topología h

En geometría algebraica , la topología h es una topología de Grothendieck introducida por Vladimir Voevodsky para estudiar la homología de esquemas . ^{[1] [2]} Combina varias buenas propiedades que poseen sus "sub"topologías relacionadas, como las topologías qfh y cdh . Posteriormente, Beilinson la ha utilizado para estudiar la teoría p-ádica de Hodge, en el trabajo de Bhatt y Scholze sobre la proyectividad del Grassmaniano afín, en el estudio de Huber y Jörder de las formas diferenciales, etc.

Definición

Voevodsky definió la topología h como la topología asociada a familias finitas de morfismos de tipo finito tal que es un epimorfismo topológico universal (es decir, un conjunto de puntos en el objetivo es un subconjunto abierto si y solo si su preimagen es abierta, y cualquier cambio de base también tiene esta propiedad ^{[3] [4]} ). Voevodsky trabajó con esta topología exclusivamente en categorías de esquemas de tipo finito sobre un esquema base noetheriano S. ${\displaystyle \{p_{i}:U_{i}\to X\}}$ ${\displaystyle \amalg U_{i}\to X}$ ${\displaystyle Sch_{/S}^{ft}}$

Bhatt-Scholze define la topología h en la categoría de esquemas de presentación finita sobre un esquema base qcqs que se genera mediante -cubiertas de presentación finita. Muestran (generalizando los resultados de Voevodsky) que la topología h se genera mediante: ${\displaystyle Sch_{/S}^{fp}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle v}$

1. cubiertas fppf, y
2. familias de la forma donde ${\displaystyle \{X'\to X,Z\to X\}}$
   1. ${\displaystyle X'\to X}$es un morfismo propio de presentación finita,
   2. ${\displaystyle Z\to X}$es una inmersión cerrada de presentación finita, y
   3. ${\displaystyle X'\to X}$es un isomorfismo sobre . ${\displaystyle X\setminus Z}$

Nótese que se permite en una explosión abstracta, en cuyo caso Z es una nilimmersión de presentación finita. ${\displaystyle X'=\varnothing }$

Ejemplos

La topología h no es subcanónica, por lo que los prehaces representables casi nunca son h-haces. Sin embargo, la h-hazificación de haces representables son objetos interesantes y útiles; mientras que los prehaces de ciclos relativos no son representables, sus h-haces asociados sí lo son en el sentido de que existe una unión disjunta de esquemas cuasi-proyectivos cuyas h-hazificaciones concuerdan con estos h-haces de ciclos relativos. ^[5]

Cualquier haz h en característica positiva satisface donde interpretamos como el colímite sobre el Frobenii (si el Frobenius es de presentación finita, y si no, usamos un colímite análogo que consiste en morfismos de presentación finita). De hecho, (en característica positiva) la h-hazificación del haz de estructura está dada por . Por lo que el haz de estructura "es un haz h en la categoría de esquemas perfectos" (aunque esta oración realmente no tiene sentido matemáticamente ya que los morfismos entre esquemas perfectos casi nunca son de presentación finita). En característica cero, se obtienen resultados similares con la perfección reemplazada por la seminormalización . ${\displaystyle F(X)=F(X^{perf})}$ ${\displaystyle X^{perf}}$ ${\displaystyle \operatorname {colim} (F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}F(X){\stackrel {\text{Frob}}{\to }}\dots )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{h}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{h}(X)={\mathcal {O}}(X^{perf})}$

Huber-Jörder estudian la h-hazificación del prehaz de diferenciales de Kähler en categorías de esquemas de tipo finito sobre un cuerpo base característico cero . Muestran que si X es suave, entonces , y para varios X no suaves agradables, el haz recupera objetos tales como diferenciales reflexivos y diferenciales libres de torsión. Dado que Frobenius es un recubrimiento h, en característica positiva obtenemos para , pero resultados análogos son verdaderos si reemplazamos la h-topología con la cdh-topología. ${\displaystyle \Omega _{h}^{n}}$ ${\displaystyle X\mapsto \Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Omega _{h}^{n}(X)=\Gamma (X,\Omega _{X/k}^{n})}$ ${\displaystyle \Omega _{h}^{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{h}^{n}=0}$ ${\displaystyle n>0}$

Por el Nullstellensatz , un morfismo de presentación finita hacia el espectro de un cuerpo admite una sección hasta extensión finita. Es decir, existe una extensión de cuerpo finita y una factorización . En consecuencia, para cualquier prehaz y cuerpo tenemos donde , resp. , denota la h-hazificación, resp. la gavillación étale. ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle L/k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (L)\to X\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{h}(k)=F_{et}(k^{perf})}$ ${\displaystyle F_{h}}$ ${\displaystyle F_{et}}$

Propiedades

Como se mencionó anteriormente, en la característica positiva, cualquier haz h satisface . En la característica cero, tenemos donde es la seminormalización (el esquema con el mismo espacio topológico subyacente, pero el haz de estructura se reemplaza con su seminormalización término por término). ${\displaystyle F(X)=F(X^{perf})}$ ${\displaystyle F(X)=F(X^{sn})}$ ${\displaystyle X^{sn}}$

Dado que la topología h es más fina que la topología de Zariski, cada esquema admite una cobertura h por esquemas afines.

Utilizando ampliaciones abstractas e inducción noetheriana, si es un cuerpo que admite resolución de singularidades (por ejemplo, un cuerpo característico cero), entonces cualquier esquema de tipo finito admite un recubrimiento h por esquemas suaves. De manera más general, en cualquier situación en la que sea válido el teorema de De Jong sobre alteraciones, podemos encontrar recubrimientos h por esquemas regulares. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Dado que los morfismos finitos son h-recubrimientos, las correspondencias algebraicas son sumas finitas de morfismos. ^[2]

CDHtopología

La topología cdh en la categoría de esquemas de presentación finita sobre un esquema base qcqs se genera mediante: ${\displaystyle Sch_{/S}^{fp}}$ ${\displaystyle S}$

1. Recubrimientos de Nisnevich , y
2. familias de la forma donde ${\displaystyle \{X'\to X,Z\to X\}}$
   1. ${\displaystyle X'\to X}$es un morfismo propio de presentación finita,
   2. ${\displaystyle Z\to X}$es una inmersión cerrada de presentación finita, y
   3. ${\displaystyle X'\to X}$es un isomorfismo sobre . ${\displaystyle X\setminus Z}$

Es la topología universal con una “buena” teoría de soportes compactos. ^[6]

El cd significa completamente descompuesto (en el mismo sentido que se utiliza para la topología de Nisnevich ). Como se mencionó en la sección de ejemplos, sobre un cuerpo que admita resolución de singularidades, cualquier variedad admite un recubrimiento cdh por variedades suaves. Esta topología se utiliza mucho en el estudio de motivos de Voevodsky con coeficientes integrales (con coeficientes racionales se utiliza la topología h junto con alteraciones de De Jong).

Dado que Frobenius no es una cobertura cdh, la topología cdh también es un reemplazo útil para la topología h en el estudio de diferenciales en características positivas.

De manera bastante confusa, existen recubrimientos h completamente descompuestos que no son recubrimientos cdh, por ejemplo, la familia completamente descompuesta de morfismos planos . ${\displaystyle \{\mathbb {A} ^{1}{\stackrel {x\mapsto x^{2}}{\to }}\mathbb {A} ^{1},\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}{\stackrel {x\mapsto x}{\to }}\mathbb {A} ^{1}\}}$

Relación con la topología en V y la topología en arco

La v-topología (o topología universalmente subtrusiva) es equivalente a la h -topología en la categoría de esquemas de tipo finito sobre un esquema base noetheriano S . En efecto, un morfismo en es universalmente subtrusivo si y solo si es universalmente sumergible Rydh (2010, Cor.2.10). En otras palabras, ${\displaystyle Sch_{S}^{ft}}$ ${\displaystyle Sch_{S}^{ft}}$

$${\displaystyle Shv_{h}(Sch_{S}^{ft})=Shv_{v}(Sch_{S}^{ft}),\qquad (S\ {\textrm {Noetherian}})}$$

En términos más generales, en la categoría de todos los esquemas qcqs, ninguna de las topologías v ni h son más finas que la otra: y . Hay v -coberturas que no son h -coberturas (por ejemplo, ) y h -coberturas que no son v -coberturas (por ejemplo, donde R es un anillo de valoración de rango 2 y es el primo no abierto, no cerrado Rydh (2010, Ejemplo 4.3)). ${\displaystyle Sch}$ ${\displaystyle Shv_{h}(Sch)\not \subset Shv_{v}(Sch)}$ ${\displaystyle Shv_{v}(Sch)\not \subset Shv_{h}(Sch)}$ ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} (x))\to Spec(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle Spec(R/{\mathfrak {p}})\sqcup Spec(R_{\mathfrak {p}})\to Spec(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Sin embargo, podríamos definir un análogo h de la topología fpqc diciendo que una cobertura hqc es una familia tal que para cada abierto afín existe un conjunto finito K , una función y abiertos afines tales que es universalmente sumergible (sin condiciones de finitud). Entonces, cada cobertura v es una cobertura hqc . ${\displaystyle \{T_{i}\to T\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle U\subseteq T}$ ${\displaystyle i:K\to I}$ ${\displaystyle U_{i(k)}\subseteq T_{i(k)}\times _{T}U}$ ${\displaystyle \sqcup _{k\in K}U_{i(k)}\to U}$

$${\displaystyle Shv_{hqc}(Sch)\subsetneq Shv_{v}(Sch).}$$

De hecho, cualquier morfismo subtrusivo es sumergible (este es un ejercicio fácil usando Rydh (2010, Cor.1.5 y Def.2.2)).

Por un teorema de Rydh, para una función de esquemas qcqs con noetheriano, es una v-topología si y solo si es una arco-topología (para el enunciado en esta forma, véase Bhatt & Mathew (2018, Prop.2.6)). Es decir, en el contexto noetheriano todo lo dicho anteriormente para la v-topología es válido para la arco-topología. ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Notas

1. Voevodsky, V. (1996), "Homología de esquemas", Selecta Mathematica , Nueva Serie, 2 (1): 111–153, doi :10.1007/BF01587941, MR  1403354
2. Suslin, Andrei; Voevodsky, Vladimir (1996), "Homología singular de variedades algebraicas abstractas", Inventiones Mathematicae , 123 (1): 61–94, doi :10.1007/BF01232367, SEÑOR  1376246
3. SGA I, Exposé IX, definición 2.1
4. Suslin y Voevodsky, 4.1
5. Suslin, Andrei; Voevodsky, Vladimir (2000), "Ciclos relativos y haces de Chow", Ciclos, transferencias y teorías de homología motívica , Annals of Mathematics Studies, vol. 143, Princeton University Press, págs. 10–86, ISBN 0-691-04814-2, Sr.  1764199
6. Kelly, Shane (2017), "¿Qué es la topología cdh?" (PDF)

Lectura adicional

• Bhatt, Bhargav; Mathew, Akhil (2018), La topología del arco , arXiv : 1807.04725v2
• Rydh, David (2010), "Inmersiones y descenso efectivo de morfismos de étale", Bull. Soc. Math. France , 138 (2): 181–230, arXiv : 0710.2488 , doi :10.24033/bsmf.2588, MR  2679038, S2CID  17484591