10. Hardy, Michael (2013). "Eficiencia en la antidiferenciación de la función secante" . American Mathematical Monthly . 120 (6): 580.
11. Lee, LP (1976). Proyecciones conformes basadas en funciones elípticas . Monografías de Cartographica . Vol. 16. Toronto: BV Gutsell, York University. ISBN. 0-919870-16-3.Suplemento No. 1 de El Cartógrafo Canadiense 13.

Referencias

• Maseres, Francis, ed. (1791). Scriptores Logarithmici; o, una colección de varios tratados curiosos sobre la naturaleza y construcción de logaritmos. Vol. 2. J. Davis.
• Strauss, Simon W. (1980). "Las integrales y su revisión". Revista de la Academia de Ciencias de Washington . 70 (4): 137–143. JSTOR  24537231. ${\textstyle \int \sec x\,dx}$ ${\textstyle \int \csc x\,dx}$