Unipotente

En matemáticas , un elemento unipotente r de un anillo R es tal que r  − 1 es un elemento nilpotente ; en otras palabras, ( r  − 1) ⁿ es cero para algún n .

En particular, una matriz cuadrada M es una matriz unipotente si y sólo si su polinomio característico P ( t ) es una potencia de t  − 1. Por tanto, todos los valores propios de una matriz unipotente son 1.

El término cuasi-unipotente significa que alguna potencia es unipotente, por ejemplo, para una matriz diagonalizable con valores propios que son todos raíces de la unidad .

En la teoría de grupos algebraicos , un elemento de grupo es unipotente si actúa unipotentemente en una determinada representación de grupo natural . Un grupo algebraico afín unipotente es entonces un grupo con todos los elementos unipotentes.

Definición

Definición con matrices

Considere el grupo de matrices triangulares superiores con 's a lo largo de la diagonal, por lo que son el grupo de matrices ^[1] ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&\cdots &*&*\\0&1&\cdots &*&*\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&*\\0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}\right\}.}$

Entonces, un grupo unipotente puede definirse como un subgrupo de algunos . Usando la teoría de esquemas, el grupo se puede definir como el esquema de grupo. ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} \!\left[x_{11},x_{12},\ldots ,x_{nn},{\frac {1}{\text{det}}}\right]}{(x_{ii}=1,x_{i>j}=0)}}\right)}$

y un esquema de grupo afín es unipotente si es un esquema de grupo cerrado de este esquema.

Definición con teoría de anillos.

Un elemento x de un grupo algebraico afín es unipotente cuando su operador de traducción derecha asociado, r _x , en el anillo de coordenadas afines A [ G ] de G es localmente unipotente como elemento del anillo de endomorfismo lineal de A [ G ]. (Localmente unipotente significa que su restricción a cualquier subespacio estable de dimensión finita de A [ G ] es unipotente en el sentido habitual de la teoría de anillos).

Un grupo algebraico afín se llama unipotente si todos sus elementos son unipotentes. Cualquier grupo algebraico unipotente es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores con entradas diagonales 1 y, a la inversa, cualquier subgrupo de este tipo es unipotente. En particular, cualquier grupo unipotente es un grupo nilpotente , aunque lo contrario no es cierto (contraejemplo: las matrices diagonales de GL _n ( k )).

Por ejemplo, la representación estándar de on con base estándar tiene el vector fijo . ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle e_{1}}$

Definición con teoría de la representación.

Si un grupo unipotente actúa sobre una variedad afín , todas sus órbitas están cerradas, y si actúa linealmente sobre un espacio vectorial de dimensión finita , entonces tiene un vector fijo distinto de cero. De hecho, esta última propiedad caracteriza a los grupos unipotentes. ^{[1] En particular, esto implica que no existen} representaciones semisimples no triviales .

Ejemplos

ONU​

Por supuesto, el grupo de matrices es unipotente. Usando la serie central inferior ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}=\mathbb {U} _{n}^{(0)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(1)}\supset \mathbb {U} _{n}^{(2)}\supset \cdots \supset \mathbb {U} _{n}^{(m)}=e}$

dónde

${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(1)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}]}$y ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}^{(2)}=[\mathbb {U} _{n},\mathbb {U} _{n}^{(1)}]}$

hay grupos unipotentes asociados. Por ejemplo, en , las series centrales son los grupos de matrices ${\displaystyle n=4}$

${\displaystyle \mathbb {U} _{4}=\left\{{\begin{bmatrix}1&*&*&*\\0&1&*&*\\0&0&1&*\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$, , , y ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(1)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&0&*\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(2)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&*\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{4}^{(3)}=\left\{{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\right\}}$

dados algunos ejemplos inducidos de grupos unipotentes.

G un n

El grupo aditivo es un grupo unipotente a través de la incrustación. ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$

Observe que la multiplicación de matrices da

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&b\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&a+b\\0&1\end{bmatrix}}}$

por lo tanto, se trata de una incorporación de grupo. De manera más general, hay una incrustación del mapa. ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{n}\to \mathbb {U} _{n+1}}$

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\,\mapsto {\begin{bmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n-1}&a_{n}\\0&1&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\\0&0&0&\cdots &0&1\end{bmatrix}}}$

Usando la teoría de esquemas, viene dado por el functor ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}:{\textbf {Sch}}^{op}\to {\textbf {Sets}}}$

dónde

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto {\mathcal {O}}_{X}(X)}$

Núcleo del Frobenius

Considere el functor en la subcategoría , existe el subfunctor donde ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\textbf {Sch}}/\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$

${\displaystyle \alpha _{p}(X)=\{x\in {\mathcal {O}}(X):x^{p}=0\}}$

por lo que viene dado por el núcleo del endomorfismo de Frobenius .

Clasificación de grupos unipotentes sobre la característica 0.

Sobre la característica 0 existe una buena clasificación de grupos algebraicos unipotentes con respecto a álgebras de Lie nilpotentes . Recuerde que un álgebra de Lie nilpotente es una subálgebra tal que la acción adjunta iterada eventualmente termina en el mapa cero. En términos de matrices, esto significa que es una subálgebra de las matrices con for . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{n}}$ ${\displaystyle a_{ij}=0}$ ${\displaystyle i\leq j}$

Entonces, existe una equivalencia de categorías de álgebras de Lie nilpotentes de dimensión finita y grupos algebraicos unipotentes. ^{[1] página 261} Esto se puede construir usando la serie de Baker-Campbell-Hausdorff , donde dada un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita, el mapa ${\displaystyle H(X,Y)}$

${\displaystyle H:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}{\text{ where }}(X,Y)\mapsto H(X,Y)}$

da una estructura de grupo algebraico unipotente en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En la otra dirección, el mapa exponencial lleva cualquier matriz cuadrada nilpotente a una matriz unipotente. Además, si U es un grupo unipotente conmutativo, el mapa exponencial induce un isomorfismo del álgebra de Lie de U a U mismo.

Observaciones

En principio , los grupos unipotentes sobre un campo algebraicamente cerrado de cualquier dimensión dada pueden clasificarse, pero en la práctica la complejidad de la clasificación aumenta muy rápidamente con la dimensión, por lo que personas ^{[ ¿quién? ]} tienden a darse por vencidos en algún lugar alrededor de la dimensión 6.

radical unipotente

El radical unipotente de un grupo algebraico G es el conjunto de elementos unipotentes en el radical de G. Es un subgrupo normal unipotente conectado de G y contiene todos los demás subgrupos similares. Un grupo se llama reductivo si su radical unipotente es trivial. Si G es reductivo entonces su radical es un toroide.

Descomposición de grupos algebraicos.

Los grupos algebraicos se pueden descomponer en grupos unipotentes, grupos multiplicativos y variedades abelianas , pero la expresión de cómo se descomponen depende de las características de su campo base .

Característica 0

Sobre la característica 0 hay un bonito teorema de descomposición de un grupo algebraico que relaciona su estructura con la estructura de un grupo algebraico lineal y una variedad abeliana . Hay una secuencia corta y exacta de grupos ^{[2] página 8} ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to M\times U\to G\to A\to 0}$

donde es una variedad abeliana, es de tipo multiplicativo (es decir, es, geométricamente, un producto de tori y grupos algebraicos de la forma ) y es un grupo unipotente. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle U}$

Característica p

Cuando la característica del campo base es p hay una afirmación análoga ^[2] para un grupo algebraico : existe un subgrupo más pequeño tal que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

1. ${\displaystyle G/H}$es un grupo unipotente
2. ${\displaystyle H}$es una extensión de una variedad abeliana por un grupo de tipo multiplicativo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$
3. ${\displaystyle M}$es único hasta la conmensurabilidad en y es único hasta la isogenia . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Descomposición de Jordania

Cualquier elemento g de un grupo algebraico lineal sobre un campo perfecto se puede escribir únicamente como el producto g = g _u   g _s de conmutar elementos unipotentes y semisimples g _u y g _s . En el caso del grupo GL _n ( C ), esto esencialmente dice que cualquier matriz compleja invertible es conjugada al producto de una matriz diagonal y una triangular superior, que es (más o menos) la versión multiplicativa de Jordan-Chevalley. descomposición .

También existe una versión de la descomposición de Jordan para grupos: cualquier grupo algebraico lineal conmutativo sobre un campo perfecto es el producto de un grupo unipotente y un grupo semisimple.

Ver también

• grupo reductivo
• Representación unipotente
• Teoría de Deligne-Lusztig

Referencias

1. Milne, JS Grupos algebraicos lineales (PDF) . págs. 252-253, Grupos algebraicos unipotentes.
2. Brion, Michel (27 de septiembre de 2016). "Grupos algebraicos conmutativos hasta isogenia". arXiv : 1602.00222 [matemáticas.AG].

• A. Borel, Grupos algebraicos lineales , ISBN 0-387-97370-2 
• Borel, Armand (1956), "Groupes linéaires algébriques", Annals of Mathematics , segunda serie, 64 (1), Annals of Mathematics: 20–82, doi :10.2307/1969949, JSTOR  1969949
• Popov, VL (2001) [1994], "elemento unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Popov, VL (2001) [1994], "grupo unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Suprunenko, DA (2001) [1994], "matriz unipotente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press