Resolución (álgebra)

En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , una resolución (o resolución izquierda ; dualmente una coresolución o resolución derecha ^[1] ) es una secuencia exacta de módulos (o, más generalmente, de objetos de una categoría abeliana ) que se utiliza para definir invariantes que caracterizan la estructura de un módulo u objeto específico de esta categoría. Cuando, como suele ocurrir, las flechas están orientadas hacia la derecha, se supone que la secuencia es infinita hacia la izquierda para resoluciones (izquierda) y hacia la derecha para resoluciones derechas. Sin embargo, una resolución finita es aquella en la que sólo un número finito de objetos en la secuencia son distintos de cero ; Por lo general, se representa mediante una secuencia exacta finita en la que el objeto más a la izquierda (para resoluciones) o el objeto más a la derecha (para coresoluciones) es el objeto cero . ^[2]

Generalmente, los objetos de la secuencia están restringidos a tener alguna propiedad P (por ejemplo, ser libres). Se habla entonces de una resolución P. En particular, cada módulo tiene resoluciones libres , resoluciones proyectivas y resoluciones planas , que son resoluciones restantes que constan, respectivamente, de módulos libres , módulos proyectivos o módulos planos . De manera similar, cada módulo tiene resoluciones inyectivas , que son resoluciones correctas que consisten en módulos inyectivos .

Resoluciones de módulos

Definiciones

Dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución izquierda (o simplemente resolución ) de M es una secuencia exacta (posiblemente infinita) de R -módulos

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}}{\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

Los homomorfismos d _i se llaman mapas de límites. El mapa ε se llama mapa de aumento . Para ser conciso, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

La noción dual es la de una resolución correcta (o coresolución , o simplemente resolución ). Específicamente, dado un módulo M sobre un anillo R , una resolución correcta es una secuencia exacta posiblemente infinita de R -módulos

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^{1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

donde cada Ci es un módulo R (es común usar superíndices en los objetos en la resolución y los mapas entre ellos para indicar la naturaleza dual de dicha resolución) ^. Para ser conciso, la resolución anterior se puede escribir como

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

Se dice que una (co)resolución es finita si sólo un número finito de los módulos involucrados son distintos de cero. La longitud de una resolución finita es el índice máximo n que etiqueta un módulo distinto de cero en la resolución finita.

Resoluciones libres, proyectivas, inyectivas y planas.

En muchas circunstancias se imponen condiciones a los módulos E _i que resuelven el módulo M dado . Por ejemplo, una resolución libre de un módulo M es una resolución izquierda en la que todos los módulos E _i son módulos R libres . Asimismo, las resoluciones proyectivas y planas son resoluciones dejadas tales que todos los E _i son módulos R proyectivos y planos , respectivamente. Las resoluciones inyectivas son resoluciones correctas cuyos Ci ^son todos módulos inyectivos .

Cada módulo R posee una resolución izquierda libre. ^[3] A fortiori , cada módulo también admite resoluciones proyectivas y planas. La idea de la prueba es definir E ₀ como el módulo R libre generado por los elementos de M , y luego E ₁ como el módulo R libre generado por los elementos del núcleo del mapa natural E ₀ → M , etc. Además, cada módulo R posee una resolución inyectiva. Se pueden utilizar resoluciones proyectivas (y, más generalmente, resoluciones planas) para calcular functores Tor .

La resolución proyectiva de un módulo M es única hasta una homotopía en cadena , es decir, dadas dos resoluciones proyectivas P ₀ → M y P ₁ → M de M existe una homotopía en cadena entre ellas.

Las resoluciones se utilizan para definir dimensiones homológicas . La longitud mínima de una resolución proyectiva finita de un módulo M se denomina dimensión proyectiva y se denota como pd( M ). Por ejemplo, un módulo tiene dimensión proyectiva cero si y sólo si es un módulo proyectivo. Si M no admite una resolución proyectiva finita entonces la dimensión proyectiva es infinita. Por ejemplo, para un anillo local conmutativo R , la dimensión proyectiva es finita si y sólo si R es regular y en este caso coincide con la dimensión de Krull de R. De manera análoga, la dimensión inyectiva id( M ) y la dimensión plana fd( M ) también se definen para módulos.

Las dimensiones inyectivas y proyectivas se utilizan en la categoría de módulos R derechos para definir una dimensión homológica para R llamada dimensión global derecha de R. De manera similar, la dimensión plana se utiliza para definir la dimensión global débil . El comportamiento de estas dimensiones refleja características del anillo. Por ejemplo, un anillo tiene dimensión global derecha 0 si y solo si es un anillo semisimple , y un anillo tiene dimensión global débil 0 si y solo si es un anillo regular de von Neumann .

Módulos graduados y álgebras.

Sea M un módulo graduado sobre un álgebra graduada , que se genera sobre un campo por sus elementos de grado positivo. Entonces M tiene una resolución libre en la que los módulos libres E _i pueden graduarse de tal manera que d _i y ε sean mapas lineales graduados . Entre estas resoluciones libres graduadas, las resoluciones libres mínimas son aquellas para las cuales el número de elementos básicos de cada E _i es mínimo. El número de elementos básicos de cada E _i y sus grados son los mismos para todas las resoluciones mínimas libres de un módulo graduado.

Si I es un ideal homogéneo en un anillo polinómico sobre un campo, la regularidad de Castelnuovo-Mumford del conjunto algebraico proyectivo definido por I es el entero mínimo r tal que los grados de los elementos base de E _i en una resolución libre mínima de Todos soy más bajo que ri .

Ejemplos

Un ejemplo clásico de resolución libre lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular en un anillo local o de una secuencia regular homogénea en un álgebra graduada finitamente generada sobre un campo.

Sea X un espacio asférico , es decir, su cubierta universal E es contráctil . Entonces cada complejo de cadena singular (o simplicial ) de E es una resolución libre del módulo Z no sólo sobre el anillo Z sino también sobre el anillo del grupo Z [ π ₁ ( X )].

Resoluciones en categorías abelianas.

La definición de resoluciones de un objeto M en una categoría abeliana A es la misma que la anterior, pero E _i y C ⁱ son objetos en A , y todos los mapas involucrados son morfismos en A.

La noción análoga de módulos proyectivos e inyectivos es objetos proyectivos e inyectivos y, en consecuencia, resoluciones proyectivas e inyectivas. Sin embargo, tales resoluciones no tienen por qué existir en una categoría abeliana general A. Si cada objeto de A tiene una resolución proyectiva (o inyectiva), entonces se dice que A tiene suficientes proyectivos (o suficientes inyectivos ). Incluso si existen, a menudo es difícil trabajar con esas resoluciones. Por ejemplo, como se señaló anteriormente, cada módulo R tiene una resolución inyectiva, pero esta resolución no es funtorial , es decir, dado un homomorfismo M → M' , junto con las resoluciones inyectivas.

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

En general, no existe una forma funcional de obtener un mapa entre y . ${\displaystyle I_{*}}$ ${\displaystyle I'_{*}}$

Categorías abelianas sin resoluciones proyectivas en general

Una clase de ejemplos de categorías abelianas sin resoluciones proyectivas son las categorías de haces coherentes en un esquema . Por ejemplo, si es un espacio proyectivo, cualquier haz coherente tiene una presentación dada por una secuencia exacta. ${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

Los dos primeros términos no son en general proyectivos ya que para . Pero ambos términos son localmente libres y localmente planos. Ambas clases de gavillas se pueden utilizar para ciertos cálculos, reemplazando las resoluciones proyectivas para calcular algunos functores derivados. ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$ ${\displaystyle s>0}$

Resolución acíclica

En muchos casos uno no está realmente interesado en los objetos que aparecen en una resolución, sino en el comportamiento de la resolución con respecto a un funtor determinado . Por lo tanto, en muchas situaciones, se utiliza la noción de resoluciones acíclicas : dado un funtor exacto izquierdo F : A → B entre dos categorías abelianas, una resolución

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

de un objeto M de A se llama F -acíclico, si los funtores derivados R _i F ( E _n ) desaparecen para todo i  > 0 y n  ≥ 0. De manera dual, una resolución izquierda es acíclica con respecto a un funtor exacto derecho si su Los functores derivados desaparecen en los objetos de la resolución.

Por ejemplo, dado un R -módulo M , el producto tensorial    es un funtor exacto recto Mod ( R ) → Mod ( R ). Toda resolución plana es acíclica con respecto a este funtor. Una resolución plana es acíclica para el producto tensorial por cada M. De manera similar, las resoluciones que son acíclicas para todos los funtores Hom ( ⋅ , M ) son las resoluciones proyectivas y las que son acíclicas para los funtores Hom ( M , ⋅ ) son las resoluciones inyectivas. ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

Cualquier resolución inyectiva (proyectiva) es F -acíclica para cualquier funtor exacto a la izquierda (exacto a la derecha, respectivamente).

La importancia de las resoluciones acíclicas radica en el hecho de que los funtores derivados R _i F (de un funtor exacto izquierdo, y también L _i F de un funtor exacto derecho) se pueden obtener como la homología de F -resoluciones acíclicas: dada una resolución acíclica resolución de un objeto M , tenemos ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

donde el lado derecho es el i -ésimo objeto de homología del complejo ${\displaystyle F(E_{*}).}$

Esta situación se aplica en muchas situaciones. Por ejemplo, para la gavilla constante R en una variedad diferenciable M se puede resolver mediante gavillas de formas diferenciales suaves : ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

Las gavillas son gavillas finas , que se sabe que son acíclicas con respecto al functor de sección global . Por lo tanto, la cohomología de la gavilla , que es el funtor derivado del funtor de sección global Γ, se calcula como ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$ ${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

De manera similar, las resoluciones de Godement son acíclicas con respecto al funtor de secciones globales.

Ver también

• Resolución estándar
• Teorema de Hilbert-Burch
• Teorema de la sizigia de Hilbert
• Presentación gratuita
• Factorizaciones matriciales (álgebra)

Notas

1. Jacobson 2009, §6.5 utiliza corresolución , aunque la resolución correcta es más común, como en Weibel 1994, cap. 2
2. resolución proyectiva en el n Lab , resolución en el n Lab
3. Jacobson 2009, §6.5

Referencias

• Iain T. Adamson (1972), Anillos y módulos elementales , Textos matemáticos universitarios, Oliver y Boyd, ISBN 0-05-002192-3
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con la mirada hacia la geometría algebraica , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-94268-8, SEÑOR  1322960, Zbl  0819.13001
• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Álgebra básica II (Segunda ed.), Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.