Listas de integrales

La integración es la operación básica del cálculo integral . Mientras que la diferenciación tiene reglas sencillas por las que se puede hallar la derivada de una función complicada derivando sus funciones componentes más simples, la integración no las tiene, por lo que las tablas de integrales conocidas suelen ser útiles. En esta página se enumeran algunas de las antiderivadas más comunes .

Desarrollo histórico de las integrales

Una compilación de una lista de integrales (Integraltafeln) y técnicas de cálculo integral fue publicada por el matemático alemán Meier Hirsch  [de] (también escrito Meyer Hirsch) en 1810. ^[1] Estas tablas fueron republicadas en el Reino Unido en 1823. Tablas más extensas fueron compiladas en 1858 por el matemático holandés David Bierens de Haan para sus Tables d'intégrales définies , complementadas por Supplément aux tables d'intégrales définies en ca. 1864. Una nueva edición fue publicada en 1867 bajo el título Nouvelles tables d'intégrales définies .

Estas tablas, que contienen principalmente integrales de funciones elementales, se utilizaron hasta mediados del siglo XX, cuando fueron reemplazadas por las tablas mucho más extensas de Gradshteyn y Ryzhik . En Gradshteyn y Ryzhik, las integrales que se originaron en el libro de Bierens de Haan se denotan con BI.

No todas las expresiones en forma cerrada tienen antiderivadas en forma cerrada; este estudio constituye el tema de la teoría diferencial de Galois , que fue desarrollada inicialmente por Joseph Liouville en las décadas de 1830 y 1840, lo que condujo al teorema de Liouville , que clasifica qué expresiones tienen antiderivadas en forma cerrada. Un ejemplo simple de una función sin una antiderivada en forma cerrada es e ^{− x 2} , cuya antiderivada es (salvo constantes) la función de error .

Desde 1968 existe el algoritmo de Risch para determinar integrales indefinidas que pueden expresarse en términos de funciones elementales , generalmente utilizando un sistema de álgebra computacional . Las integrales que no pueden expresarse mediante funciones elementales pueden manipularse simbólicamente utilizando funciones generales como la función G de Meijer .

Listas de integrales

Se pueden encontrar más detalles en las siguientes páginas para las listas de integrales :

• Lista de integrales de funciones racionales
• Lista de integrales de funciones irracionales
• Lista de integrales de funciones trigonométricas
• Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas
• Lista de integrales de funciones exponenciales
• Lista de integrales de funciones logarítmicas
• Lista de integrales de funciones gaussianas

La Tabla de integrales, series y productos de Gradshteyn , Ryzhik , Geronimus , Tseytlin , Jeffrey, Zwillinger y Moll (GR) contiene una gran colección de resultados. Una tabla aún más grande, de varios volúmenes, es Integrales y series de Prudnikov , Brychkov y Marichev (con volúmenes 1 a 3 que enumeran integrales y series de funciones elementales y especiales , volúmenes 4 y 5 son tablas de transformadas de Laplace ). Se pueden encontrar colecciones más compactas en, por ejemplo, las Tablas de integrales indefinidas de Brychkov, Marichev y Prudnikov , o como capítulos en las Tablas y fórmulas matemáticas estándar CRC de Zwillinger o en la Guía de matemáticas , el Manual de matemáticas o la Guía del usuario de matemáticas de Bronshtein y Semendyayev , y otros manuales matemáticos.

Otros recursos útiles son Abramowitz y Stegun y el Bateman Manuscript Project . Ambos trabajos contienen muchas identidades relacionadas con integrales específicas, que están organizadas con el tema más relevante en lugar de estar reunidas en una tabla separada. Dos volúmenes del Bateman Manuscript son específicos para las transformadas integrales.

Existen varios sitios web que ofrecen tablas de integrales e integrales a pedido. Wolfram Alpha puede mostrar resultados y, para algunas expresiones más simples, también los pasos intermedios de la integración. Wolfram Research también opera otro servicio en línea, el Integrador en línea de Mathematica.

Integrales de funciones simples

C se utiliza para una constante de integración arbitraria que solo se puede determinar si se conoce algo sobre el valor de la integral en algún punto. Por lo tanto, cada función tiene un número infinito de antiderivadas .

Estas fórmulas sólo expresan de otra forma las afirmaciones de la tabla de derivadas .

Integrales con singularidad

Cuando hay una singularidad en la función que se está integrando de modo que la antiderivada se vuelve indefinida o en algún punto (la singularidad), entonces C no necesita ser el mismo en ambos lados de la singularidad. Las formas que se muestran a continuación normalmente suponen el valor principal de Cauchy alrededor de una singularidad en el valor de C, pero esto, en general, no es necesario. Por ejemplo, en hay una singularidad en 0 y la antiderivada se vuelve infinita allí. Si se utilizara la integral anterior para calcular una integral definida entre −1 y 1, se obtendría la respuesta incorrecta 0. Sin embargo, este es el valor principal de Cauchy de la integral alrededor de la singularidad. Si la integración se realiza en el plano complejo, el resultado depende del camino alrededor del origen; en este caso, la singularidad contribuye − i π cuando se utiliza un camino por encima del origen e i π para un camino por debajo del origen. Una función en la línea real podría utilizar un valor completamente diferente de C en cada lado del origen como en: ^[2] $${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$$ $${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$

Funciones racionales

• ${\displaystyle \int a\,dx=ax+C}$

La siguiente función tiene una singularidad no integrable en 0 para n ≤ −1 :

• ${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$( Fórmula de cuadratura de Cavalieri )
• ${\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$
• ${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$
  • De manera más general, ^[3] $${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$$
• ${\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Funciones exponenciales

• ${\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$
• ${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$
• ${\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)+f'\left(x\right)\right)\,dx}=e^{x}f\left(x\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {e^{x}\left(f\left(x\right)-\left(-1\right)^{n}{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=e^{x}\sum _{k=1}^{n}{\left(-1\right)^{k-1}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}}+C}$
  (si es un entero positivo) ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle \int {e^{-x}\left(f\left(x\right)-{\frac {d^{n}f\left(x\right)}{dx^{n}}}\right)\,dx}=-e^{-x}\sum _{k=1}^{n}{\frac {d^{k-1}f\left(x\right)}{dx^{k-1}}}+C}$
  (si es un entero positivo) ${\displaystyle n}$

Logaritmos

• ${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C}$
• ${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)+C}$

Funciones trigonométricas

• ${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}\right|}+C=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$
  • (Véase Integral de la función secante . Este resultado fue una conjetura muy conocida en el siglo XVII.)
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$
• ${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}$
  • (Ver integral de secante al cubo .)
• ${\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$
• ${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

Funciones trigonométricas inversas

• ${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1}$
• ${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq 1}$
• ${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

Funciones hiperbólicas

• ${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$
• ${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$
• ${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln |\operatorname {coth} x-\operatorname {csch} x|+C=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} ^{2}x\,dx=\tanh x+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} ^{2}x\,dx=-\operatorname {coth} x+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {sech} {x}\,\operatorname {tanh} {x}\,dx=-\operatorname {sech} {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {csch} {x}\,\operatorname {coth} {x}\,dx=-\operatorname {csch} {x}+C}$

Funciones hiperbólicas inversas

• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arctanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arctanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arcsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {arccsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arccsch} \,x+\vert \operatorname {arcsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Productos de funciones proporcionales a sus segundas derivadas

• ${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}$
• ${\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}$

Funciones de valor absoluto

Sea f una función continua que tiene como máximo un cero . Si f tiene un cero, sea g la única antiderivada de f que es cero en la raíz de f ; en caso contrario, sea g cualquier antiderivada de f . Entonces, donde sgn( x ) es la función de signo , que toma los valores −1, 0, 1 cuando x es respectivamente negativo, cero o positivo. $${\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,}$$

Esto se puede demostrar calculando la derivada del lado derecho de la fórmula, teniendo en cuenta que la condición en g es aquí para asegurar la continuidad de la integral.

Esto da las siguientes fórmulas (donde a ≠ 0 ), que son válidas en cualquier intervalo donde f sea continua (en intervalos más grandes, la constante C debe reemplazarse por una función constante por partes ):

• ${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C}$
  cuando n es impar, y . ${\displaystyle n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}$
  cuando para algún entero n . ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}$
  cuando para algún entero n . ${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}$
  cuando para algún entero n . ${\textstyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}$
  cuando para algún entero n . ${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$

Si la función f no tiene ninguna antiderivada continua que tome el valor cero en los ceros de f (este es el caso de las funciones seno y coseno), entonces sgn( f ( x )) ∫ f ( x ) dx es una antiderivada de f en cada intervalo en el que f no sea cero, pero puede ser discontinua en los puntos donde f ( x ) = 0 . Para tener una antiderivada continua, uno tiene que agregar una función escalonada bien elegida . Si también usamos el hecho de que los valores absolutos de seno y coseno son periódicos con período π , entonces obtenemos:

• ${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}$ ^{[ cita requerida ]}
• ${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}$ ^{[ cita requerida ]}

Funciones especiales

Ci , Si : Integrales trigonométricas , Ei : Integral exponencial , li : Función integral logarítmica , erf : Función de error

• ${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$
• ${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$
• ${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}$

Integrales definidas que carecen de antiderivadas en forma cerrada

Existen algunas funciones cuyas antiderivadas no pueden expresarse en forma cerrada . Sin embargo, se pueden calcular los valores de las integrales definidas de algunas de estas funciones en algunos intervalos comunes. A continuación se presentan algunas integrales útiles.

• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$(ver también función Gamma )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$para a > 0 (la integral gaussiana )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}}$para un > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}$
  para a > 0 , n es un entero positivo y !! es el factorial doble .
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$cuando a > 0
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$
  para a > 0 , n = 0, 1, 2, ....
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (ver también número de Bernoulli )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$(ver función sinc y la integral de Dirichlet )
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$
  (si n es un entero positivo y !! es el factorial doble ).
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (para α , β , m , n enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , véase también Coeficiente binomial )
• ${\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$
  (para α , β reales, n un entero no negativo y m un entero impar positivo; ya que el integrando es impar )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (para α , β , m , n enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , véase también Coeficiente binomial )
• ${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$
  (para α , β , m , n enteros con β ≠ 0 y m , n ≥ 0 , véase también Coeficiente binomial )
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$
  (donde exp[ u ] es la función exponencial e ^u , y a > 0 .)
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$
  (donde está la función Gamma ) ${\displaystyle \Gamma (z)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$
  (para Re( α ) > 0 y Re( β ) > 0 , ver función Beta )
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (donde I ₀ ( x ) es la función de Bessel modificada del primer tipo)
• ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}$
  (para ν > 0 , esto está relacionado con la función de densidad de probabilidad de la distribución t de Student )

Si la función f tiene variación acotada en el intervalo [ a , b ] , entonces el método de agotamiento proporciona una fórmula para la integral: $${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$$

El " sueño del segundo año ": atribuido a Johann Bernoulli . $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}$$

Véase también

• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Función gamma incompleta  – Tipos de funciones matemáticas especiales
• Suma indefinida  : la inversa de una diferencia finitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Integración mediante la fórmula de Euler  – Uso de números complejos para evaluar integrales
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales pueden expresarse como funciones elementales.
• Lista de límites
• Lista de identidades matemáticas
• Lista de series matemáticas
• Integral no elemental  – Integrales que no se pueden expresar en forma cerrada a partir de funciones elementales
• Integración simbólica  – Cálculo de una antiderivada

Referencias

1. Hirsch, Meyer (1810). Integraltafeln: oder, Sammlung von integralformeln (en alemán). Duncker y Humblot.
2. Serge Lang . Un primer curso de cálculo , 5.ª edición, pág. 290
3. "Encuesta de lectores: log|x| + C", Tom Leinster, The n- category Café , 19 de marzo de 2012

Lectura adicional

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. Grosche, Günter; Ziegler, Víctor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik (en alemán). vol. 1. Traducido por Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun y Fráncfort del Meno: Verlag Harri Deutsch (y BG Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). ISBN 3-87144-492-8.
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de integrales, series y productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8.ª ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.(También varias ediciones anteriores.)
• Prudnikov, Anatolii Platonovich (Прудников, Анатолий Платонович) ; Brychkov, Yuri A. (Брычков, Ю. А.); Marichev, Oleg Igorevich (Маричев, Олег Игоревич) (1988-1992) [1981-1986 (ruso)]. Integrales y Series . vol. 1–5. Traducido por Queen, NM (1 ed.). ( Nauka ) Gordon & Breach Science Publishers/ CRC Press . ISBN 2-88124-097-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link). Segunda edición revisada (ruso), volúmenes 1-3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yuri A. Brychkov (Ю. А. Брычков), Manual de funciones especiales: derivadas, integrales, series y otras fórmulas . Edición rusa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Edición inglesa, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, ISBN 1-58488-956-X / 9781584889564. 
• Daniel Zwillinger. Tablas y fórmulas matemáticas estándar del CRC , 31.ª edición. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-291-3 . (También se incluyen muchas ediciones anteriores). 
• Meyer Hirsch  [delaware] , Integraltafeln oder Sammlung von Integralformeln (Duncker und Humblot, Berlín, 1810)
• Meyer Hirsch  [de] , Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, Londres, 1823) [Traducción al inglés de Integraltafeln ]
• David Bierens de Haan , Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Benjamin O. Pierce Una breve tabla de integrales - edición revisada (Ginn & co., Boston, 1899)

Enlaces externos

Tablas de integrales

• Notas de matemáticas en línea de Paul
• A. Dieckmann, Tabla de integrales (funciones elípticas, raíces cuadradas, tangentes inversas y funciones más exóticas): Integrales indefinidas Integrales definidas
• Matemáticas: tabla de integrales
• O'Brien, Francis J. Jr. "500 integrales de funciones elementales y especiales".Integrales derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y funciones especiales.
• Integración basada en reglas Reglas de integración indefinidas definidas con precisión que cubren una amplia clase de integrandos
• Mathar, Richard J. (2012). "Otra tabla de integrales". arXiv : 1207.5845 [math.CA].

Derivaciones

• Victor Hugo Moll, Las integrales en Gradshteyn y Ryzhik

Servicio en línea

• Ejemplos de integración para Wolfram Alpha

Programas de código abierto

• Interfaz gráfica de usuario wxmaxima para la resolución simbólica y numérica de muchos problemas matemáticos

Vídeos

• La técnica de integración más poderosa que existe. Vídeo de YouTube de Flammable Maths sobre simetrías