Gavilla (matemáticas)

Herramienta para rastrear datos definidos localmente adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico

En matemáticas , una gavilla ( pl.: gavillas ) es una herramienta para rastrear sistemáticamente datos (como conjuntos , grupos abelianos , anillos ) adjuntos a los conjuntos abiertos de un espacio topológico y definidos localmente con respecto a ellos. Por ejemplo, para cada conjunto abierto, los datos podrían ser el anillo de funciones continuas definidas en ese conjunto abierto. Dichos datos se comportan bien porque pueden restringirse a conjuntos abiertos más pequeños y, además, los datos asignados a un conjunto abierto son equivalentes a todas las colecciones de datos compatibles asignados a colecciones de conjuntos abiertos más pequeños que cubren el conjunto abierto original (intuitivamente, cada dato es la suma de sus datos constituyentes).

El campo de las matemáticas que estudia las gavillas se llama teoría de las gavillas .

Las gavillas se entienden conceptualmente como objetos generales y abstractos . Su definición correcta es bastante técnica. Se definen específicamente como haces de conjuntos o como haces de anillos , por ejemplo, dependiendo del tipo de datos asignados a los conjuntos abiertos.

También hay mapas (o morfismos ) de un haz a otro; las gavillas (de un tipo específico, como las gavillas de grupos abelianos ) con sus morfismos en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por otro lado, a cada mapa continuo hay asociado un funtor de imagen directo , que lleva haces y sus morfismos en el dominio a haces y morfismos en el codominio , y un funtor de imagen inverso que opera en la dirección opuesta. Estos functores , y ciertas variantes de ellos, son partes esenciales de la teoría de gavillas.

Debido a su naturaleza general y versatilidad, las poleas tienen varias aplicaciones en topología y especialmente en geometría algebraica y diferencial . En primer lugar, las estructuras geométricas como la de una variedad diferenciable o un esquema se pueden expresar en términos de un haz de anillos en el espacio. En tales contextos, varias construcciones geométricas, como paquetes de vectores o divisores , se especifican naturalmente en términos de haces. En segundo lugar, las gavillas proporcionan el marco para una teoría de cohomología muy general , que abarca también las teorías de cohomología topológica "habituales", como la cohomología singular . Especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , la cohomología de gavilla proporciona un vínculo poderoso entre las propiedades topológicas y geométricas de los espacios. Las poleas también proporcionan la base para la teoría de los módulos D , que proporcionan aplicaciones a la teoría de ecuaciones diferenciales . Además, las generalizaciones de haces a entornos más generales que los espacios topológicos, como la topología de Grothendieck , han proporcionado aplicaciones a la lógica matemática y a la teoría de números .

Definiciones y ejemplos

En muchas ramas matemáticas, varias estructuras definidas en un espacio topológico (por ejemplo, una variedad diferenciable ) pueden localizarse naturalmente o restringirse a subconjuntos abiertos : los ejemplos típicos incluyen funciones continuas de valor real o complejas , veces diferenciables (de valor real o funciones de valores complejos), funciones acotadas de valores reales, campos vectoriales y secciones de cualquier paquete de vectores en el espacio. La capacidad de restringir datos a subconjuntos abiertos más pequeños da lugar al concepto de presheaves. En términos generales, las gavillas son aquellas prehaces donde los datos locales se pueden unir a los datos globales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle n}$

Presheaves

Sea un espacio topológico. Un prehaz de conjuntos consta de los siguientes datos: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$

• Para cada conjunto abierto de , existe un conjunto . Este conjunto también se denota . Los elementos de este conjunto se denominan secciones de over . Las secciones de over se denominan secciones globales de . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• Para cada inclusión de conjuntos abiertos , una función . En vista de muchos de los ejemplos siguientes, los morfismos se denominan morfismos de restricción . Si , entonces su restricción a menudo se denota por analogía con la restricción de funciones. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}\colon F(U)\rightarrow F(V)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{V,U}(s)}$ ${\displaystyle s|_{V}}$

Los morfismos de restricción deben satisfacer dos propiedades ( funtoriales ) adicionales:

• Para cada conjunto abierto de , el morfismo de restricción es el morfismo de identidad de . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}\colon F(U)\rightarrow F(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$
• Si tenemos tres conjuntos abiertos , entonces el compuesto ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\text{res}}_{W,V}\circ {\text{res}}_{V,U}={\text{res}}_{W,U}}$

Informalmente, el segundo axioma dice que no importa si restringimos a W en un paso o restringimos primero a V y luego a W. Más adelante se ofrece una reformulación funcional concisa de esta definición.

Muchos ejemplos de presheaves provienen de diferentes clases de funciones: a cualquiera , se puede asignar el conjunto de funciones continuas de valor real en . Los mapas de restricción se obtienen simplemente restringiendo una función continua a un subconjunto abierto más pequeño , que nuevamente es una función continua. Los dos axiomas del prehaz se comprueban inmediatamente, dando así un ejemplo de un prehaz. Esto se puede extender a un haz de funciones holomorfas y un haz de funciones suaves . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{0}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(-)}$

Otra clase común de ejemplos es la asignación al conjunto de funciones constantes de valor real en . Esta pregavilla se llama pregavilla constante asociada a y se denota . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\underline {\mathbb {R} }}^{psh}}$

gavillas

Dado un prehaz, una pregunta natural es hasta qué punto sus secciones sobre un conjunto abierto están especificadas por sus restricciones a subconjuntos abiertos de . Una gavilla es una pregavilla cuyas secciones están, en un sentido técnico, determinadas únicamente por sus restricciones. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Axiomáticamente, una gavilla es una pregavilla que satisface los dos axiomas siguientes:

1. ( Localidad ) Supongamos que es un conjunto abierto, es una cubierta abierta para todos y son secciones. Si es por todos , entonces . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=t|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle s=t}$
2. ( Pegado ) Supongamos que es un conjunto abierto, una cubierta abierta de con para todos y una familia de secciones. Si todos los pares de secciones coinciden en la superposición de sus dominios, es decir, si para todos , entonces existe una sección tal que para todos . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}\subseteq U}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \{s_{i}\in F(U_{i})\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle s_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s|_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

En ambos axiomas, la hipótesis sobre la cubierta abierta equivale a la suposición de que . ${\textstyle \bigcup _{i\in I}U_{i}=U}$

La sección cuya existencia está garantizada por el axioma 2 se llama pegado , concatenación o colación de las secciones s _i . Según el axioma 1 es único. Las secciones y el cumplimiento de la condición previa de concordancia del axioma 2 a menudo se denominan compatibles ; por lo tanto, los axiomas 1 y 2 juntos establecen que cualquier colección de secciones compatibles por pares se puede pegar de forma única . Una prehaz separada , o monoprehaz , es una prehaz que satisface el axioma 1. ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$

La pregavilla que consta de funciones continuas mencionadas anteriormente es una gavilla. Esta afirmación se reduce a comprobar que, dadas funciones continuas que concuerdan en las intersecciones , existe una función continua única cuya restricción es igual a . Por el contrario, la pregavilla constante no suele ser una gavilla, ya que no satisface el axioma de localidad en el conjunto vacío (esto se explica con más detalle en la gavilla constante ). ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{i}}$

Las gavillas previas y las gavillas generalmente se indican con letras mayúsculas, siendo particularmente comunes, presumiblemente para la palabra francesa para gavilla, faisceau . También es común el uso de letras caligráficas como . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Se puede demostrar que para especificar una gavilla, basta con especificar su restricción a los conjuntos abiertos de una base para la topología del espacio subyacente. Además, también se puede demostrar que basta con verificar los axiomas de la gavilla anteriores en relación con los conjuntos abiertos de una cubierta. Esta observación se utiliza para construir otro ejemplo que es crucial en geometría algebraica, a saber, gavillas cuasi coherentes . Aquí el espacio topológico en cuestión es el espectro de un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$ , cuyos puntos son los ideales primos en . Los conjuntos abiertos forman una base para la topología de Zariski en este espacio. Dado un módulo , hay una gavilla, denotada por en Spec , que satisface ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{f}:=\{p\subseteq R,f\notin p\}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\tilde {M}}(D_{f}):=M[1/f],}$la localización de en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$

Existe otra caracterización de gavillas que es equivalente a la comentada anteriormente. Una pregavilla es una gavilla si y sólo si para cualquier cubierta abierta y cualquier cubierta abierta de , es el producto de fibra . Esta caracterización es útil en la construcción de haces, por ejemplo, si son haces abelianos, entonces el núcleo del morfismo de haces es un haz, ya que los límites proyectivos conmutan con los límites proyectivos. Por otro lado, el núcleo no siempre es un haz porque el límite inductivo no necesariamente conmuta con los límites proyectivos. Una de las formas de solucionar este problema es considerar espacios topológicos noetherianos; todos los conjuntos abiertos son compactos de modo que el cokernel es un haz, ya que los límites proyectivos finitos conmutan con los límites inductivos. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (U_{a})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\cong {\mathcal {F}}(U_{a})\times _{{\mathcal {F}}(U_{a}\cap U_{b})}{\mathcal {F}}(U_{b})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$

Más ejemplos

Haz de secciones de un mapa continuo.

Cualquier mapa continuo de espacios topológicos determina un haz al establecer ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (Y/X)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma (Y/X)(U)=\{s:U\to Y,f\circ s=\operatorname {id} _{U}\}.}$

Cualquiera de estos elementos se denomina comúnmente sección de y este ejemplo es la razón por la que los elementos de generalmente se denominan secciones. Esta construcción es especialmente importante cuando se trata de la proyección de un haz de fibras sobre su espacio base. Por ejemplo, los haces de funciones suaves son los haces de secciones del paquete trivial . Otro ejemplo: el haz de secciones de ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbb {C} {\stackrel {\exp }{\to }}\mathbb {C} \setminus \{0\}}$

es la gavilla que asigna a cualquiera el conjunto de ramas del logaritmo complejo en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Dado un punto y un grupo abeliano , el haz de rascacielos se define de la siguiente manera: si es un conjunto abierto que contiene , entonces . Si no contiene , entonces , el grupo trivial . Los mapas de restricción son la identidad en , si ambos conjuntos abiertos contienen , o el mapa cero en caso contrario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S_{x}(U)=0}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

Poleas en colectores

En una variedad -dimensional , hay una serie de haces importantes, como el haz de funciones -veces continuamente diferenciables (con ). Sus secciones sobre algunas abiertas son las funciones . Porque , esta gavilla se llama gavilla de estructura y se denota . Las funciones distintas de cero también forman una gavilla, denotada . Las formas diferenciales (de grado ) también forman una gavilla . En todos estos ejemplos, los morfismos de restricción vienen dados por funciones o formas restrictivas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}^{j}}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{j}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=k}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{M}^{p}}$

La asignación que se envía a las funciones soportadas de forma compacta no es un haz, ya que, en general, no hay forma de preservar esta propiedad pasando a un subconjunto abierto más pequeño. En cambio, esto forma una cosheaf , un concepto dual donde los mapas de restricción van en la dirección opuesta que con las gavillas. ^[3] Sin embargo, tomar el dual de estos espacios vectoriales da un haz, el haz de distribuciones . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Pre-haces que no son gavillas

Además de la constante pregavilla mencionada anteriormente, que generalmente no es una gavilla, existen otros ejemplos de pregavillas que no son gavillas:

• Sea el espacio topológico de dos puntos con topología discreta. Defina una pregavilla de la siguiente manera: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$ ${\displaystyle F}$
  $${\displaystyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},\ F(\{x\})=\mathbb {R} ,\ F(\{y\})=\mathbb {R} ,\ F(\{x,y\})=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$$
  El mapa de restricción es la proyección de sobre su primera coordenada y el mapa de restricción es la proyección de sobre su segunda coordenada. Es un prehaz que no está separado: una sección global está determinada por tres números, pero los valores de esa sección sobrepasan y determinan solo dos de esos números. Entonces, si bien podemos pegar dos secciones cualesquiera y , no podemos pegarlas de forma única. ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{x\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\{x,y\})\to F(\{y\})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$
• Sea la recta real y sea el conjunto de funciones continuas acotadas en . Esto no es una gavilla porque no siempre es posible pegarla. Por ejemplo, sea el conjunto de todos los que . La función identidad está acotada en cada uno . En consecuencia, tenemos una sección sobre . Sin embargo, estas secciones no se pegan porque la función no está limitada por la línea real. En consecuencia es una pregavilla, pero no una gavilla. De hecho, está separado porque es un sub-prehaz del haz de funciones continuas. ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|<i}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Gavillas motivadoras de espacios analíticos complejos y geometría algebraica.

Una de las motivaciones históricas para las gavillas proviene del estudio de variedades complejas , ^[4] geometría analítica compleja , ^[5] y la teoría de esquemas de la geometría algebraica . Esto se debe a que en todos los casos anteriores, consideramos un espacio topológico junto con un haz de estructuras que le da la estructura de una variedad compleja, un espacio analítico complejo o un esquema. Esta perspectiva de equipar un espacio topológico con un haz es esencial para la teoría de los espacios localmente anillados (ver más abajo). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Desafíos técnicos con variedades complejas

Una de las principales motivaciones históricas para introducir gavillas fue la construcción de un dispositivo que realiza un seguimiento de funciones holomorfas en variedades complejas . Por ejemplo, en una variedad compleja compacta (como el espacio proyectivo complejo o el lugar geométrico de fuga en el espacio proyectivo de un polinomio homogéneo ), las únicas funciones holomorfas ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$

son las funciones constantes. ^{[6] [7]} Esto significa que existen dos variedades complejas compactas que no son isomorfas, pero sin embargo sus anillos de funciones holomorfas globales, denotadas , son isomorfas. Compare esto con los colectores suaves donde cada colector puede incrustarse dentro de algunos , por lo que su anillo de funciones suaves proviene de restringir las funciones suaves . Otra complejidad al considerar el anillo de funciones holomorfas en una variedad compleja es que, dado un conjunto abierto lo suficientemente pequeño , las funciones holomorfas serán isomorfas . Las gavillas son una herramienta directa para abordar esta complejidad, ya que permiten realizar un seguimiento de la estructura holomorfa en el espacio topológico subyacente de subconjuntos abiertos arbitrarios . Esto significa que a medida que se vuelve más complejo topológicamente, el anillo se puede expresar pegando el . Nótese que en ocasiones esta gavilla se denota o simplemente , o incluso cuando queremos enfatizar el espacio al que está asociada la estructura de la gavilla. ${\displaystyle X,X'}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(X),{\mathcal {H}}(X')}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)\cong {\mathcal {H}}(\mathbb {C} ^{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}(U_{i})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Seguimiento de subcolectores con poleas.

Otro ejemplo común de gavillas se puede construir considerando una subvariedad compleja . Hay una gavilla asociada que toma un subconjunto abierto y da el anillo de funciones holomorfas . Se descubrió que este tipo de formalismo es extremadamente poderoso y motiva mucha álgebra homológica , como la cohomología de haces, ya que se puede construir una teoría de intersección utilizando este tipo de haces a partir de la fórmula de intersección de Serre. ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U\cap Y}$

Operaciones con poleas

Morfismos

Los morfismos de haces son, en términos generales, análogos a las funciones entre ellos. A diferencia de una función entre conjuntos, que es simplemente una asignación de salidas a entradas, también se requiere que los morfismos de las gavillas sean compatibles con las estructuras locales-globales de las gavillas subyacentes. Esta idea se precisa en la siguiente definición.

Sean y dos haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) en . Un morfismo consiste en un morfismo de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) para cada conjunto abierto de , sujeto a la condición de que este morfismo sea compatible con restricciones. En otras palabras, para todo subconjunto abierto de un conjunto abierto , el siguiente diagrama es conmutativo . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi :F\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{U}:F(U)\to G(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}F(U)&\xrightarrow {\quad \varphi _{U}\quad } &G(U)\\r_{V,U}{\Biggl \downarrow }&&{\Biggl \downarrow }r'_{V,U}\\F(V)&{\xrightarrow[{\quad \varphi _{V}\quad }]{}}&G(V)\end{array}}}$

Por ejemplo, tomar la derivada da un morfismo de gavillas en : De hecho, dada una función (veces continuamente diferenciable) (con en abierto), la restricción (a un subconjunto abierto más pequeño ) de su derivada es igual a la derivada de . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {R} }^{n-1}.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f|_{V}}$

Con esta noción de morfismo, haces de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) en un espacio topológico fijo forman una categoría . Por lo tanto, las nociones categóricas generales de mono , epi y isomorfismos se pueden aplicar a las gavillas. ${\displaystyle X}$

Un morfismo de gavillas es un isomorfismo (respectivamente monomorfismo) si y solo si existe una cubierta abierta de isomorfismos (respectivamente morfismos inyectivos) de conjuntos (respectivamente grupos abelianos, anillos, etc.) para todos . Estas afirmaciones dan ejemplos de cómo trabajar con haces utilizando información local, pero es importante tener en cuenta que no podemos comprobar si un morfismo de haces es un epimorfismo de la misma manera. De hecho, la afirmación de que los mapas en el nivel de conjuntos abiertos no siempre son sobreyectivos para epimorfismos de haces es equivalente a la no exactitud del functor de secciones globales o, de manera equivalente, a la no trivialidad de la cohomología de haces . ${\displaystyle \varphi \colon F\rightarrow G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varphi |_{U_{\alpha }}\colon F(U_{\alpha })\rightarrow G(U_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi _{U}\colon F(U)\rightarrow G(U)}$

Tallos de una gavilla

El tallo de una gavilla capta las propiedades de una gavilla "alrededor" de un punto , generalizando los gérmenes de funciones . Aquí, "alrededor" significa que, conceptualmente hablando, uno mira barrios cada vez más pequeños del punto. Por supuesto, ningún vecindario será lo suficientemente pequeño, lo que requiere considerar algún tipo de límite. Más precisamente, el tallo está definido por ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{U\ni x}{\mathcal {F}}(U),}$

el límite directo está sobre todos los subconjuntos abiertos que contienen el punto dado . En otras palabras, un elemento del tallo está dado por una sección sobre alguna vecindad abierta de , y dos de esas secciones se consideran equivalentes si sus restricciones coinciden en una vecindad más pequeña. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

El morfismo natural lleva una sección hasta su germen en . Esto generaliza la definición habitual de germen . ${\displaystyle F(U)\to F_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle x}$

En muchas situaciones, conocer los tallos de una gavilla es suficiente para controlarla. Por ejemplo, se puede probar en los tallos si un morfismo de gavillas es o no un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo. En este sentido, una gavilla está determinada por sus tallos, que son un dato local. Por el contrario, la información global presente en un haz, es decir, las secciones globales , es decir, las secciones de todo el espacio , normalmente contienen menos información. Por ejemplo, para una variedad compleja compacta , las secciones globales del haz de funciones holomorfas son justas , ya que cualquier función holomorfa ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle X\to \mathbb {C} }$

es constante según el teorema de Liouville . ^[6]

Convertir una pregavilla en una gavilla

Con frecuencia resulta útil tomar los datos contenidos en un prehaz y expresarlos como un haz. Resulta que existe la mejor manera posible de hacer esto. Toma una pregavilla y produce una nueva gavilla llamada gavilla o gavilla asociada a la pregavilla . Por ejemplo, la gavilla de la pregavilla constante (ver arriba) se llama gavilla constante . A pesar de su nombre, sus secciones son funciones localmente constantes . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

El haz se puede construir utilizando el espacio étalé de , es decir, como el haz de secciones del mapa. ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \mathrm {Spe} (F)\to X.}$

Otra construcción de la gavilla procede por medio de un functor de pregavilla a pregavilla que mejora gradualmente las propiedades de una pregavilla: para cualquier pregavilla , es una pregavilla separada, y para cualquier pregavilla separada , es una gavilla. La gavilla asociada viene dada por . ^[8] ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle LF}$ ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle LLF}$

La idea de que la gavilla es la mejor aproximación posible a por una gavilla se precisa utilizando la siguiente propiedad universal : existe un morfismo natural de las gavillas previas, de modo que para cualquier gavilla y cualquier morfismo de las gavillas previas , existe un morfismo único de las gavillas tal que . De hecho , es el funtor adjunto izquierdo del funtor de inclusión (o funtor olvidadizo ) de la categoría de haces a la categoría de prehaces, y es la unidad de la conjunción. De esta manera, la categoría de gavillas se convierte en una subcategoría de pregavillas de Giraud . Esta situación categórica es la razón por la cual el functor de gavilla aparece en la construcción de cokernels de morfismos de gavillas o productos tensoriales de gavillas, pero no para granos, digamos. ${\displaystyle aF}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle i\colon F\to aF}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f\colon F\to G}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon aF\rightarrow G}$ ${\displaystyle f={\tilde {f}}i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$

Subhaces, cocientes de gavillas

Si es una subhaz de una gavilla de grupos abelianos, entonces la gavilla cociente es la gavilla asociada a la prehaz ; en otras palabras, el cociente haz encaja en una secuencia exacta de haces de grupos abelianos; ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)/K(U)}$

${\displaystyle 0\to K\to F\to Q\to 0.}$

(Esto también se llama extensión de gavilla ).

Sean gavillas de grupos abelianos. El conjunto de morfismos de haces de a forma un grupo abeliano (por la estructura del grupo abeliano de ). La gavilla de y , denotada por, ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (F,G)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {Hom}}(F,G)}$

es la gavilla de grupos abelianos donde está la gavilla dada por (tenga en cuenta que aquí no es necesaria la gavilla). La suma directa de y es el haz dado por , y el producto tensorial de y es el haz asociado al prehaz . ${\displaystyle U\mapsto \operatorname {Hom} (F|_{U},G|_{U})}$ ${\displaystyle F|_{U}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (F|_{U})(V)=F(V)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\oplus G(U)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\mapsto F(U)\otimes G(U)}$

Todas estas operaciones se extienden a haces de módulos sobre un haz de anillos ; Lo anterior es el caso especial cuando es la gavilla constante . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Funcionalidad básica

Dado que los datos de una (pre)haz dependen de los subconjuntos abiertos del espacio base, las gavillas en diferentes espacios topológicos no están relacionadas entre sí en el sentido de que no hay morfismos entre ellas. Sin embargo, dado un mapa continuo entre dos espacios topológicos, el avance y el retroceso relacionan las gavillas con las que están y viceversa. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Imagen directa

El avance (también conocido como imagen directa ) de una gavilla es la gavilla definida por ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(f^{-1}(V)).}$

Aquí hay un subconjunto abierto de , de modo que su preimagen está abierta por la continuidad de . Esta construcción recupera el haz de rascacielos mencionado anteriormente: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{x}}$

${\displaystyle S_{x}=i_{*}(S)}$

¿Dónde está la inclusión y se considera una gavilla en el singleton (por . ${\displaystyle i:\{x\}\to X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(\{*\})=S,S(\emptyset )=\emptyset }$

Para un mapa entre espacios localmente compactos , la imagen directa con soporte compacto es un subhaz de la imagen directa. ^[9] Por definición, está formado por aquellos cuyo soporte es propio del mapa . Si es correcto en sí mismo, entonces , pero en general no están de acuerdo. ${\displaystyle (f_{!}{\mathcal {F}})(V)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(f^{-1}(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{!}{\mathcal {F}}=f_{*}{\mathcal {F}}}$

Imagen inversa

La imagen de retroceso o inversa va en sentido contrario: produce una gavilla en , denotada a partir de una gavilla en . Si es la inclusión de un subconjunto abierto, entonces la imagen inversa es solo una restricción, es decir, está dada por para un abierto en . Una gavilla (en algún espacio ) se llama localmente constante si tiene algunos subconjuntos abiertos tales que la restricción de todos estos subconjuntos abiertos es constante. En una amplia gama de espacios topológicos , tales haces son equivalentes a representaciones del grupo fundamental . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})(U)={\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Para mapas generales , la definición de es más complicada; se detalla en el functor de imagen inversa . El tallo es un caso especial esencial del retroceso en vista de una identificación natural, donde es como arriba: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}=i^{-1}{\mathcal {G}}(\{x\}).}$

En términos más generales, los tallos satisfacen . ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}}$

Ampliación por cero

Para la inclusión de un subconjunto abierto, la extensión en cero de un haz de grupos abelianos en se define como ${\displaystyle j:U\to X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)={\mathcal {F}}(V)}$si y de otra manera. ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle (j_{!}{\mathcal {F}})(V)=0}$

Para una gavilla , esta construcción es en cierto sentido complementaria a , donde está la inclusión del complemento de : ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (j_{!}j^{*}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{x}}$para in , y el tallo es cero en caso contrario, mientras que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (i_{*}i^{*}{\mathcal {G}})_{x}=0}$para in y es igual en caso contrario. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{x}}$

Por lo tanto, estos functores son útiles para reducir cuestiones de teoría de gavillas a cuestiones sobre los estratos de una estratificación , es decir, una descomposición de en subconjuntos más pequeños y localmente cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Complementos

Gavillas en categorías más generales.

Además de las (pre) roldanas como se presentó anteriormente, que son simplemente un conjunto, en muchos casos es importante realizar un seguimiento de la estructura adicional en estas secciones. Por ejemplo, las secciones de un haz de funciones continuas forman naturalmente un espacio vectorial real , y la restricción es una aplicación lineal entre estos espacios vectoriales. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

Los presheaves con valores en una categoría arbitraria se definen considerando primero la categoría de conjuntos abiertos en como la categoría posetal cuyos objetos son los conjuntos abiertos de y cuyos morfismos son inclusiones. Entonces, un presheaf on con valor es lo mismo que un funtor contravariante de to . Los morfismos en esta categoría de functores, también conocidos como transformaciones naturales , son los mismos que los morfismos definidos anteriormente, como se puede ver al desentrañar las definiciones. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle C}$

Si la categoría objetivo admite todos los límites , una prehaza valorada es una gavilla si el siguiente diagrama es un ecualizador para cada cubierta abierta de cualquier conjunto abierto : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle F(U)\rightarrow \prod _{i}F(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Aquí el primer mapa es el producto de los mapas de restricción.

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i},U}\colon F(U)\rightarrow F(U_{i})}$

y el par de flechas los productos de los dos conjuntos de restricciones

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}\colon F(U_{i})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j})}$

y

${\displaystyle \operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}\colon F(U_{j})\rightarrow F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Si es una categoría abeliana , esta condición también se puede reformular exigiendo que exista una secuencia exacta. ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 0\to F(U)\to \prod _{i}F(U_{i})\xrightarrow {\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}-\operatorname {res} _{U_{i}\cap U_{j},U_{j}}} \prod _{i,j}F(U_{i}\cap U_{j}).}$

Un caso particular de esta condición de gavilla ocurre por ser el conjunto vacío y el conjunto de índice también está vacío. En este caso, la condición de gavilla debe ser el objeto terminal en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\emptyset )}$ ${\displaystyle C}$

Espacios anillados y haces de módulos.

En varias disciplinas geométricas, incluida la geometría algebraica y la geometría diferencial , los espacios vienen junto con un haz natural de anillos, a menudo llamado haz de estructura y denotado por . Este par se llama espacio anillado . Muchos tipos de espacios se pueden definir como ciertos tipos de espacios anillados. Comúnmente, todos los tallos de la estructura de haz son anillos locales , en cuyo caso el par se denomina espacio localmente anillado . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$

Por ejemplo, una variedad dimensional es un espacio localmente anillado cuya estructura consta de funciones en los subconjuntos abiertos de . La propiedad de ser un espacio localmente anillado se traduce en el hecho de que dicha función, que es distinta de cero en un punto, también lo es en una vecindad abierta suficientemente pequeña de . Algunos autores en realidad definen variedades reales (o complejas) como espacios localmente anillados que son localmente isomórficos al par que consiste en un subconjunto abierto de (respectivamente ) junto con el haz de funciones (respectivamente holomorfas). ^[10] De manera similar, los esquemas , la noción fundamental de espacios en geometría algebraica, son espacios localmente anillados que son localmente isomórficos al espectro de un anillo . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Dado un espacio anillado, un haz de módulos es un haz tal que en cada conjunto abierto de , hay un módulo y para cada inclusión de conjuntos abiertos , el mapa de restricción es compatible con el mapa de restricción : la restricción de fs es la restricción de veces el de for any in y in . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)\to {\mathcal {M}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)\to {\mathcal {O}}(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}(U)}$

Los objetos geométricos más importantes son haces de módulos. Por ejemplo, existe una correspondencia uno a uno entre haces de vectores y haces de módulos libres localmente . Este paradigma se aplica a paquetes de vectores reales, paquetes de vectores complejos o paquetes de vectores en geometría algebraica (donde consisten en funciones suaves, funciones holomorfas o funciones regulares, respectivamente). Los haces de soluciones de ecuaciones diferenciales son -módulos , es decir, módulos sobre el haz de operadores diferenciales . En cualquier espacio topológico, los módulos sobre la gavilla constante son los mismos que las gavillas de grupos abelianos en el sentido anterior. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {Z} }}}$

Hay un funtor de imagen inversa diferente para haces de módulos sobre haces de anillos. Este funtor suele denotarse y es distinto de . Ver funtor de imagen inversa . ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Condiciones de finitud para haces de módulos.

Las condiciones de finitud para módulos sobre anillos conmutativos dan lugar a condiciones de finitud similares para haces de módulos: se llama finitamente generado (respectivamente presentado finitamente ) si, para cada punto de , existe una vecindad abierta de , un número natural (posiblemente dependiendo de ), y un morfismo sobreyectivo de haces (respectivamente, además de un número natural y una secuencia exacta ). Paralelamente a la noción de módulo coherente , se llama haz coherente si es de tipo finito y si, para cada conjunto abierto y cada morfismo de gavillas (no necesariamente sobreyectivas), el núcleo de es de tipo finito. es coherente si es coherente como módulo sobre sí mismo. Al igual que en el caso de los módulos, la coherencia es en general una condición estrictamente más estricta que la presentación finita. El teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomorfas en una variedad compleja es coherente. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {M}}|_{U}\to 0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}\to {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El espacio étalé de una gavilla.

En los ejemplos anteriores se observó que algunas gavillas se presentan naturalmente como gavillas de secciones. De hecho, todos los haces de conjuntos pueden representarse como haces de secciones de un espacio topológico llamado espacio étalé , de la palabra francesa étalé [etale] , que significa aproximadamente "extendido". Si es un haz terminado , entonces el espacio étalé (a veces llamado espacio étale ) de es un espacio topológico junto con un homeomorfismo local tal que el haz de secciones de es . El espacio suele ser muy extraño, e incluso si el haz surge de una situación topológica natural, puede no tener ninguna interpretación topológica clara. Por ejemplo, si es el haz de secciones de una función continua , entonces si y sólo si es un homeomorfismo local . ${\displaystyle F\in {\text{Sh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma (\pi ,-)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle E=Y}$ ${\displaystyle f}$

El espacio étalé se construye a partir de tallos de más . Como conjunto, es su unión disjunta y es el mapa obvio que toma el valor en el tallo de over . La topología de se define de la siguiente manera. Para cada elemento y cada uno , obtenemos un germen de en , denotado o . Estos gérmenes determinan puntos de . Para cualquiera y , la unión de estos puntos (para todos ) se declara abierta en . Observe que cada tallo tiene una topología discreta como topología subespacial. Dos morfismos entre haces determinan un mapa continuo de los espacios étalé correspondientes que es compatible con los mapas de proyección (en el sentido de que cada germen se asigna a un germen sobre el mismo punto). Esto convierte la construcción en un funtor. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [s]_{x}}$ ${\displaystyle s_{x}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle E}$

La construcción anterior determina una equivalencia de categorías entre la categoría de haces de conjuntos en y la categoría de espacios étalé sobre . La construcción de un espacio étalé también se puede aplicar a un prehaz, en cuyo caso el haz de secciones del espacio étalé recupera el haz asociado al prehaz dado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Esta construcción convierte todas las gavillas en functores representables en ciertas categorías de espacios topológicos. Como arriba, sea una gavilla , sea su espacio étalé y sea la proyección natural. Considere la sobrecategoría de espacios topológicos sobre , es decir, la categoría de espacios topológicos junto con mapas continuos fijos para . Cada objeto de esta categoría es un mapa continuo , y un morfismo de a es un mapa continuo que conmuta con los dos mapas a . hay un functor ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle {\text{Top}}/X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle Y\to X}$ ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle Y\to Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma :{\text{Top}}/X\to {\text{Sets}}}$

enviando un objeto a . Por ejemplo, si se trata de la inclusión de un subconjunto abierto, entonces ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle f^{-1}F(Y)}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(U)=F(U)=\Gamma (F,U)}$

y para la inclusión de un punto , entonces ${\displaystyle i:\{x\}\hookrightarrow X}$

${\displaystyle \Gamma (i)=f^{-1}F(\{x\})=F|_{x}}$

es el tallo de en . Hay un isomorfismo natural. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f^{-1}F)(Y)\cong \operatorname {Hom} _{\mathbf {Top} /X}(f,\pi )}$,

lo que muestra que (para el espacio étalé) representa el funtor . ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle E}$se construye de modo que el mapa de proyección sea un mapa de cobertura. En geometría algebraica, el análogo natural de un mapa de cobertura se llama morfismo étale . A pesar de su similitud con "étalé", la palabra étale [etal] tiene un significado diferente en francés. Es posible convertirse en un esquema y en un morfismo de esquemas de tal manera que conserve la misma propiedad universal, pero en general no es un morfismo étale porque no es cuasi finito. Sin embargo, es formalmente étale . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

La definición de gavillas por espacios étalé es más antigua que la definición dada anteriormente en este artículo. Todavía es común en algunas áreas de las matemáticas como el análisis matemático .

Cohomología de la gavilla

En contextos donde el conjunto abierto es fijo y la gavilla se considera una variable, el conjunto también suele denotarse ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle \Gamma (U,F).}$

Como se señaló anteriormente, este funtor no conserva epimorfismos. En cambio, un epimorfismo de gavillas es un mapa con la siguiente propiedad: para cualquier sección hay una cobertura donde ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle U=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$

de subconjuntos abiertos, de modo que la restricción esté en la imagen de . Sin embargo, no es necesario que sea a imagen de . Un ejemplo concreto de este fenómeno es el mapa exponencial. ${\displaystyle g|_{U_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{i})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}{\stackrel {\exp }{\to }}{\mathcal {O}}^{\times }}$

entre el haz de funciones holomorfas y funciones holomorfas distintas de cero. Este mapa es un epimorfismo, lo que equivale a decir que cualquier función holomorfa distinta de cero (en algún subconjunto abierto en , por ejemplo), admite un logaritmo complejo localmente , es decir, después de restringirlo a subconjuntos abiertos apropiados. Sin embargo, no es necesario tener un logaritmo a nivel global. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

La cohomología de la gavilla captura este fenómeno. Más precisamente, para una secuencia exacta de haces de grupos abelianos

${\displaystyle 0\to {\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}\to 0,}$

(es decir, un epimorfismo cuyo núcleo es ), hay una secuencia larga y exacta ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}\to {\mathcal {F}}_{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$

$${\displaystyle 0\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{1})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{2})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{2})\to H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{3})\to H^{2}(U,{\mathcal {F}}_{1})\to \dots }$$

${\displaystyle H^{1}(U,{\mathcal {F}}_{1})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{3}}$

Hay varias formas diferentes de construir la cohomología de la gavilla. Grothendieck (1957) los introdujo definiendo la cohomología de la gavilla como el functor derivado de . Este método es teóricamente satisfactorio, pero, al estar basado en resoluciones inyectivas , es de poca utilidad en cálculos concretos. Las resoluciones de Godement son otro enfoque general, pero prácticamente inaccesible. ${\displaystyle \Gamma }$

Computación de la cohomología de la gavilla

Especialmente en el contexto de gavillas en colectores, la cohomología de las gavillas a menudo se puede calcular utilizando resoluciones de gavillas blandas , gavillas finas y gavillas flácidas (también conocidas como gavillas flasque del francés flasque que significa flácido). Por ejemplo, un argumento de partición de unidad muestra que el haz de funciones suaves en una variedad es suave. Los grupos de cohomología superiores desaparecen para las gavillas blandas, lo que proporciona una forma de calcular la cohomología de otras gavillas. Por ejemplo, el complejo de Rham es una resolución de la gavilla constante en cualquier variedad suave, por lo que la cohomología de la gavilla es igual a su cohomología de De Rham . ${\displaystyle H^{i}(U,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$ ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$

Un enfoque diferente es el de la cohomología de Čech . La cohomología de Čech fue la primera teoría de cohomología desarrollada para haces y se adapta bien a cálculos concretos, como el cálculo de la cohomología de haces coherentes del espacio proyectivo complejo . ^[11] Relaciona secciones sobre subconjuntos abiertos del espacio con clases de cohomología en el espacio. En la mayoría de los casos, la cohomología de Čech calcula los mismos grupos de cohomología que la cohomología del functor derivado. Sin embargo, para algunos espacios patológicos, la cohomología de Čech dará los grupos de cohomología superiores correctos pero incorrectos. Para solucionar este problema, Jean-Louis Verdier desarrolló hipercoberturas . Las hipercoberturas no solo brindan los grupos de cohomología superiores correctos, sino que también permiten que los subconjuntos abiertos mencionados anteriormente sean reemplazados por ciertos morfismos de otro espacio. Esta flexibilidad es necesaria en algunas aplicaciones, como la construcción de las estructuras mixtas Hodge de Pierre Deligne . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle H^{1}}$

Muchos otros grupos de cohomología de gavillas coherentes se encuentran utilizando la incrustación de un espacio en un espacio con cohomología conocida, como , o algún espacio proyectivo ponderado . De esta manera, los grupos de cohomología de gavillas conocidos en estos espacios ambientales se pueden relacionar con las gavillas , dando . Por ejemplo, es fácil calcular la cohomología de haz coherente de curvas planas proyectivas . Un gran teorema en este espacio es la descomposición de Hodge encontrada utilizando una secuencia espectral asociada a grupos de cohomología de gavillas , demostrada por Deligne. ^{[12] [13]} Esencialmente, la página con términos ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{\mathcal {F}})\cong H^{i}(X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,\Omega _{X}^{q})}$

la cohomología de la gavilla de una variedad proyectiva suave , degenera, es decir . Esto proporciona la estructura canónica de Hodge en los grupos de cohomología . Más tarde se descubrió que estos grupos de cohomología se pueden calcular fácilmente y explícitamente utilizando residuos de Griffiths . Véase ideal jacobiano . Este tipo de teoremas conducen a uno de los teoremas más profundos sobre la cohomología de variedades algebraicas, el teorema de descomposición , allanando el camino para los módulos mixtos de Hodge . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{\infty }}$ ${\displaystyle H^{k}(X,\mathbb {C} )}$

Otro enfoque claro para el cálculo de algunos grupos de cohomología es el teorema de Borel-Bott-Weil , que identifica los grupos de cohomología de algunos paquetes de líneas en variedades de banderas con representaciones irreducibles de grupos de Lie . Este teorema se puede utilizar, por ejemplo, para calcular fácilmente los grupos de cohomología de todos los paquetes de líneas en el espacio proyectivo y en variedades de Grassmann .

En muchos casos existe una teoría de la dualidad para haces que generaliza la dualidad de Poincaré . Véase dualidad de Grothendieck y dualidad de Verdier .

Categorías derivadas de poleas.

La categoría derivada de la categoría de haces de, digamos, grupos abelianos en algún espacio X , denotada aquí como , es el refugio conceptual para la cohomología de gavillas, en virtud de la siguiente relación: ${\displaystyle D(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} _{D(X)}(\mathbf {Z} ,{\mathcal {F}}[n]).}$

La conjunción entre , que es el adjunto izquierdo de (ya en el nivel de haces de grupos abelianos) da lugar a una conjunción ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f^{-1}:D(Y)\rightleftarrows D(X):Rf_{*}}$(para ), ${\displaystyle f:X\to Y}$

¿ Dónde está el funtor derivado? Este último funtor abarca la noción de cohomología de gavilla desde for . ${\displaystyle Rf_{*}}$ ${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

Al igual que , también se puede derivar la imagen directa con soporte compacto . En virtud del siguiente isomorfismo se parametriza la cohomología con soporte compacto de las fibras de : ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{!}}$ ${\displaystyle Rf_{!}F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$^[14]

Este isomorfismo es un ejemplo de teorema de cambio de base . Hay otra adjunción

${\displaystyle Rf_{!}:D(X)\rightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

A diferencia de todos los funtores considerados anteriormente, el funtor de imagen inversa retorcido (o excepcional) en general sólo se define en el nivel de categorías derivadas , es decir, el funtor no se obtiene como funtor derivado de algún funtor entre categorías abelianas. Si y X es una variedad suave y orientable de dimensión n , entonces ${\displaystyle f^{!}}$ ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle f^{!}{\underline {\mathbf {R} }}\cong {\underline {\mathbf {R} }}[n].}$^[15]

Este cálculo y la compatibilidad de los functores con la dualidad (ver dualidad de Verdier ) se pueden utilizar para obtener una explicación intelectual de la dualidad de Poincaré . En el contexto de haces de esquemas cuasi coherentes, existe una dualidad similar conocida como dualidad coherente .

Las gavillas perversas son ciertos objetos en , es decir, complejos de gavillas (pero no en general, gavillas propiamente dichas). Son una herramienta importante para estudiar la geometría de singularidades . ^[dieciséis] ${\displaystyle D(X)}$

Categorías derivadas de gavillas coherentes y el grupo de Grothendieck.

Otra aplicación importante de categorías derivadas de gavillas es con la categoría derivada de gavillas coherentes en un esquema denotado . Grothendieck utilizó esto en su desarrollo de la teoría de la intersección ^[17] utilizando categorías derivadas y la teoría K , de que el producto de intersección de los subesquemas se representa en la teoría K como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{Coh}(X)}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]\cdot [Y_{2}]=[{\mathcal {O}}_{Y_{1}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{Y_{2}}]\in K({\text{Coh(X)}})}$

donde están las gavillas coherentes definidas por los módulos dados por sus gavillas de estructura . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Sitios y topoi

Las conjeturas de André Weil afirmaban que existía una teoría de cohomología para variedades algebraicas sobre campos finitos que daría un análogo de la hipótesis de Riemann . La cohomología de una variedad compleja se puede definir como la cohomología de la gavilla de la gavilla localmente constante en la topología euclidiana, lo que sugiere definir una teoría de cohomología de Weil en característica positiva como la cohomología de la gavilla de una gavilla constante. Pero la única topología clásica en tal variedad es la topología de Zariski , y la topología de Zariski tiene muy pocos conjuntos abiertos, tan pocos que la cohomología de cualquier haz constante de Zariski en una variedad irreducible se desvanece (excepto en el grado cero). Alexandre Grothendieck resolvió este problema introduciendo topologías de Grothendieck , que axiomatizan la noción de cobertura . La idea de Grothendieck fue que la definición de haz depende sólo de los conjuntos abiertos de un espacio topológico, no de los puntos individuales. Una vez axiomatizada la noción de cobertura, los conjuntos abiertos pudieron ser sustituidos por otros objetos. Un prefajo lleva cada uno de estos objetos a datos, tal como antes, y un prefajo es un prefajo que satisface el axioma de pegado con respecto a nuestra nueva noción de cobertura. Esto permitió a Grothendieck definir la cohomología étale y la cohomología ℓ-ádica , que eventualmente se utilizaron para probar las conjeturas de Weil. ${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}}$

Una categoría con topología de Grothendieck se denomina sitio . Una categoría de gavillas en un sitio se llama topos o topos de Grothendieck . La noción de topos fue posteriormente abstraída por William Lawvere y Miles Tierney para definir un topos elemental , que tiene conexiones con la lógica matemática .

Historia

Los primeros orígenes de la teoría de la gavilla son difíciles de precisar: pueden ser coextensivos con la idea de continuación analítica ^{[ se necesita aclaración ]} . Fueron necesarios unos 15 años para que surgiera una teoría de las gavillas reconocible e independiente a partir del trabajo fundacional sobre cohomología .

• 1936 Eduard Čech introduce la construcción nerviosa , para asociar un complejo simplicial a una cubierta abierta.
• 1938 Hassler Whitney da una definición "moderna" de cohomología, resumiendo el trabajo desde que JW Alexander y Kolmogorov definieron por primera vez las cocadenas .
• 1943 Norman Steenrod publica sobre homología con coeficientes locales . ^[18]
• 1945 Jean Leray publica un trabajo realizado como prisionero de guerra , motivado por la demostración de teoremas del punto fijo para su aplicación a la teoría PDE ; es el comienzo de la teoría de gavillas y las secuencias espectrales . ^[19]
• 1947 Henri Cartan reprueba el teorema de De Rham mediante el método de la gavilla, en correspondencia con André Weil (véase el teorema de De Rham-Weil ). Leray da una definición de gavilla en sus cursos mediante conjuntos cerrados (los posteriores caparazones ).
• 1948 En el seminario de Cartan se redacta por primera vez la teoría de las gavillas.
• 1950 Teoría de la gavilla de la "segunda edición" del seminario de Cartan: se utiliza la definición del espacio de la gavilla ( espace étalé ), con estructura de tallos. Se introducen los soportes y la cohomología con los soportes. Los mapeos continuos dan lugar a secuencias espectrales. Al mismo tiempo, Kiyoshi Oka introduce una idea (adyacente a ésta) de un haz de ideales, en varias variables complejas .
• 1951 El seminario de Cartan demuestra los teoremas A y B , basados ​​en el trabajo de Oka.
• 1953 Cartan y Jean-Pierre Serre demuestran el teorema de finitud para haces coherentes en la teoría analítica , ^[20] al igual que la dualidad de Serre .
• 1954 El artículo de Serre Faisceaux algébriques cohérents ^[21] (publicado en 1955) introduce las gavillas en la geometría algebraica . Estas ideas son inmediatamente explotadas por Friedrich Hirzebruch , quien escribe un importante libro en 1956 sobre métodos topológicos.
• 1955 Alexander Grothendieck en conferencias en Kansas define la categoría abeliana y la pregavilla , y mediante el uso de resoluciones inyectivas permite el uso directo de la cohomología de la gavilla en todos los espacios topológicos, como functores derivados .
• 1956 Informe de Oscar Zariski Teoría algebraica de la gavilla ^[22]
• 1957 El artículo Tohoku de Grothendieck ^[23] reescribe el álgebra homológica ; demuestra la dualidad de Grothendieck (es decir, la dualidad de Serre para variedades algebraicas posiblemente singulares ).
• 1957 en adelante: Grothendieck amplía la teoría de haces de acuerdo con las necesidades de la geometría algebraica, introduciendo: esquemas y haces generales sobre ellos, cohomología local , categorías derivadas (con Verdier) y topologías de Grothendieck . De ahí surge también su influyente idea esquemática de las " seis operaciones " en álgebra homológica.
• 1958 Se publica el libro de Roger Godement sobre la teoría de la gavilla. Por esta época Mikio Sato propone sus hiperfunciones , que resultarán tener un carácter teórico de gavilla.

En este punto, las gavillas se habían convertido en una parte principal de las matemáticas, y su uso no se restringía en modo alguno a la topología algebraica . Más tarde se descubrió que la lógica en las categorías de haces es lógica intuicionista (esta observación ahora se conoce a menudo como semántica de Kripke-Joyal , pero probablemente debería atribuirse a varios autores).

Ver también

• gavilla coherente
• gerbe
• Pila (matemáticas)
• Haz de espectros
• gavilla perversa
• Prehaz de espacios
• Gavilla construible
• Teorema de De Rham

Notas

1. Eisenbud, David; Harris, Joe (6 de abril de 2006), The Geometry of Schemes , GTM , Nueva York, NY: Springer, págs. 11-18, ISBN 978-0-387-22639-2
2. Tennison, BR (1975), Teoría de la gavilla , Cambridge University Press , MR  0404390
3. Bredon (1997, Capítulo V, §1)
4. Por correo, Jean-Pierre. «Geometría diferencial y analítica compleja» (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 28 de agosto de 2020.
5. Cartan, Henri. "Variétés analytiques complexes et cohomologie" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 8 de octubre de 2020.
6. "geometría diferencial: las funciones holomorfas en una variedad compacta compleja son sólo constantes". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 7 de octubre de 2020 .
7. Hawley, Newton S. (1950). "Un teorema sobre variedades complejas compactas". Anales de Matemáticas . 52 (3): 637–641. doi :10.2307/1969438. JSTOR  1969438.
8. SGA 4 II 3.0.5
9. Iversen (1986, Capítulo VII)
10. Ramanan (2005)
11. Hartshorne (1977), Teorema III.5.1.
12. Deligne, Pierre (1971). "Teoría de Hodge: II". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 40 : 5–57. doi :10.1007/BF02684692. S2CID  118967613.
13. Deligne, Pierre (1974). "Teoría de Hodge: III". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 44 : 5–77. doi :10.1007/BF02685881. S2CID  189777706.
14. Iversen (1986, Capítulo VII, Teorema 1.4)
15. Kashiwara y Schapira (1994, Capítulo III, §3.1)
16. de Cataldo y Migliorini (2010)
17. Grothendieck. "Formalismo de las intersecciones sobre los esquemas algebriques propios".
18. Steenrod, NE (1943). "Homología con coeficientes locales". Anales de Matemáticas . 44 (4): 610–627. doi :10.2307/1969099. JSTOR  1969099.
19. Dieudonné, Jean (1989). Una historia de la topología algebraica y diferencial 1900-1960 . Birkhäuser. págs. 123-141. ISBN 978-0-8176-3388-2.
20. Cartan, Enrique; Serre, Jean-Pierre (1953). "Un teorema de finitud con respecto a las variedades analíticas compactas". Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences de Paris . 237 : 128-130. Zbl  0050.17701.
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