Anillo reducido

Anillo sin elementos nilpotentes distintos de cero

En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , un anillo se denomina anillo reducido si no tiene elementos nilpotentes distintos de cero. De manera equivalente, un anillo se reduce si no tiene elementos distintos de cero con el cuadrado cero, es decir, x ²  = 0 implica x  = 0. Un álgebra conmutativa sobre un anillo conmutativo se denomina álgebra reducida si su anillo subyacente es reducido.

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo R forman un ideal de R , llamado radical nil de R ; por lo tanto, un anillo conmutativo se reduce si y solo si su radical nil es cero . Además, un anillo conmutativo se reduce si y solo si el único elemento contenido en todos los ideales primos es cero.

Un anillo cociente R / I se reduce si y sólo si I es un ideal radical .

Sea nilradical de un anillo conmutativo . Existe un funtor de la categoría de anillos conmutativos en la categoría de anillos reducidos y es adjunto por la izquierda al funtor de inclusión de en . La biyección natural se induce a partir de la propiedad universal de los anillos cocientes. ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\mapsto R/{\mathcal {N}}_{R}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{Red}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\text{Red}}}$ ${\displaystyle {\text{Crng}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\text{Red}}(R/{\mathcal {N}}_{R},S)\cong {\text{Hom}}_{\text{Crng}}(R,I(S))}$

Sea D el conjunto de todos los divisores de cero en un anillo reducido R . Entonces D es la unión de todos los ideales primos mínimos . ^[1]

Sobre un anillo noetheriano R , decimos que un módulo finitamente generado M tiene rango localmente constante si es una función localmente constante (o equivalentemente continua) en Spec R . Entonces R se reduce si y solo si cada módulo finitamente generado de rango localmente constante es proyectivo . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto \operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M\otimes k({\mathfrak {p}}))}$ 

Ejemplos y no ejemplos

• Los subanillos , productos y localizaciones de anillos reducidos son a su vez anillos reducidos.
• El anillo de números enteros Z es un anillo reducido. Todo cuerpo y todo anillo polinómico sobre un cuerpo (en un número arbitrario de variables) es un anillo reducido.
• En términos más generales, todo dominio integral es un anillo reducido, ya que un elemento nilpotente es a fortiori un divisor de cero . Por otra parte, no todo anillo reducido es un dominio integral; por ejemplo, el anillo Z [ x ,  y ]/( xy ) contiene x + ( xy ) e y + ( xy ) como divisores de cero, pero ningún elemento nilpotente distinto de cero. Como otro ejemplo, el anillo Z  ×  Z contiene (1, 0) y (0, 1) como divisores de cero, pero no contiene ningún elemento nilpotente distinto de cero.
• El anillo Z /6 Z se reduce, pero Z /4 Z no se reduce: la clase 2+4 Z es nilpotente. En general, Z / n Z se reduce si y solo si n  = 0 o n es libre de cuadrados .
• Si R es un anillo conmutativo y N es su nilradical , entonces el anillo cociente R / N se reduce.
• Un anillo conmutativo R de característica prima p se reduce si y sólo si su endomorfismo de Frobenius es inyectivo (cf. Campo perfecto ).

Generalizaciones

Los anillos reducidos juegan un papel elemental en la geometría algebraica , donde este concepto se generaliza a la noción de esquema reducido .

Véase también

• Anillo de cociente total § El anillo total de fracciones de un anillo reducido

Notas

1. Demostración: sean todos los ideales primos mínimos (posiblemente cero). ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:}$Sea x en D . Entonces xy = 0 para algún y distinto de cero . Como R se reduce, (0) es la intersección de todos y, por lo tanto, y no está en algún . Como xy está en todos ; en particular, en , x está en . ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$

   ${\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:}$(robado de Kaplansky, anillos conmutativos, Teorema 84). Eliminamos el subíndice i . Sea . S es multiplicativamente cerrado y, por lo tanto, podemos considerar la localización . Sea la preimagen de un ideal maximalista. Entonces está contenido tanto en D como en y por minimalidad . (Esta dirección es inmediata si R es noetheriano por la teoría de primos asociados .) ${\displaystyle S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}}$ ${\displaystyle R\to R[S^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}}$

2. Eisenbud 1995, Ejercicio 20.13.

Referencias

• N. Bourbaki , Álgebra conmutativa , Hermann Paris 1972, cap. II, § 2.7
• N. Bourbaki , Álgebra , Springer 1990, cap. V, § 6.7
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94268-8.