Sustitución de la mitad del ángulo tangente

Cambio de variable para integrales que involucran funciones trigonométricas

En cálculo integral , la sustitución de la mitad del ángulo tangente es un cambio de variables utilizado para evaluar integrales , que convierte una función racional de funciones trigonométricas de en una función racional ordinaria de al establecer . Esta es la proyección estereográfica unidimensional del círculo unitario parametrizado por la medida del ángulo sobre la línea real . La fórmula general de transformación ^{[1] es:} ${\textstyle x}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$

$${\displaystyle \int f(\sin x,\cos x)\,dx=\int f{\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)}{\frac {2\,dt}{1+t^{2}}}.}$$

La tangente de la mitad de un ángulo es importante en trigonometría esférica y a veces se la conocía en el siglo XVII como media tangente o semitangente. ^[2] Leonhard Euler la utilizó para evaluar la integral en su libro de texto de cálculo integral de 1768 , ^[3] y Adrien-Marie Legendre describió el método general en 1817. ^[4] ${\textstyle \int dx/(a+b\cos x)}$

La sustitución se describe en la mayoría de los libros de texto de cálculo integral desde finales del siglo XIX, generalmente sin ningún nombre especial. ^[5] Se conoce en Rusia como la sustitución trigonométrica universal , ^[6] y también se conoce por nombres variantes como sustitución de media tangente o sustitución de medio ángulo . A veces se atribuye erróneamente como la sustitución de Weierstrass . ^[7] Michael Spivak la llamó la "sustitución más furtiva del mundo". ^[8]

La sustitución

La sustitución de la mitad del ángulo tangente relaciona un ángulo con la pendiente de una línea.

Al introducir una nueva variable, los senos y cosenos se pueden expresar como funciones racionales de y se pueden expresar como el producto de y una función racional de de la siguiente manera: ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}},}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle t,}$ $${\displaystyle \sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad {\text{and}}\quad dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$$

Se pueden escribir expresiones similares para tan x , cot x , sec x y csc x .

Derivación

Usando las fórmulas del doble ángulo y introduciendo denominadores iguales a uno por la identidad pitagórica se obtiene ${\displaystyle \sin x=2\sin {\tfrac {x}{2}}\cos {\tfrac {x}{2}}}$ ${\displaystyle \cos x=\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}$ ${\displaystyle 1=\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Finalmente, dado que las reglas de diferenciación implican ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$

$${\displaystyle dt={\tfrac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {1+t^{2}}{2}}\,dx,}$$y por lo tanto $${\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt.}$$

Ejemplos

Antiderivada de la cosecante

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\tfrac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}$$

Podemos confirmar el resultado anterior utilizando un método estándar para evaluar la integral cosecante multiplicando el numerador y el denominador por y realizando la sustitución . ${\textstyle \csc x-\cot x}$ ${\textstyle u=\csc x-\cot x,}$ ${\textstyle du=\left(-\csc x\cot x+\csc ^{2}x\right)\,dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}}\,dx\\[6pt]&=\int {\frac {\left(\csc ^{2}x-\csc x\cot x\right)\,dx}{\csc x-\cot x}}\qquad u=\csc x-\cot x\\[6pt]&=\int {\frac {du}{u}}\\[6pt]&=\ln |u|+C\\[6pt]&=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C.\end{aligned}}}$$

Estas dos respuestas son las mismas porque ${\textstyle \csc x-\cot x=\tan {\tfrac {x}{2}}\colon }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\csc x-\cot x&={\frac {1}{\sin x}}-{\frac {\cos x}{\sin x}}\\[6pt]&={\frac {1+t^{2}}{2t}}-{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}{\frac {1+t^{2}}{2t}}\qquad \qquad t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&={\frac {2t^{2}}{2t}}=t\\[6pt]&=\tan {\tfrac {x}{2}}\end{aligned}}}$$

La integral secante se puede evaluar de manera similar.

Una integral definida

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}$$

En la primera línea, no se puede simplemente sustituir ambos límites de integración . Se debe tener en cuenta la singularidad (en este caso, una asíntota vertical ) de at . Alternativamente, primero se evalúa la integral indefinida y luego se aplican los valores de contorno. Por simetría, que es lo mismo que la respuesta anterior. ${\textstyle t=0}$ ${\textstyle t=\tan {\tfrac {x}{2}}}$ ${\textstyle x=\pi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int {\frac {1}{2+{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}}{\frac {2\,dt}{t^{2}+1}}&&t=\tan {\tfrac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{2(t^{2}+1)+(1-t^{2})}}=\int {\frac {2\,dt}{t^{2}+3}}\\[6pt]&={\frac {2}{3}}\int {\frac {dt}{{\bigl (}t{\big /}{\sqrt {3}}{\bigr )}^{2}+1}}&&u=t{\big /}{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int {\frac {du}{u^{2}+1}}&&\tan \theta =u\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int \cos ^{2}\theta \sec ^{2}\theta \,d\theta ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int d\theta \\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\theta +C={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {t}{\sqrt {3}}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)+C.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=2\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}=\lim _{b\rightarrow \pi }{\frac {4}{\sqrt {3}}}\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {x}{2}}}{\sqrt {3}}}\right){\Biggl |}_{0}^{b}\\[6pt]&={\frac {4}{\sqrt {3}}}{\Biggl [}\lim _{b\rightarrow \pi }\arctan \left({\frac {\tan {\tfrac {b}{2}}}{\sqrt {3}}}\right)-\arctan(0){\Biggl ]}={\frac {4}{\sqrt {3}}}\left({\frac {\pi }{2}}-0\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}},\end{aligned}}}$$

Tercer ejemplo: tanto seno como coseno

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{a\cos x+b\sin x+c}}&=\int {\frac {2\,dt}{a(1-t^{2})+2bt+c(t^{2}+1)}}\\[6pt]&=\int {\frac {2\,dt}{(c-a)t^{2}+2bt+a+c}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\arctan \left({\frac {(c-a)\tan {\tfrac {x}{2}}+b}{\sqrt {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}}}\right)+C\end{aligned}}}$$si ${\textstyle c^{2}-(a^{2}+b^{2})>0.}$

Geometría

La sustitución de la mitad del ángulo tangente parametriza el círculo unitario centrado en (0, 0). En lugar de +∞ y −∞, tenemos solo un ∞ en ambos extremos de la línea real. Esto suele ser apropiado cuando se trabaja con funciones racionales y funciones trigonométricas. (Esta es la compactificación de la línea en un punto ).

A medida que x varía, el punto (cos  x , sen  x ) gira repetidamente alrededor del círculo unitario centrado en (0, 0). El punto

$${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$$

da una sola vuelta alrededor del círculo cuando t va de −∞ a +∞, y nunca alcanza el punto (−1, 0), al que se aproxima como límite cuando t se aproxima a ±∞. Cuando t va de −∞ a −1, el punto determinado por t pasa por la parte del círculo en el tercer cuadrante, de (−1, 0) a (0, −1). Cuando t va de −1 a 0, el punto sigue la parte del círculo en el cuarto cuadrante de (0, −1) a (1, 0). Cuando t va de 0 a 1, el punto sigue la parte del círculo en el primer cuadrante de (1, 0) a (0, 1). Finalmente, cuando t va de 1 a +∞, el punto sigue la parte del círculo en el segundo cuadrante de (0, 1) a (−1, 0).

He aquí otro punto de vista geométrico. Dibujemos el círculo unitario y sea P el punto (−1, 0) . Una línea que pasa por P (excepto la línea vertical) está determinada por su pendiente. Además, cada una de las líneas (excepto la línea vertical) interseca el círculo unitario en exactamente dos puntos, uno de los cuales es P. Esto determina una función desde los puntos del círculo unitario hasta las pendientes. Las funciones trigonométricas determinan una función desde los ángulos hasta los puntos del círculo unitario y, al combinar estas dos funciones, tenemos una función desde los ángulos hasta las pendientes.

Funciones hiperbólicas

Al igual que con otras propiedades compartidas entre las funciones trigonométricas y las funciones hiperbólicas, es posible utilizar identidades hiperbólicas para construir una forma similar de la sustitución, : ${\textstyle t=\tanh {\tfrac {x}{2}}}$

$${\displaystyle \sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}},\quad \cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}},\quad {\text{and}}\quad dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt.}$$

Se pueden escribir expresiones similares para tanh x , coth x , sech x y csch x . Geométricamente, este cambio de variables es una proyección estereográfica unidimensional de la línea hiperbólica sobre el intervalo real, análoga al modelo de disco de Poincaré del plano hiperbólico.

Alternativas

Existen otros enfoques para integrar funciones trigonométricas. Por ejemplo, puede resultar útil reescribir las funciones trigonométricas en términos de e ^ix y e ^{− ix} utilizando la fórmula de Euler .

Véase también

• Portal de matemáticas

• Curva racional
• Proyección estereográfica
• Fórmula del semiángulo tangente
• Sustitución trigonométrica
• Sustitución de Euler

Lectura adicional

• Courant, Richard (1937) [1934]. "1.4.6. Integración de algunas otras clases de funciones §1–3" . Cálculo diferencial e integral . Vol. 1. Blackie & Son. págs. 234–237.
• Edwards, Joseph (1921). "§1.6.193". Tratado sobre el cálculo integral . Vol. 1. Macmillan. págs. 187–188.
• Hardy, Godfrey Harold (1905). "VI. Funciones trascendentales". La integración de funciones de una sola variable . Cambridge. pp. 42–51.Segunda edición 1916, págs. 52-62
• Hermita, Charles (1873). "Intégration des fonctions trascendentes" [Integración de funciones trascendentales]. Cours d'analyse de l'école polytechnique (en francés). vol. 1. Gauthier-Villars. págs. 320–380.
• Stewart, Seán M. (2017). "14. Sustitución de semiángulos tangentes". Cómo integrarlo . Cambridge. págs. 178–187. doi :10.1017/9781108291507.015. ISBN . 978-1-108-41881-2.

Notas y referencias

1. Otras funciones trigonométricas se pueden escribir en términos de seno y coseno.
2. Gunter, Edmund (1673) [1624]. Las obras de Edmund Gunter. Francis Eglesfield.pág. 73
3. Euler, Leonhard (1768). "§1.1.5.261 Problema 29" (PDF) . Institutiones calculi integralis [ Fundamentos del cálculo integral ] (en latín). vol. I. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum. págs. 148-150. E 342, traducción de Ian Bruce.
   Véase también Lobatto, Rehuel (1832). "19. Nota sobre la integración de la función ∂z / (a ​​+ b cos z)". Diario de Crelle (en francés). 9 : 259–260.
4. Legendre, Adrien-Marie (1817). Exercices de calcul intégral [ Ejercicios de cálculo integral ] (en francés). vol. 2. Mensajero.pág. 245–246.
5. Por ejemplo, en orden cronológico,
   • Hermita, Charles (1873). Cours d'analyse de l'école polytechnique (en francés). vol. 1. Gauthier-Villars. pag. 320.
   • Johnson, William Woolsey (1883). Tratado elemental sobre el cálculo integral. MacMillan. pág. 52.
   • Picard, Émile (1901) [1891]. Traité d'analyse (en francés). vol. 1 (2e ed.). Gauthier-Villars. pag. 77.
   • Goursat, Édouard (1904) [1902]. Un curso de análisis matemático. Vol. 1. Traducido por Hedrick, Earle Raymond. Ginn. págs. 236 y siguientes.
   • Wilson, Edwin Bidwell (1911). Cálculo avanzado. Ginn. pág. 21.
   • Edwards, Joseph (1921). Tratado sobre el cálculo integral. Vol. 1. MacMillan. págs. 187–188.
   • Courant, Richard (1937) [1930]. Cálculo diferencial e integral. Vol. 1. Traducido por McShane, EJ (2.ª ed.). Blackie & Son. págs. 234–238.
   • Peterson, Thurman S. (1950). Elementos de cálculo . Harper & Brothers. págs. 201–202.
   • Apostol, Tom M. (1967) [1961]. Cálculo . Vol. 1 (2.ª ed.). Xerox. págs. 264–265.
   • Larson, Ron ; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (1998) [1978]. Cálculo de una sola variable (6.ª ed.). Houghton Mifflin. pág. 520. ISBN 9780395885789.
   • Rogawski, Jon (2011) [2008]. Cálculo: primeros trascendentales (2ª ed.). Macmillan. pag. 435.ISBN​ 9781429231848.
6. Piskunov, Nikolai (1969). Cálculo diferencial e integral. Mir. pág. 379.
   Zaitsev, VV; Ryzhkov, VV; Skanavi, MI (1978). Matemáticas elementales: un curso de repaso . Ėlementarnai͡a matematika.English. Mir. pág. 388.
7. En 1966, William Eberlein atribuyó esta sustitución a Karl Weierstrass (1815-1897):
   Eberlein, William Frederick (1966). "Las funciones circulares". Mathematics Magazine . 39 (4): 197–201. doi :10.1080/0025570X.1966.11975715. JSTOR  2688079. (Las ecuaciones (3) [ ], ${\displaystyle x=\cos \theta }$ (4) [ ], ${\displaystyle y=\sin \theta }$ (5) [ ] ${\displaystyle t=\tan {\tfrac {\theta }{2}}}$ son, por supuesto, las conocidas sustituciones de medio ángulo introducidas por Weierstrass para integrar funciones racionales de seno y coseno.)
   Dos décadas después, James Stewart mencionó a Weierstrass al analizar la sustitución en su popular libro de texto de cálculo, publicado por primera vez en 1987:
   Stewart, James (1987). "§7.5 Racionalización de sustituciones" . Cálculo . Brooks/Cole. pág. 431. ISBN. 9780534066901El matemático alemán Karl Weierstrass (1815–1897) observó que la sustitución t = tan( x /2) convertirá cualquier función racional de sen x y cos x en una función racional ordinaria.

   Autores posteriores, citando a Stewart, a veces se han referido a esto como la sustitución de Weierstrass , por ejemplo:

   • Jeffrey, David J.; Rich, Albert D. (1994). "La evaluación de integrales trigonométricas evitando discontinuidades espurias". Transactions on Mathematical Software . 20 (1): 124–135. doi : 10.1145/174603.174409 . S2CID  13891212.
   • Merlet, Jean-Pierre (2004). "Una nota sobre la historia de las funciones trigonométricas" (PDF) . En Ceccarelli, Marco (ed.). Simposio internacional sobre la historia de las máquinas y los mecanismos . Kluwer. pp. 195–200. doi :10.1007/1-4020-2204-2_16. ISBN. 978-1-4020-2203-6.
   • Weisstein, Eric W. (2011). "Sustitución de Weierstrass". MathWorld . Consultado el 1 de abril de 2020 .
   Ni Eberlein ni Stewart aportaron ninguna prueba de la atribución a Weierstrass. Una sustitución relacionada aparece en las Obras matemáticas de Weierstrass , de una conferencia de 1875 en la que Weierstrass atribuye a Carl Gauss (1818) la idea de resolver una integral de la forma mediante la sustitución ${\textstyle \int d\psi \,H(\sin \psi ,\cos \psi ){\big /}{\sqrt {G(\sin \psi ,\cos \psi )}}}$ ${\textstyle t=-\cot(\psi /2).}$

   Weierstrass, Karl (1915) [1875]. "8. Bestimmung des Integrals ...". Mathematische Werke von Karl Weierstrass (en alemán). vol. 6. Mayer & Müller. págs. 89–99.

8. Spivak, Michael (1967). "Cap. 9, problemas 9-10". Cálculo . Benjamin. págs. 325-326.

Enlaces externos

• Fórmulas de sustitución de Weierstrass en PlanetMath