En álgebra , el radical real de un ideal I en un anillo de polinomios con coeficientes reales es el ideal más grande que contiene a I con el mismo lugar geométrico evanescente (real). Desempeña un papel similar en la geometría algebraica real al que desempeña el radical de un ideal en la geometría algebraica sobre un cuerpo algebraicamente cerrado . Más específicamente, el Nullstellensatz de Hilbert dice que cuando I es un ideal en un anillo de polinomios con coeficientes que provienen de un cuerpo algebraicamente cerrado, el radical de I es el conjunto de polinomios que se desvanecen en el lugar geométrico evanescente de I. En la geometría algebraica real, el Nullstellensatz falla ya que los números reales no son algebraicamente cerrados. Sin embargo, se puede recuperar un teorema similar, el Nullstellensatz real , utilizando el radical real en lugar del radical (ordinario).
El radical real de un ideal I en un anillo de polinomios sobre los números reales, denotado por , se define como
El Positivstellensatz entonces implica que es el conjunto de todos los polinomios que se desvanecen en la variedad real [Nota 1] definida por la desaparición de .
![{\displaystyle \mathbb {R} [x_{1},\puntos ,x_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2ced87a73a310f03896a55f51a097cd9876ac)
![{\displaystyle {\sqrt[{\mathbb {R} }]{I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35198ff7ea1557693742867ebe5a8c9af87b117)
![{\displaystyle {\sqrt[{\mathbb {R} }]{I}}={\Big \{}f\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}]\left|\,-f^{2m}=\textstyle {\sum _{i}}h_{i}^{2}+g\right.{\text{donde }}\ m\in \mathbb {Z} _{+},\,h_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\dots ,x_{n}],\,{\text{y }}g\in I{\Big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fb20805a672318f6b2a46dfaa3c7feea286903c)
