En matemáticas , un espacio sobrio es un espacio topológico X tal que todo subconjunto cerrado irreducible (no vacío) de X es la clausura de exactamente un punto de X : es decir, todo subconjunto cerrado irreducible no vacío tiene un punto genérico único .
Los espacios sobrios tienen una variedad de definiciones criptomórficas , que se documentan en esta sección. Todas, excepto la definición en términos de redes, se describen en [1] . En cada caso a continuación, reemplazar "único" por "como máximo uno" da una formulación equivalente del axioma T 0 . Reemplazarlo por "al menos uno" es equivalente a la propiedad de que el cociente T 0 del espacio es sobrio, lo que a veces se denomina tener "suficientes puntos" en la literatura.
Un conjunto cerrado es irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios. Un espacio es sobrio si todo subconjunto cerrado irreducible no vacío es la clausura de un único punto.
Un espacio topológico X es sobrio si cada mapa que preserva todas las uniones y todos los encuentros finitos de su conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos a es la imagen inversa de una función continua única del espacio de un punto a X.
Esto puede verse como una correspondencia entre la noción de un punto en un lugar y un punto en un espacio topológico, que es la definición motivadora.
Se dice que un filtro F de conjuntos abiertos es completamente primo si para cualquier familia de conjuntos abiertos tales que , tenemos que para algún i . Un espacio X es sobrio si cada filtro completamente primo es el filtro de vecindad de un único punto en X.
Una red es autoconvergente si converge a cada punto en , o equivalentemente si su filtro de eventualidad es completamente primo. Una red que converge a converge fuertemente si solo puede converger a puntos en la clausura de . Un espacio es sobrio si cada red autoconvergente converge fuertemente a un único punto . [2]
En particular, un espacio es T1 y sobrio precisamente si toda red autoconvergente es constante.
Un espacio X es sobrio si todo funtor de la categoría de haces Sh(X) a Conjunto que preserva todos los límites finitos y todos los colimites pequeños debe ser el funtor tallo de un único punto x .
Cualquier espacio de Hausdorff (T 2 ) es sobrio (los únicos subconjuntos irreducibles son los puntos), y todos los espacios sobrios son Kolmogorov (T 0 ), y ambas implicaciones son estrictas. [3]
La sobriedad no es comparable con la condición T1 :
Además, T 2 es más fuerte que T 1 y sobrio, es decir, mientras que todo espacio T 2 es a la vez T 1 y sobrio, existen espacios que son simultáneamente T 1 y sobrios, pero no T 2 . Un ejemplo de ello es el siguiente: sea X el conjunto de los números reales, con un nuevo punto p adjunto; los conjuntos abiertos son todos los conjuntos abiertos reales y todos los conjuntos cofinitos que contienen p.
La sobriedad de X es precisamente una condición que fuerza a la red de subconjuntos abiertos de X a determinar X hasta el homeomorfismo , lo cual es relevante para la topología sin sentido .
La sobriedad hace que la especialización preordene una orden parcial completa dirigida .
Todo conjunto de objetos dirigidos continuos y completos equipado con la topología de Scott es sobrio.
Los espacios finitos T 0 son sobrios. [4]
El espectro primo Spec( R ) de un anillo conmutativo R con la topología de Zariski es un espacio sobrio compacto . [3] De hecho, cada espacio espectral (es decir, un espacio sobrio compacto para el cual la colección de subconjuntos abiertos compactos está cerrada bajo intersecciones finitas y forma una base para la topología) es homeomorfo a Spec( R ) para algún anillo conmutativo R . Este es un teorema de Melvin Hochster . [5] De manera más general, el espacio topológico subyacente de cualquier esquema es un espacio sobrio.
El subconjunto de Spec( R ) que consiste únicamente en los ideales máximos, donde R es un anillo conmutativo, no es sobrio en general.
