En matemáticas , los teoremas A y B de Cartan son dos resultados demostrados por Henri Cartan alrededor de 1951, en relación con una gavilla coherente F en una variedad de Stein X. Son significativos tanto en su aplicación a varias variables complejas como en el desarrollo general de la cohomología de la gavilla .
El teorema A — F está abarcado por sus secciones globales .
El teorema B se expresa en términos cohomológicos (formulación que Cartan (1953, p. 51) atribuye a J.-P. Serre):
Teorema B - H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Serre (1957) estableció propiedades análogas para haces coherentes en geometría algebraica , cuando X es un esquema afín . El análogo del Teorema B en este contexto es el siguiente (Hartshorne 1977, Teorema III.3.7):
Teorema B (análogo teórico del esquema) : sea X un esquema afín, F un haz cuasi coherente de módulos O X para la topología de Zariski en X. Entonces H p ( X , F ) = 0 para todo p > 0 .
Estos teoremas tienen muchas aplicaciones importantes. Por ejemplo , implican que una función holomorfa en una subvariedad compleja cerrada, Z , de una variedad de Stein X puede extenderse a una función holomorfa en todo X. En un nivel más profundo, Jean-Pierre Serre utilizó estos teoremas para demostrar el teorema GAGA .
El teorema B es claro en el sentido de que si H 1 ( X , F ) = 0 para todos los haces F coherentes en una variedad compleja X (resp. haces F cuasi coherentes en un esquema noetheriano X ), entonces X es Stein (resp. afín); ver (Serre 1956) (resp. (Serre 1957) y (Hartshorne 1977, Teorema III.3.7)).