El cálculo de ceros de Hilbert

Relación entre variedades algebraicas e ideales polinomiales

En matemáticas , el Nullstellensatz de Hilbert (en alemán, «teorema de los ceros» o, más literalmente, «teorema del lugar geométrico cero») es un teorema que establece una relación fundamental entre la geometría y el álgebra . Esta relación es la base de la geometría algebraica . Relaciona los conjuntos algebraicos con los ideales en anillos polinómicos sobre cuerpos algebraicamente cerrados . Esta relación fue descubierta por David Hilbert , quien demostró el Nullstellensatz en su segundo artículo importante sobre teoría de invariantes en 1893 (después de su artículo seminal de 1890 en el que demostró el teorema de la base de Hilbert ).

Formulación

Sea un cuerpo (como los números racionales ) y sea una extensión de cuerpo algebraicamente cerrada de (como los números complejos ). Considérese el anillo polinomial y sea un ideal en este anillo. El conjunto algebraico definido por este ideal consiste en todas las -tuplas en tales que para todos en ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$.El Nullstellensatz de Hilbert establece que si p es algún polinomio en que se desvanece en el conjunto algebraico , es decir, para todo en , entonces existe un número natural tal que está en . ^[1] ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle p(\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathrm {V} (I)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p^{r}}$ ${\displaystyle I}$

Un corolario inmediato es el Nullstellensatz débil : El ideal contiene 1 si y sólo si los polinomios en I no tienen ningún cero común en K ⁿ . El Nullstellensatz débil también puede formularse de la siguiente manera: si I es un ideal propio en entonces V( I ) no puede estar vacío , es decir, existe un cero común para todos los polinomios en el ideal en cada extensión algebraicamente cerrada de k . Esta es la razón del nombre del teorema, cuya versión completa puede demostrarse fácilmente a partir de la forma "débil" utilizando el truco de Rabinowitsch . El supuesto de considerar ceros comunes en un cuerpo algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo, los elementos del ideal propio ( X ² + 1 ) en no tienen un cero común en ${\displaystyle I\subseteq k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}],}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Con la notación común en geometría algebraica, el Nullstellensatz también se puede formular como

${\displaystyle {\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))={\sqrt {J}}}$

para cada ideal J . Aquí, denota el radical de J e I( U ) es el ideal de todos los polinomios que se desvanecen en el conjunto U . ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$

De esta manera, tomando obtenemos una correspondencia biyectiva de orden inverso entre los conjuntos algebraicos en K ⁿ y los ideales radicales de De hecho, de forma más general, se tiene una conexión de Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde " clausura de Zariski " y "radical del ideal generado" son los operadores de clausura . ${\displaystyle k=K}$ ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

Como ejemplo particular, considere un punto . Entonces . De manera más general, ${\displaystyle P=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$ ${\displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in V(I)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}).}$

Por el contrario, cada ideal máximo del anillo polinomial (nótese que está algebraicamente cerrado) es de la forma para algún . ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$

Como otro ejemplo, un subconjunto algebraico W en K ⁿ es irreducible (en la topología de Zariski) si y solo si es un ideal primo. ${\displaystyle I(W)}$

Pruebas

Existen muchas demostraciones conocidas del teorema. Algunas no son constructivas , como la primera. Otras son constructivas, ya que se basan en algoritmos para expresar 1 o p ^r como una combinación lineal de los generadores del ideal.

Utilizando el lema de Zariski

El lema de Zariski afirma que si un campo se genera finitamente como un álgebra asociativa sobre un campo k , entonces es una extensión de campo finito de k (es decir, también se genera finitamente como un espacio vectorial ).

He aquí un esbozo de una prueba que utiliza este lema. ^[2]

Sea ( k cuerpo algebraicamente cerrado), I un ideal de A, y V los ceros comunes de I en . Claramente, . Sea . Entonces, para algún ideal primo en A . Sea y un ideal maximalista en . Por el lema de Zariski, es una extensión finita de k ; por lo tanto, es k ya que k es algebraicamente cerrado. Sean las imágenes de bajo la función natural que pasa por . Se sigue que y . ${\displaystyle A=k[t_{1},\ldots ,t_{n}]}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}\subseteq I(V)}$ ${\displaystyle f\not \in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle f\not \in {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supseteq I}$ ${\displaystyle R=(A/{\mathfrak {p}})[f^{-1}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle A\to k}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in V}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Utilizando resultantes

La siguiente prueba constructiva de la forma débil es una de las pruebas más antiguas (la forma fuerte resulta del truco de Rabinowitsch , que también es constructivo).

La resultante de dos polinomios que dependen de una variable x y de otras variables es un polinomio en las otras variables que está en el ideal generado por los dos polinomios, y tiene las siguientes propiedades: si uno de los polinomios es mónico en x , cada cero (en las otras variables) de la resultante puede extenderse a un cero común de los dos polinomios.

La prueba es la siguiente:

Si el ideal es principal , generado por un polinomio no constante p que depende de x , se eligen valores arbitrarios para las demás variables. El teorema fundamental del álgebra afirma que esta elección puede extenderse a un cero de p .

En el caso de varios polinomios un cambio lineal de variables permite suponer que es mónico en la primera variable x . Luego, se introducen nuevas variables y se considera la resultante ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n},}$

${\displaystyle R=\operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+\cdots +u_{n}p_{n}).}$

Como R está en el ideal generado por lo mismo es cierto para los coeficientes en R de los monomios en Entonces, si 1 está en el ideal generado por estos coeficientes, también está en el ideal generado por Por otro lado, si estos coeficientes tienen un cero común, este cero puede extenderse a un cero común de por la propiedad anterior de la resultante. ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$ ${\displaystyle u_{2},\ldots ,u_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}.}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n},}$

Esto demuestra la débil relación Nullstellensatz por inducción sobre el número de variables.

Utilizando bases de Gröbner

Una base de Gröbner es un concepto algorítmico introducido en 1973 por Bruno Buchberger . Actualmente es fundamental en la geometría computacional . Una base de Gröbner es un conjunto generador especial de un ideal del que se pueden extraer fácilmente la mayoría de las propiedades del ideal. Las que están relacionadas con el Nullstellensatz son las siguientes:

• Un ideal contiene 1 si y sólo si su base de Gröbner reducida (para cualquier ordenamiento monomial ) es 1 .
• El número de ceros comunes de los polinomios en una base de Gröbner está fuertemente relacionado con el número de monomios que son irreducibles por la base. Es decir, el número de ceros comunes es infinito si y sólo si lo mismo es cierto para los monomios irreducibles; si los dos números son finitos, el número de monomios irreducibles es igual al número de ceros (en un cuerpo algebraicamente cerrado), contados con multiplicidades.
• Con un orden monomial lexicográfico , los ceros comunes se pueden calcular resolviendo iterativamente polinomios univariados (esto no se usa en la práctica ya que se conocen mejores algoritmos).
• Suposición nula fuerte: una potencia de p pertenece a un ideal I si y solo si la saturación de I por p produce la base de Gröbner 1 . Por lo tanto, la suposición nula fuerte resulta casi inmediatamente de la definición de la saturación.

Generalizaciones

El Nullstellensatz se resume en un desarrollo sistemático de la teoría de los anillos de Jacobson , que son aquellos anillos en los que cada ideal radical es una intersección de ideales maximales. Dado el lema de Zariski, demostrar el Nullstellensatz equivale a demostrar que si k es un cuerpo, entonces toda k -álgebra finitamente generada R (necesariamente de la forma ) es de Jacobson. De manera más general, se tiene el siguiente teorema: ${\textstyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$

Sea un anillo de Jacobson. Si es una R -álgebra finitamente generada , entonces es un anillo de Jacobson. Además, si es un ideal maximal, entonces es un ideal maximal de , y es una extensión finita de . ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ ${\textstyle R}$ ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$

Otras generalizaciones parten de considerar el Nullstellensatz en términos de teoría de esquemas , diciendo que para cualquier cuerpo k y k -álgebra R finitamente generada distinta de cero , el morfismo admite una sección étale-localmente (equivalentemente, después del cambio de base a lo largo de alguna extensión de cuerpo finito ). En esta línea, se tiene el siguiente teorema: ${\textstyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ ${\textstyle L/k}$

Cualquier morfismo fielmente plano de esquemas localmente de presentación finita admite una cuasi-sección , en el sentido de que existe un morfismo fielmente plano y localmente cuasi-finito localmente de presentación finita tal que el cambio de base de a lo largo admite una sección. ^[4] Además, si es cuasi-compacto (resp. cuasi-compacto y cuasi-separado ), entonces se puede tomar como afín (resp. afín y cuasi-finito), y si es sobreyectivo suave , entonces se puede tomar como étale . ^[5] ${\textstyle f:Y\to X}$ ${\textstyle g:X'\to X}$ ${\textstyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle X'}$ ${\textstyle g}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle g}$

Serge Lang dio una extensión del Nullstellensatz al caso de infinitos generadores:

Sea un cardinal infinito y sea un cuerpo algebraicamente cerrado cuyo grado de trascendencia sobre su subcuerpo primo es estrictamente mayor que . Entonces, para cualquier conjunto de cardinalidad , el anillo de polinomios satisface el Nullstellensatz, es decir, para cualquier ideal tenemos que . ^[6] ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle K}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle \kappa }$ ${\textstyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ ${\textstyle J\subset A}$ ${\displaystyle {\sqrt {J}}={\hbox{I}}({\hbox{V}}(J))}$

Sentencia de nulidad efectiva

En todas sus variantes, el Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertenece o no a un ideal generado, digamos, por f ₁ , ..., f _k ; tenemos g = f ^r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o la no existencia de polinomios g ₁ , ..., g _k tales que g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Las demostraciones habituales del Nullstellensatz no son constructivas, no son efectivas, en el sentido de que no proporcionan ninguna manera de calcular el g _i .

Por lo tanto, es bastante natural preguntarse si existe una manera efectiva de calcular el g _i (y el exponente r en la forma fuerte) o de demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar un límite superior al grado total de g _i : dicho límite reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que se puede resolver mediante técnicas de álgebra lineal habituales . Cualquier límite superior de este tipo se denomina Nullstellensatz efectivo .

Un problema relacionado es el problema de pertenencia ideal , que consiste en comprobar si un polinomio pertenece a un ideal. Para este problema también se proporciona una solución mediante una cota superior en el grado de g _i . Una solución general del problema de pertenencia ideal proporciona un Nullstellensatz eficaz, al menos para la forma débil.

En 1925, Grete Hermann propuso un límite superior para el problema de pertenencia ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo en el que las g _i tienen un grado que es al menos doblemente exponencial, lo que demuestra que todo límite superior general para el problema de pertenencia ideal es doblemente exponencial en el número de variables.

Como la mayoría de los matemáticos de la época asumían que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la pertenencia ideal, pocos matemáticos buscaron un límite mejor que el doble exponencial. Sin embargo, en 1987, W. Dale Brownawell proporcionó un límite superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. ^[7] La ​​prueba de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas solo en la característica 0, pero, un año después, János Kollár proporcionó una prueba puramente algebraica, válida en cualquier característica, de un límite ligeramente mejor.

En el caso del Nullstellensatz débil, el límite de Kollár es el siguiente: ^[8]

Sean f ₁ , ..., f _s polinomios en n ≥ 2 variables, de grado total d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Si existen polinomios g _i tales que f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , entonces pueden elegirse de manera que

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$

Este límite es óptimo si todos los grados son mayores que 2.

Si d es el máximo de los grados de f _i , este límite puede simplificarse a

${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$

Una mejora debida a M. Sombra es ^[9]

${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$

Su límite mejora al de Kollár siempre que al menos dos de los grados implicados sean inferiores a 3.

Sentido nulo proyectivo

Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyectivo, llamado Nullstellensatz proyectivo , que es análogo al afín. Para ello, introducimos algunas notaciones. Sea el ideal homogéneo, ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$

${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$

se llama ideal homogéneo máximo (véase también ideal irrelevante ). Como en el caso afín, hacemos: para un subconjunto y un ideal homogéneo I de R , ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ on }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in I\}.\end{aligned}}}$

Con esto queremos decir: para cada coordenada homogénea de un punto de S tenemos . Esto implica que los componentes homogéneos de f también son cero en S y, por lo tanto, es un ideal homogéneo. De manera equivalente, es el ideal homogéneo generado por polinomios homogéneos f que se anulan en S . Ahora bien, para cualquier ideal homogéneo , por el habitual método Nullstellensatz, tenemos: ${\displaystyle f=0{\text{ on }}S}$ ${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$ ${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ ${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$

y así, como en el caso afín, tenemos: ^[10]

Existe una correspondencia biunívoca de orden inverso entre ideales radicales homogéneos propios de R y subconjuntos de de la forma La correspondencia está dada por y ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$ ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

Nullstellensatz analítico (Nulstellensatz de Rückert)

El Nullstellensatz también es válido para los gérmenes de funciones holomorfas en un punto del n -espacio complejo. Precisamente, para cada subconjunto abierto sea el anillo de funciones holomorfas en U ; entonces es un haz en El tallo en, digamos, el origen puede demostrarse que es un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

Si es un germen representado por una función holomorfa , entonces sea la clase de equivalencia del conjunto ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$

${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$

donde dos subconjuntos se consideran equivalentes si para algún vecindario U de 0. Nótese que es independiente de una elección del representante. Para cada ideal sea denotado para algunos generadores de I . Está bien definido; es decir, es independiente de una elección de los generadores. ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ ${\displaystyle V_{0}(f)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$ ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$ ${\displaystyle V_{0}(I)}$ ${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$

Para cada subconjunto , sea ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$

Es fácil ver que es un ideal de y que si en el sentido discutido anteriormente. ${\displaystyle I_{0}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ ${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ ${\displaystyle X\sim Y}$

El Nullstellensatz analítico establece entonces: ^[11] para cada ideal , ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$

donde el lado izquierdo es el radical de I .

Véase también

• Sentido positivo de Stengle
• Sentido de nulidad diferencial
• Sentido nulo combinatorio
• Lema Artin-Tate
• Radical real
• Serie de potencias restringidas#Álgebra de Tate , un análogo del nullstellensatz de Hilbert, se cumple para las álgebras de Tate.

Notas

1. Zariski–Samuel, Cap. VII, Teorema 14.
2. Atiyah–Macdonald, Cap. 7.
3. Emerton, Matthew. "Anillos de Jacobson" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 25 de julio de 2022.
4. EGA §IV.17.16.2.
5. EGA §IV.17.16.3(ii).
6. Lang, Serge (1952). "Nulstellensatz de Hilbert en un espacio de dimensiones infinitas". Proc. Soy. Matemáticas. Soc. 3 (3): 407–410. doi :10.2307/2031893. JSTOR  2031893.
7. Brownawell, W. Dale (1987), "Límites para los grados en el Nullstellensatz", Ann. of Math. , 126 (3): 577–591, doi :10.2307/1971361, JSTOR  1971361, MR  0916719
8. Kollár, János (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF) , Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 963–975, doi :10.2307/1990996, JSTOR  1990996, MR  0944576, archivado desde el original (PDF) el 2014-03-03 , consultado el 2012-10-14
9. Sombra, Martín (1999), "A Sparse Effective Nullstellensatz", Avances en Matemáticas Aplicadas , 22 (2): 271–295, arXiv : alg-geom/9710003 , doi :10.1006/aama.1998.0633, MR  1659402, S2CID  119726673
10. Esta formulación proviene de Milne, Geometría algebraica [1] y difiere de Hartshorne 1977, Cap. I, Ejercicio 2.4
11. Huybrechts, Proposición 1.1.29.

Referencias

• Almira, José María (2007). «Nullstellensatz revisitado» (PDF) . Desgarrar. Semín. Estera. Univ. Politec. Turín . 65 (3): 365–369.
• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1994). Introducción al álgebra conmutativa . Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5.
• Eisenbud, David (1999). Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 150. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Hilbert, David (1893). "Ueber die vollen Invariantensysteme". Annalen Matemáticas . 42 (3): 313–373. doi :10.1007/BF01444162.
• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.
• Mukai, Shigeru (2003). Introducción a los invariantes y módulos . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 81. William Oxbury (trad.). pág. 82. ISBN 0-521-80906-1.
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre (1960). Álgebra conmutativa. Volumen II . Berlín. ISBN 978-3-662-27753-9.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)