Teorema de Borel-Weil-Bott

Resultado básico en la teoría de representación de los grupos de Lie

En matemáticas , el teorema de Borel-Weil-Bott es un resultado básico en la teoría de representación de los grupos de Lie , que muestra cómo se puede obtener una familia de representaciones a partir de secciones holomorfas de ciertos fibrados vectoriales complejos y, más generalmente, a partir de grupos de cohomología de haces superiores asociados a dichos fibrados. Se basa en el teorema de Borel-Weil anterior de Armand Borel y André Weil , que trata solo del espacio de secciones (el grupo de cohomología cero), y la extensión a los grupos de cohomología superiores la proporcionó Raoul Bott . De manera equivalente, a través de GAGA de Serre , se puede ver esto como un resultado en geometría algebraica compleja en la topología de Zariski .

Formulación

Sea G un grupo de Lie semisimple o un grupo algebraico sobre , y fijemos un toro maximalista T junto con un subgrupo de Borel B que contiene a T . Sea λ un peso entero de T ; λ define de manera natural una representación unidimensional C _λ de B , retirando la representación en T = B / U , donde U es el radical unipotente de B . Puesto que podemos pensar en la función de proyección G → G / B como un fibrado B principal , para cada C _λ obtenemos un fibrado de fibras asociado L _−λ en G / B (nótese el signo), que es obviamente un fibrado lineal . Identificando L _λ con su haz de secciones holomorfas, consideramos los grupos de cohomología de haces . Puesto que G actúa sobre el espacio total del fibrado mediante automorfismos de fibrado, esta acción da naturalmente una estructura de módulo G sobre estos grupos; y el teorema de Borel-Weil-Bott da una descripción explícita de estos grupos como G -módulos. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$ ${\displaystyle L_{\lambda }}$

Primero debemos describir la acción del grupo de Weyl centrada en . Para cualquier peso integral λ y w en el grupo de Weyl W , establecemos , donde ρ denota la semisuma de las raíces positivas de G . Es sencillo comprobar que esto define una acción de grupo, aunque esta acción no es lineal, a diferencia de la acción habitual del grupo de Weyl. Además, se dice que un peso μ es dominante si para todas las raíces simples α . Sea ℓ la función de longitud en W . ${\displaystyle -\rho }$ ${\displaystyle w*\lambda :=w(\lambda +\rho )-\rho \,}$ ${\displaystyle \mu (\alpha ^{\vee })\geq 0}$

Dado un peso integral λ , se producen uno de dos casos:

1. No existe tal cosa que sea dominante, equivalentemente, existe una no identidad tal que ; o ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle w*\lambda }$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle w*\lambda =\lambda }$
2. Hay un tal único que es dominante. ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle w*\lambda }$

El teorema establece que en el primer caso, tenemos

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$para todo yo ;

y en el segundo caso tenemos

${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$para todos , mientras ${\displaystyle i\neq \ell (w)}$

${\displaystyle H^{\ell (w)}(G/B,\,L_{\lambda })}$es el dual de la representación irreducible de mayor peso de G con mayor peso . ${\displaystyle w*\lambda }$

Vale la pena señalar que el caso (1) anterior ocurre si y solo si para alguna raíz positiva β . Además, obtenemos el teorema clásico de Borel-Weil como un caso especial de este teorema al tomar λ como dominante y w como el elemento identidad . ${\displaystyle (\lambda +\rho )(\beta ^{\vee })=0}$ ${\displaystyle e\in W}$

Ejemplo

Por ejemplo, considere G = SL ₂ ( C ) , para la cual G / B es la esfera de Riemann , un peso integral se especifica simplemente por un entero n , y ρ = 1 . El fibrado de líneas L _n es , cuyas secciones son los polinomios homogéneos de grado n (es decir, las formas binarias ). Como representación de G , las secciones se pueden escribir como Sym ⁿ ( C ² )* , y es canónicamente isomorfa a Sym ⁿ ( C ² ) . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$

Esto nos da de golpe la teoría de representación de : es la representación estándar, y es su n -ésima potencia simétrica . Incluso tenemos una descripción unificada de la acción del álgebra de Lie, derivada de su realización como campos vectoriales en la esfera de Riemann: si H , X , Y son los generadores estándar de , entonces ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(1))}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(n))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbf {C} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H&=x{\frac {\partial }{\partial x}}-y{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]X&=x{\frac {\partial }{\partial y}},\\[5pt]Y&=y{\frac {\partial }{\partial x}}.\end{aligned}}}$

Caracteristica positiva

También se tiene una forma más débil de este teorema en característica positiva. Es decir, sea G un grupo algebraico semisimple sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica . Entonces sigue siendo cierto que para todo i si λ es un peso tal que no es dominante para todo mientras λ sea "cercano a cero". ^[1] Esto se conoce como el teorema de desaparición de Kempf . Sin embargo, los otros enunciados del teorema no siguen siendo válidos en este contexto. ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$ ${\displaystyle w*\lambda }$ ${\displaystyle w\in W}$

Más explícitamente, sea λ un peso integral dominante; entonces sigue siendo cierto que para todo , pero ya no es cierto que este G -módulo sea simple en general, aunque sí contiene el módulo de mayor peso único de mayor peso λ como un G -submódulo. Si λ es un peso integral arbitrario, es de hecho un gran problema sin resolver en la teoría de la representación describir los módulos de cohomología en general. A diferencia de sobre , Mumford dio un ejemplo que muestra que no tiene por qué ser el caso para un λ fijo que estos módulos sean todos cero excepto en un solo grado i . ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })=0}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle H^{i}(G/B,\,L_{\lambda })}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Teorema de Borel-Weil

El teorema de Borel-Weil proporciona un modelo concreto para representaciones irreducibles de grupos de Lie compactos y representaciones holomorfas irreducibles de grupos de Lie semisimples complejos . Estas representaciones se realizan en los espacios de secciones globales de fibrados de líneas holomorfas en la variedad bandera del grupo. El teorema de Borel-Weil-Bott es su generalización a espacios de cohomología superiores. El teorema se remonta a principios de la década de 1950 y se puede encontrar en Serre (1954) y Tits (1955).

Enunciado del teorema

El teorema puede enunciarse tanto para un grupo de Lie semisimple complejo G como para su forma compacta K . Sea G un grupo de Lie semisimple complejo conexo , B un subgrupo de Borel de G y X = G / B la variedad bandera . En este escenario, X es una variedad compleja y una variedad G algebraica no singular . La variedad bandera también puede describirse como un espacio homogéneo compacto K / T , donde T = K ∩ B es un subgrupo de Cartan (compacto) de K . Un peso integral λ determina un fibrado lineal holomórfico G -equivariante L _λ en X y el grupo G actúa sobre su espacio de secciones globales,

${\displaystyle \Gamma (G/B,L_{\lambda }).\ }$

El teorema de Borel-Weil establece que si λ es un peso integral dominante , entonces esta representación es una representación holomórfica irreducible de mayor peso de G con el mayor peso λ . Su restricción a K es una representación unitaria irreducible de K con el mayor peso λ , y cada representación unitaria irreducible de K se obtiene de esta manera para un valor único de λ . (Una representación holomórfica de un grupo de Lie complejo es aquella para la cual la representación del álgebra de Lie correspondiente es lineal compleja ).

Descripción concreta

El peso λ da lugar a un carácter (representación unidimensional) del subgrupo de Borel B , que se denota χ _λ . Las secciones holomorfas del fibrado de líneas holomorfas L _λ sobre G / B pueden describirse más concretamente como mapas holomorfas

${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} _{\lambda }:f(gb)=\chi _{\lambda }(b^{-1})f(g)}$

para todos g ∈ G y b ∈ B .

La acción de G sobre estas secciones está dada por

${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$

para g , h ∈ G .

Ejemplo

Sea G el grupo lineal especial complejo SL(2, C ) , con un subgrupo de Borel que consiste en matrices triangulares superiores con determinante uno. Los pesos integrales para G pueden identificarse con números enteros , con pesos dominantes correspondientes a números enteros no negativos, y los caracteres correspondientes χ _n de B tienen la forma

${\displaystyle \chi _{n}{\begin{pmatrix}a&b\\0&a^{-1}\end{pmatrix}}=a^{n}.}$

La variedad bandera G / B puede identificarse con la línea proyectiva compleja CP ¹ con coordenadas homogéneas X , Y y el espacio de las secciones globales del fibrado de líneas L _n se identifica con el espacio de polinomios homogéneos de grado n sobre C ² . Para n ≥ 0 , este espacio tiene dimensión n + 1 y forma una representación irreducible bajo la acción estándar de G sobre el álgebra de polinomios C [ X , Y ] . Los vectores de peso están dados por monomios

${\displaystyle X^{i}Y^{n-i},\quad 0\leq i\leq n}$

de pesos 2 i − n , y el vector de peso más alto X ⁿ tiene peso n .

Véase también

• Teorema del mayor peso

Notas

1. Jantzen, Jens Carsten (2003). Representaciones de grupos algebraicos (segunda edición). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3527-2.

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103..
• Baston, Robert J.; Eastwood, Michael G. (1989), La transformada de Penrose: su interacción con la teoría de la representación , Oxford University Press. (reimpreso por Dover)
• "Teorema de Bott-Borel-Weil", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Una demostración del teorema de Borel-Weil-Bott, por Jacob Lurie . Recuperado el 13 de julio de 2014.
• Serre, Jean-Pierre (1954) [1951], "Représentations linéaires et espaces homogènes kählériens des groupes de Lie compacts (d'après Armand Borel et André Weil)" [Representaciones lineales y espacios homogéneos de Kähler de grupos compactos de Lie (según Armand Borel y André Weil)], Séminaire Bourbaki (en francés), 2 (100): 447–454.
• Tetas, Jacques (1955), Sur sures classs d'espaces homogènes de groupes de Lie , Acad. Roy. Belga. Cl. Ciencia. Mém. Col. (en francés), vol. 29.
• Sepanski, Mark R. (2007), Grupos de Lie compactos. , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 235, Nueva York: Springer, ISBN 9780387302638.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples: una descripción general basada en ejemplos , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press. Reimpresión del original de 1986.

Lectura adicional

• Teleman, Constantin (1998). "Teoría de Borel–Weil–Bott sobre la pila de módulos de los fibrados G sobre una curva". Inventiones Mathematicae . 134 (1): 1–57. doi :10.1007/s002220050257. MR  1646586.

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