Factorización matricial (álgebra)

En álgebra homológica , una rama de las matemáticas, una factorización matricial es una herramienta utilizada para estudiar resoluciones infinitamente largas , generalmente sobre anillos conmutativos.

Motivación

Uno de los problemas con las álgebras no suaves, como las álgebras de Artin , es que sus categorías derivadas se comportan mal debido a resoluciones proyectivas infinitas. Por ejemplo, en el anillo hay una resolución infinita del módulo donde ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x]/(x^{2})}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R{\xrightarrow {\cdot x}}R\to \mathbb {C} \to 0}$

En lugar de observar únicamente la categoría derivada de la categoría del módulo, David Eisenbud ^[1] estudió dichas resoluciones observando su periodicidad. En general, dichas resoluciones son periódicas con un período después de un número finito de objetos en la resolución. ${\displaystyle 2}$

Definición

Para un anillo conmutativo y un elemento , una factorización matricial de es un par de matrices cuadradas tales que . Esto se puede codificar de manera más general como un módulo graduado con un endomorfismo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle AB=f\cdot {\text{Id}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M=M_{0}\oplus M_{1}}$

${\displaystyle d={\begin{bmatrix}0&d_{1}\\d_{0}&0\end{bmatrix}}}$

tal que . ${\displaystyle d^{2}=f\cdot {\text{Id}}_{M}}$

Ejemplos

(1) Para y hay una factorización matricial donde para . ${\displaystyle S=\mathbb {C} [[x]]}$ ${\displaystyle f=x^{n}}$ ${\displaystyle d_{0}:S\rightleftarrows S:d_{1}}$ ${\displaystyle d_{0}=x^{i},d_{1}=x^{n-i}}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$

(2) Si y , entonces existe una factorización matricial donde ${\displaystyle S=\mathbb {C} [[x,y,z]]}$ ${\displaystyle f=xy+xz+yz}$ ${\displaystyle d_{0}:S^{2}\rightleftarrows S^{2}:d_{1}}$

${\displaystyle d_{0}={\begin{bmatrix}z&y\\x&-x-y\end{bmatrix}}{\text{ }}d_{1}={\begin{bmatrix}x+y&y\\x&-z\end{bmatrix}}}$

Periodicidad

definición

Teorema principal

Dado un anillo local regular y un ideal generado por una secuencia, establezca y deje ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I\subset R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A/I}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to 0}$

ser una resolución libre mínima del campo terrestre. Luego se vuelve periódico después de como máximo los pasos. https://www.youtube.com/watch?v=2Jo5eCv9ZVY ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle 1+{\text{dim}}(B)}$

Módulos máximos de Cohen-Macaulay

página 18 del artículo de eisenbud

Estructura categórica

Soporte de factorizaciones matriciales.

Ver también

• Geometría algebraica no conmutativa derivada
• categoría derivada
• Álgebra homológica
• Categoría triangulada

Referencias

1. Eisenbud, David (1980). "Álgebra homológica sobre una intersección completa, con aplicación a representaciones grupales" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 260 : 35–64. doi :10.1090/S0002-9947-1980-0570778-7. S2CID  27495286. Archivado desde el original (PDF) el 25 de febrero de 2020.

Otras lecturas

• Álgebra homológica en una intersección completa con aplicación a representaciones de grupos
• Estudio geométrico de la categoría de factorizaciones matriciales.
• https://web.math.princeton.edu/~takumim/takumim_Spr13_JP.pdf
• https://arxiv.org/abs/1110.2918