Integral de secante al cubo

Integral común y complicada

La integral de la secante al cubo es una integral indefinida frecuente y desafiante ^{[1] del} cálculo elemental :

${\textstyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+{\tfrac {1}{2}}\int \sec x\,dx+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\operatorname {gd} ^{-1}x)+C,\qquad |x|<{\tfrac {1}{2}}\pi \end{aligned}}}$

donde es la función Gudermanniana inversa , la integral de la función secante . ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$

Hay varias razones por las que esta antiderivada en particular merece especial atención:

• La técnica utilizada para reducir integrales de potencias secantes impares mayores a potencias menores está plenamente presente en este caso, el más simple. Los demás casos se realizan de la misma manera.
• La utilidad de las funciones hiperbólicas en la integración se puede demostrar en casos de potencias impares de secante ( también se pueden incluir potencias de tangente ).
• Esta es una de varias integrales que generalmente se realizan en un curso de cálculo de primer año en el que la forma más natural de proceder implica integrar por partes y regresar a la misma integral con la que se empezó (otra es la integral del producto de una función exponencial con una función seno o coseno ; otra más es la integral de una potencia de la función seno o coseno).
• Esta integral se utiliza para evaluar cualquier integral de la forma

${\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx,}$

donde es una constante. En particular, aparece en los problemas de: ${\displaystyle a}$

• rectificando la parábola y la espiral de Arquímedes
• Encontrar el área de la superficie del helicoide .

Derivaciones

Integración por partes

Esta antiderivada se puede encontrar por integración por partes , de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du}$

dónde

${\displaystyle u=\sec x,\quad dv=\sec ^{2}x\,dx,\quad v=\tan x,\quad du=\sec x\tan x\,dx.}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}}$

A continuación, añade a ambos lados: ^[a] ${\textstyle \int \sec ^{3}x\,dx}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&=\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C,\end{aligned}}}$

utilizando la integral de la función secante , ^[2] ${\textstyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C.}$

Finalmente, dividimos ambos lados por 2:

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C,}$

que se debía derivar. ^[2] Un posible mnemónico es: "La integral de la secante al cubo es el promedio de la derivada y la integral de la secante".

Reducción a una integral de una función racional

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}}$

donde , de modo que . Esto admite una descomposición por fracciones parciales : ${\displaystyle u=\sin x}$ ${\displaystyle du=\cos x\,dx}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}={\frac {1}{4(1+u)}}+{\frac {1}{4(1+u)^{2}}}+{\frac {1}{4(1-u)}}+{\frac {1}{4(1-u)^{2}}}.}$

Antidiferenciando término por término, se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{4}}\ln |1+u|-{\frac {1}{4(1+u)}}-{\tfrac {1}{4}}\ln |1-u|+{\frac {1}{4(1-u)}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+u}{1-u}}{\Biggl |}+{\frac {u}{2(1-u^{2})}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\Biggl |}+{\frac {\sin x}{2\cos ^{2}x}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{1-\sin ^{2}x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{\cos ^{2}x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\ln |\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)+C.\end{aligned}}}$

Alternativamente, se puede utilizar la sustitución del medio ángulo tangente para cualquier función racional de funciones trigonométricas; para este integrando particular, ese método conduce a la integración de

${\displaystyle {\frac {2(1+u^{2})^{2}}{(1-u^{2})^{3}}}={\frac {1}{2(1+u)}}-{\frac {1}{2(1+u)^{2}}}+{\frac {1}{(1+u)^{3}}}+{\frac {1}{2(1-u)}}-{\frac {1}{2(1-u)^{2}}}+{\frac {1}{(1-u)^{3}}}.}$

Funciones hiperbólicas

Las integrales de la forma: se pueden reducir utilizando la identidad pitagórica si es par o y son impares. Si es impar y es par, se pueden utilizar sustituciones hiperbólicas para reemplazar la integración anidada por partes con fórmulas hiperbólicas reductoras de potencia. ${\displaystyle \int \sec ^{n}x\tan ^{m}x\,dx}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec x&=\cosh u\\[6pt]\tan x&=\sinh u\\[6pt]\sec ^{2}x\,dx&=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{aligned}}}$

Nótese que esto se sigue directamente de esta sustitución. ${\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int \cosh ^{2}u\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\int (\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}\sinh 2u+u\right)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\end{aligned}}}$

Potencias impares más altas de la secante

De la misma manera que la integración por partes anterior redujo la integral de la secante al cubo a la integral de la secante a la primera potencia, un proceso similar reduce la integral de potencias impares más altas de la secante a potencias más bajas. Esta es la fórmula de reducción de la secante, que sigue la sintaxis:

${\displaystyle \int \sec ^{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{ (for }}n\neq 1{\text{)}}\,\!}$

Incluso las potencias de tangentes se pueden acomodar utilizando la expansión binomial para formar un polinomio impar de secante y utilizando estas fórmulas en el término más grande y combinando términos similares.

Véase también

• Listas de integrales

Notas

1. Las constantes de integración se absorben en el término integral restante.

Referencias

1. Spivak, Michael (2008). "Integración en términos elementales". Cálculo , pág. 382. Esta es una integral complicada e importante que surge a menudo.
2. Stewart, James (2012). "Sección 7.2: Integrales trigonométricas". Cálculo: trascendentales tempranas . Estados Unidos: Cengage Learning. págs. 475-476. ISBN 978-0-538-49790-9.