En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una topología de Grothendieck es una estructura sobre una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con una elección de topología de Grothendieck se denomina sitio .
Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de una cubierta abierta . Usando la noción de cubierta proporcionada por una topología de Grothendieck, se hace posible definir haces en una categoría y su cohomología . Esto fue hecho por primera vez en geometría algebraica y teoría de números algebraicos por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema . Se ha usado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica , la cohomología plana y la cohomología cristalina . Si bien las topologías de Grothendieck se usan con mayor frecuencia para definir teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate .
Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario , y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis de conjunto de puntos magros, a saber, sobriedad , esto es completamente exacto: es posible recuperar un espacio sobrio a partir de su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos pueden expresarse utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, hay topologías de Grothendieck que no provienen de espacios topológicos.
El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significaba lo que ahora se llama una pretopología de Grothendieck, y algunos autores aún utilizan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para utilizar tamices en lugar de coberturas. La mayor parte del tiempo esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías muy diferentes pueden dar la misma topología.
Las famosas conjeturas de Weil de André Weil propusieron que ciertas propiedades de las ecuaciones con coeficientes enteros deberían entenderse como propiedades geométricas de la variedad algebraica que definen. Sus conjeturas postulaban que debería existir una teoría de cohomología de las variedades algebraicas que proporcione información teórica de números sobre las ecuaciones que las definen. Esta teoría de cohomología se conocía como "cohomología de Weil", pero con las herramientas que tenía a su disposición, Weil no pudo construirla.
A principios de los años 1960, Alexander Grothendieck introdujo las aplicaciones de étale en la geometría algebraica como análogos algebraicos de los isomorfismos analíticos locales en la geometría analítica . Utilizó recubrimientos de étale para definir un análogo algebraico del grupo fundamental de un espacio topológico. Pronto Jean-Pierre Serre se dio cuenta de que algunas propiedades de los recubrimientos de étale imitaban las de las inmersiones abiertas y que, en consecuencia, era posible hacer construcciones que imitaran al funtor de cohomología . Grothendieck vio que sería posible utilizar la idea de Serre para definir una teoría de cohomología que sospechaba que sería la cohomología de Weil. Para definir esta teoría de cohomología, Grothendieck necesitaba reemplazar la noción topológica habitual de un recubrimiento abierto por una que utilizara recubrimientos de étale en su lugar. Grothendieck también vio cómo expresar la definición de recubrimiento de forma abstracta; de aquí proviene la definición de una topología de Grothendieck.
La definición clásica de un haz comienza con un espacio topológico . Un haz asocia información a los conjuntos abiertos de . Esta información se puede expresar de forma abstracta dejando que sea la categoría cuyos objetos son los subconjuntos abiertos de y cuyos morfismos son las aplicaciones de inclusión de los conjuntos abiertos y de . Llamaremos a estas aplicaciones inmersiones abiertas , al igual que en el contexto de los esquemas . Entonces un prehaz en es un funtor contravariante de a la categoría de conjuntos, y un haz es un prehaz que satisface el axioma de pegado (aquí incluyendo el axioma de separación). El axioma de pegado se expresa en términos de recubrimiento puntual , es decir, cubre si y solo si . En esta definición, es un subconjunto abierto de . Las topologías de Grothendieck reemplazan cada uno con una familia completa de subconjuntos abiertos; en este ejemplo, se reemplaza por la familia de todas las inmersiones abiertas . Tal colección se llama tamiz . El recubrimiento puntual se reemplaza por la noción de una familia de recubrimiento ; en el ejemplo anterior, el conjunto de todos los que varían es una familia de recubrimiento de . Los tamices y las familias de recubrimiento se pueden axiomatizar y, una vez hecho esto, los conjuntos abiertos y el recubrimiento puntual se pueden reemplazar por otras nociones que describan otras propiedades del espacio .
En una topología de Grothendieck, la noción de una colección de subconjuntos abiertos de U estables bajo inclusión se reemplaza por la noción de un tamiz . Si c es cualquier objeto dado en C , un tamiz en c es un subfuntor del funtor Hom(−, c ); (esta es la incrustación de Yoneda aplicada a c ). En el caso de O ( X ), un tamiz S en un conjunto abierto U selecciona una colección de subconjuntos abiertos de U que es estable bajo inclusión. Más precisamente, considere que para cualquier subconjunto abierto V de U , S ( V ) será un subconjunto de Hom( V , U ), que tiene solo un elemento, la inmersión abierta V → U . Entonces V será considerado "seleccionado" por S si y solo si S ( V ) no está vacío. Si W es un subconjunto de V , entonces existe un morfismo S ( V ) → S ( W ) dado por composición con la inclusión W → V . Si S ( V ) no es vacío, se deduce que S ( W ) también es no vacío.
Si S es un tamiz sobre X , y f : Y → X es un morfismo, entonces la composición por la izquierda por f da un tamiz sobre Y llamado pullback de S a lo largo de f , denotado por f S . Se define como el producto fibroso S × Hom(−, X ) Hom(−, Y ) junto con su incrustación natural en Hom(−, Y ). Más concretamente, para cada objeto Z de C , f S ( Z ) = { g : Z → Y | fg S ( Z ) }, y f S hereda su acción sobre morfismos al ser un subfunctor de Hom(−, Y ). En el ejemplo clásico, el pullback de una colección { V i } de subconjuntos de U a lo largo de una inclusión W → U es la colección { V i ∩W}.
Una topología de Grothendieck J sobre una categoría C es una colección, para cada objeto c de C , de cribas distinguidas sobre c , denotadas por J ( c ) y llamadas cribas de recubrimiento de c . Esta selección estará sujeta a ciertos axiomas, enunciados a continuación. Siguiendo con el ejemplo anterior, una criba S sobre un conjunto abierto U en O ( X ) será una criba de recubrimiento si y solo si la unión de todos los conjuntos abiertos V para los que S ( V ) no está vacío es igual a U ; en otras palabras, si y solo si S nos da una colección de conjuntos abiertos que cubren a U en el sentido clásico.
Las condiciones que imponemos a una topología de Grothendieck son:
El axioma de cambio de base corresponde a la idea de que si { U i } cubre U , entonces { U i ∩ V } debe cubrir U ∩ V . El axioma de carácter local corresponde a la idea de que si { U i } cubre U y { V ij } j J i cubre U i para cada i , entonces la colección { V ij } para todos los i y j debe cubrir U . Por último, el axioma de identidad corresponde a la idea de que cualquier conjunto está cubierto por sí mismo a través del mapa identidad.
De hecho, es posible poner estos axiomas en otra forma donde su carácter geométrico es más evidente, suponiendo que la categoría subyacente C contiene ciertos productos fibrados. En este caso, en lugar de especificar tamices, podemos especificar que ciertas colecciones de morfismos con un codominio común deben cubrir su codominio. Estas colecciones se denominan familias de recubrimiento . Si la colección de todas las familias de recubrimiento satisface ciertos axiomas, entonces decimos que forman una pretopología de Grothendieck . Estos axiomas son:
Para cualquier pretopología, la colección de todos los tamices que contienen una familia de cobertura de la pretopología es siempre una topología de Grothendieck.
Para las categorías con productos fibrosos, existe una recíproca. Dada una colección de flechas { X α → X }, construimos un tamiz S haciendo que S ( Y ) sea el conjunto de todos los morfismos Y → X que se factorizan a través de alguna flecha X α → X . Esto se llama el tamiz generado por { X α → X }. Ahora elijamos una topología. Digamos que { X α → X } es una familia de recubrimiento si y solo si el tamiz que genera es un tamiz de recubrimiento para la topología dada. Es fácil comprobar que esto define una pretopología.
(PT 3) a veces se reemplaza por un axioma más débil:
(PT 3) implica (PT 3'), pero no a la inversa. Sin embargo, supongamos que tenemos una colección de familias de recubrimiento que satisfacen (PT 0) a (PT 2) y (PT 3'), pero no (PT 3). Estas familias generan una pretopología. La topología generada por la colección original de familias de recubrimiento es entonces la misma que la topología generada por la pretopología, porque el tamiz generado por un isomorfismo Y → X es Hom(−, X ). En consecuencia, si restringimos nuestra atención a las topologías, (PT 3) y (PT 3') son equivalentes.
Sea C una categoría y sea J una topología de Grothendieck en C. El par ( C , J ) se llama sitio .
Un prehaz en una categoría es un funtor contravariante de C a la categoría de todos los conjuntos. Nótese que para esta definición no se requiere que C tenga una topología. Sin embargo, un haz en un sitio debería permitir el pegado, al igual que los haces en la topología clásica. En consecuencia, definimos un haz en un sitio como un prehaz F tal que para todos los objetos X y todos los tamices de recubrimiento S en X , la función natural Hom(Hom(−, X ), F ) → Hom( S , F ), inducida por la inclusión de S en Hom(−, X ), es una biyección. A medio camino entre un prehaz y un haz está la noción de un prehaz separado , donde se requiere que la función natural anterior sea solo una inyección, no una biyección, para todos los tamices S . Un morfismo de prehaces o de haces es una transformación natural de funtores. La categoría de todas las haces en C es el topos definido por el sitio ( C , J ).
Utilizando el lema de Yoneda , es posible demostrar que un prehaz en la categoría O ( X ) es un haz en la topología definida anteriormente si y sólo si es un haz en el sentido clásico.
Las haces en una pretopología tienen una descripción particularmente simple: para cada familia de recubrimiento { X α → X }, el diagrama
Debe ser un ecualizador . Para un haz separado, la primera flecha solo debe ser inyectiva.
De manera similar, se pueden definir prehaces y haces de grupos abelianos , anillos , módulos , etc. Se puede exigir que un prehaz F sea un funtor contravariante a la categoría de grupos abelianos (o anillos, o módulos, etc.), o que F sea un objeto de grupo abeliano (anillo, módulo, etc.) en la categoría de todos los funtores contravariantes desde C hasta la categoría de conjuntos. Estas dos definiciones son equivalentes.
Sea C cualquier categoría. Para definir la topología discreta , declaramos que todos los tamices son tamices de cobertura. Si C tiene todos los productos fibrosos, esto es equivalente a declarar que todas las familias son familias de cobertura. Para definir la topología indiscreta , también conocida como topología gruesa o caótica , [1] declaramos que solo los tamices de la forma Hom(−, X ) son tamices de cobertura. La topología indiscreta se genera por la pretopología que solo tiene isomorfismos para familias de cobertura. Un haz en el sitio indiscreto es lo mismo que un prehaz.
Sea C cualquier categoría. La incrustación de Yoneda da un funtor Hom(−, X ) para cada objeto X de C . La topología canónica es la topología más grande (más fina) tal que cada prehaz representable, es decir, prehaz de la forma Hom(−, X ), es un haz. Se dice que un tamiz de cobertura o familia de cobertura para este sitio es estrictamente universalmente epimórfico porque consiste en las patas de un cono colimítimo (bajo el diagrama completo en los dominios de sus morfismos constituyentes) y estos colimítimos son estables bajo pullbacks a lo largo de morfismos en C . Una topología que es menos fina que la topología canónica, es decir, para la cual cada tamiz de cobertura es estrictamente universalmente epimórfico, se llama subcanónica . Los sitios subcanónicos son exactamente los sitios para los cuales cada prehaz de la forma Hom(−, X ) es un haz. La mayoría de los sitios encontrados en la práctica son subcanónicos.
Repetimos el ejemplo con el que comenzamos arriba. Sea X un espacio topológico. Definimos O ( X ) como la categoría cuyos objetos son los conjuntos abiertos de X y cuyos morfismos son inclusiones de conjuntos abiertos. Nótese que para un conjunto abierto U y un tamiz S sobre U , el conjunto S ( V ) contiene cero o un elemento para cada conjunto abierto V . Los tamices de cobertura sobre un objeto U de O ( X ) son aquellos tamices S que satisfacen la siguiente condición:
Esta noción de cobertura coincide con la noción habitual en la topología de conjuntos de puntos.
Naturalmente, esta topología también puede expresarse como una pretopología. Decimos que una familia de inclusiones { V α U } es una familia de recubrimiento si y sólo si la unión V α es igual a U . Este sitio se denomina sitio pequeño asociado a un espacio topológico X .
Sea Spc la categoría de todos los espacios topológicos. Dada cualquier familia de funciones { u α : V α → X }, decimos que es una familia sobreyectiva o que los morfismos u α son conjuntamente sobreyectivos si u α ( V α ) es igual a X . Definimos una pretopología sobre Spc tomando las familias de recubrimiento como familias sobreyectivas cuyos miembros son todos inmersiones abiertas. Sea S un tamiz sobre Spc . S es un tamiz de recubrimiento para esta topología si y solo si:
Fijemos un espacio topológico X . Considérese la categoría de coma Spc/X de espacios topológicos con una función continua fija en X . La topología en Spc induce una topología en Spc/X . Los tamices de recubrimiento y las familias de recubrimiento son casi exactamente los mismos; la única diferencia es que ahora todas las funciones involucradas conmutan con las funciones fijas en X . Este es el sitio grande asociado a un espacio topológico X . Nótese que Spc es el sitio grande asociado al espacio de un punto. Este sitio fue considerado por primera vez por Jean Giraud .
Sea M una variedad . M tiene una categoría de conjuntos abiertos O ( M ) porque es un espacio topológico, y obtiene una topología como en el ejemplo anterior. Para dos conjuntos abiertos U y V de M , el producto de fibras U × M V es el conjunto abierto U ∩ V , que todavía está en O ( M ). Esto significa que la topología en O ( M ) está definida por una pretopología, la misma pretopología que antes.
Sea Mfd la categoría de todas las variedades y aplicaciones continuas. (O variedades lisas y aplicaciones lisas, o variedades analíticas reales y aplicaciones analíticas, etc.) Mfd es una subcategoría de Spc , y las inmersiones abiertas son continuas (o lisas, o analíticas, etc.), por lo que Mfd hereda una topología de Spc . Esto nos permite construir el sitio grande de la variedad M como el sitio Mfd/M . También podemos definir esta topología utilizando la misma pretopología que utilizamos anteriormente. Observe que para satisfacer (PT 0), necesitamos comprobar que para cualquier aplicación continua de variedades X → Y y cualquier subconjunto abierto U de Y , el producto fibrado U × Y X está en Mfd/M . Esta es simplemente la afirmación de que la preimagen de un conjunto abierto es abierta. Obsérvese, sin embargo, que no todos los productos fibrosos existen en Mfd porque la preimagen de un mapa suave en un valor crítico no necesita ser una variedad.
La categoría de esquemas , denominada Sch , tiene una enorme cantidad de topologías útiles. Para comprender por completo algunas cuestiones, puede ser necesario examinar un esquema utilizando varias topologías diferentes. Todas estas topologías tienen sitios pequeños y grandes asociados. El sitio grande se forma tomando toda la categoría de esquemas y sus morfismos, junto con los tamices de cobertura especificados por la topología. El sitio pequeño sobre un esquema dado se forma tomando únicamente los objetos y morfismos que forman parte de una cobertura del esquema dado.
La más elemental de ellas es la topología de Zariski . Sea X un esquema. X tiene un espacio topológico subyacente, y este espacio topológico determina una topología de Grothendieck. La topología de Zariski en Sch se genera por la pretopología cuyas familias de recubrimiento son familias sobreyectivas conjuntas de inmersiones abiertas teóricas de esquemas. Los tamices de recubrimiento S para Zar se caracterizan por las dos propiedades siguientes:
A pesar de sus similitudes externas, la topología en Zar no es la restricción de la topología en Spc ! Esto se debe a que hay morfismos de esquemas que son inmersiones abiertas topológicamente pero que no son inmersiones abiertas en teoría de esquemas. Por ejemplo, sea A un anillo no reducido y sea N su ideal de nilpotentes. La función cociente A → A/N induce una función Spec A/N → Spec A , que es la identidad en los espacios topológicos subyacentes. Para ser una inmersión abierta en teoría de esquemas, también debe inducir un isomorfismo en los haces de estructura, lo que esta función no hace. De hecho, esta función es una inmersión cerrada.
La topología étale es más fina que la topología de Zariski. Fue la primera topología de Grothendieck que se estudió en profundidad. Sus familias de recubrimiento son familias sobreyectivas conjuntas de morfismos étale. Es más fina que la topología de Nisnevich , pero ni más fina ni más burda que las topologías cdh y l′.
Existen dos topologías planas , la topología fppf y la topología fpqc . fppf significa fidèlement plate de présentation finie (fidelidad placa de presentación finita) , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de recubrimiento si es fielmente plano, de presentación finita y es cuasi-finito. fpqc significa fidèlement plate et quasi-compacte (fidelidad placa y cuasi -compacto) , y en esta topología, un morfismo de esquemas afines es un morfismo de recubrimiento si es fielmente plano. En ambas categorías, una familia de recubrimiento se define como una familia que es una cobertura sobre subconjuntos abiertos de Zariski. [2] En la topología fpqc, cualquier morfismo fielmente plano y cuasi-compacto es una cobertura. [3] Estas topologías están estrechamente relacionadas con la descendencia . La topología fpqc es más fina que todas las topologías mencionadas anteriormente y está muy cerca de la topología canónica.
Grothendieck introdujo la cohomología cristalina para estudiar la parte de p -torsión de la cohomología de las variedades p características . En la topología cristalina , que es la base de esta teoría, la categoría subyacente tiene objetos dados por engrosamientos infinitesimales junto con estructuras de potencia divididas . Los sitios cristalinos son ejemplos de sitios sin objeto final.
Existen dos tipos naturales de funtores entre sitios. Son aquellos que son compatibles con la topología en cierto sentido.
Si ( C , J ) y ( D , K ) son sitios y u : C → D es un funtor, entonces u es continuo si para cada haz F en D con respecto a la topología K , el prehaz Fu es un haz con respecto a la topología J . Los funtores continuos inducen funtores entre los topoi correspondientes enviando un haz F a Fu . Estos funtores se denominan pushforward . Si y denotan los topoi asociados a C y D , entonces el funtor pushforward es .
u s admite un adjunto izquierdo u s llamado retroceso . u s no necesita preservar límites, incluso límites finitos.
De la misma manera, u envía un tamiz sobre un objeto X de C a un tamiz sobre el objeto uX de D . Un funtor continuo envía tamices de cobertura a tamices de cobertura. Si J es la topología definida por una pretopología, y si u conmuta con productos fibrosos, entonces u es continuo si y solo si envía tamices de cobertura a tamices de cobertura y si y solo si envía familias de cobertura a familias de cobertura. En general, no es suficiente que u envíe tamices de cobertura a tamices de cobertura (ver SGA IV 3, Ejemplo 1.9.3).
De nuevo, sean ( C , J ) y ( D , K ) sitios y v : C → D un funtor. Si X es un objeto de C y R es un tamiz sobre vX , entonces R puede retrotraerse a un tamiz S de la siguiente manera: Un morfismo f : Z → X está en S si y solo si v ( f ) : vZ → vX está en R . Esto define un tamiz. v es cocontinuo si y solo si para cada objeto X de C y cada tamiz de cobertura R de vX , el retroceso S de R es un tamiz de cobertura sobre X .
La composición con v envía un prehaz F en D a un prehaz Fv en C , pero si v es cocontinua, no es necesario que envíe haces a haces. Sin embargo, este funtor sobre categorías de prehaz, normalmente denotado como , admite un adjunto derecho . Entonces v es cocontinua si y solo si envía haces a haces, es decir, si y solo si se restringe a un funtor . En este caso, la composición de con el funtor de haz asociado es un adjunto izquierdo de v * denotado como v * . Además, v * conserva límites finitos, por lo que los funtores adjuntos v * y v * determinan un morfismo geométrico de topoi .
Un funtor continuo u : C → D es un morfismo de sitios D → C ( no C → D ) si u s conserva límites finitos. En este caso, u s y u s determinan un morfismo geométrico de topoi . El razonamiento detrás de la convención de que se dice que un funtor continuo C → D determina un morfismo de sitios en la dirección opuesta es que esto concuerda con la intuición que viene del caso de los espacios topológicos. Una función continua de espacios topológicos X → Y determina un funtor continuo O ( Y ) → O ( X ). Dado que se dice que la función original en espacios topológicos envía X a Y , se dice que el morfismo de sitios también lo hace.
Un caso particular de esto ocurre cuando un funtor continuo admite un adjunto izquierdo. Supóngase que u : C → D y v : D → C son funtores con u adjunto derecho a v . Entonces u es continuo si y solo si v es cocontinuo, y cuando esto sucede, u s es naturalmente isomorfo a v * y u s es naturalmente isomorfo a v * . En particular, u es un morfismo de sitios.
