El término matemático haces perversos se refiere a los objetos de ciertas categorías abelianas asociadas a espacios topológicos , que pueden ser una variedad real o compleja , o espacios estratificados topológicamente más generales , posiblemente singulares.
El concepto fue introducido en el trabajo de Joseph Bernstein , Alexander Beilinson y Pierre Deligne (1982) como consecuencia de la correspondencia de Riemann-Hilbert , que establece una conexión entre las categorías derivadas D-módulos holonómicos regulares y haces construibles . Los haces perversos son los objetos en estos últimos que corresponden a D-módulos individuales (y no complejos más generales de los mismos); un haz perverso está representado en general por un complejo de haces. El concepto de haces perversos ya está implícito en un artículo de Kashiwara de los años 75 sobre la constructibilidad de soluciones de D-módulos holonómicos.
Una observación clave fue que la homología de intersección de Mark Goresky y Robert MacPherson podía describirse utilizando complejos de haces que en realidad son haces perversos. Desde el principio quedó claro que los haces perversos son objetos matemáticos fundamentales en la intersección de la geometría algebraica , la topología , el análisis y las ecuaciones diferenciales . También desempeñan un papel importante en la teoría de números , el álgebra y la teoría de la representación .
El nombre de haz perverso proviene de la traducción aproximada del francés "faisceaux pervers". [1] La justificación es que los haces perversos son complejos de haces que tienen varias características en común con los haces: forman una categoría abeliana, tienen cohomología y para construir una, basta con construirla localmente en todas partes. El adjetivo "perverso" se origina en la teoría de homología de intersección , [2] y su origen fue explicado por Goresky (2010).
La definición de Beilinson–Bernstein–Deligne de un haz perverso procede a través de la maquinaria de categorías trianguladas en álgebra homológica y tiene un sabor algebraico muy fuerte, aunque los principales ejemplos que surgen de la teoría de Goresky–MacPherson son de naturaleza topológica porque los objetos simples en la categoría de haces perversos son los complejos de cohomología de intersección. Esto motivó a MacPherson a reformular toda la teoría en términos geométricos sobre una base de la teoría de Morse . Para muchas aplicaciones en la teoría de la representación, los haces perversos pueden tratarse como una "caja negra", una categoría con ciertas propiedades formales.
Un haz perverso es un objeto C de la categoría derivada acotada de haces con cohomología construible en un espacio X tal que el conjunto de puntos x con
tiene dimensión real como máximo 2 i , para todo i . Aquí j x es la función de inclusión del punto x .
Si X es una variedad algebraica compleja suave y en todas partes de dimensión d , entonces
es un haz perverso para cualquier sistema local . [3] Si X es un esquema de intersección plano, localmente completo (por ejemplo, regular) sobre un anillo de valoración discreto henseliano , entonces el haz constante desplazado por es un haz perverso étale. [4]
Sea X un disco alrededor del origen en estratificado de modo que el origen sea el único estrato singular. Entonces la categoría de haces perversos en X es equivalente a la categoría de diagramas de espacios vectoriales donde y son invertibles. [5] De manera más general, los quivers se pueden usar para describir haces perversos. [ cita requerida ]
La categoría de haces perversos es una subcategoría abeliana de la categoría derivada (no abeliana) de haces, igual al núcleo de una estructura t adecuada , y se conserva mediante la dualidad de Verdier .
La categoría derivada acotada de haces l-ádicos perversos en un esquema X es equivalente a la categoría derivada de haces construibles y de manera similar para haces en el espacio analítico complejo asociado a un esquema X / C . [6]
Los haces perversos son una herramienta fundamental para la geometría de espacios singulares. Por lo tanto, se aplican en una variedad de áreas matemáticas. En la correspondencia de Riemann-Hilbert , los haces perversos corresponden a módulos D holonómicos regulares . Esta aplicación establece la noción de haces perversos como algo que ocurre "en la naturaleza". El teorema de descomposición , una extensión de largo alcance de la descomposición del teorema de Lefschetz duro , requiere el uso de haces perversos. Los módulos de Hodge son, en términos generales, un refinamiento de los haces perversos según la teoría de Hodge . La equivalencia geométrica de Satake identifica haces perversos equivariantes en el Grassmanniano afín con representaciones del grupo dual de Langlands de un grupo reductivo G - véase Mirković y Vilonen (2007). Una prueba de las conjeturas de Weil utilizando haces perversos se da en Kiehl y Weissauer (2001).
Los campos sin masa en compactificaciones de supercuerdas se han identificado con clases de cohomología en el espacio objetivo (es decir, el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones con una variedad de Calabi-Yau (CY) de seis dimensiones ). La determinación del contenido de materia e interacción requiere un análisis detallado de la (co)homología de estos espacios: casi todos los campos sin masa en el modelo de física efectiva están representados por ciertos elementos de (co)homología.
Sin embargo, se produce una consecuencia preocupante cuando el espacio objetivo es singular . Un espacio objetivo singular significa que solo la parte de la variedad CY es singular, ya que el factor del espacio de Minkowski es suave. Una variedad CY singular de este tipo se denomina conifold , ya que es una variedad CY que admite singularidades cónicas .
Andrew Strominger observó (A. Strominger, 1995) que los conifolds corresponden a agujeros negros sin masa . Los conifolds son objetos importantes en la teoría de cuerdas: Brian Greene explica la física de los conifolds en el Capítulo 13 de su libro The Elegant Universe —incluido el hecho de que el espacio puede desgarrarse cerca del cono y su topología puede cambiar. Estos espacios objetivo singulares, es decir, los conifolds, corresponden a ciertas degeneraciones leves de variedades algebraicas que aparecen en una gran clase de teorías supersimétricas , incluida la teoría de supercuerdas (E. Witten, 1982).
En esencia, las diferentes teorías de cohomología en espacios objetivo singulares producen resultados diferentes, lo que dificulta determinar qué teoría puede favorecer la física. Varias características importantes de la cohomología, que corresponden a los campos sin masa, se basan en propiedades generales de las teorías de campo, específicamente, las teorías de campo de hoja del mundo bidimensional (2,2)-supersimétricas . Estas propiedades, conocidas como el paquete de Kähler (T. Hubsch, 1992), deberían cumplirse para espacios objetivo singulares y suaves. Paul Green y Tristan Hubsch (P. Green y T. Hubsch, 1988) determinaron que la manera en que uno se mueve entre espacios objetivo CY singulares requiere moverse a través de una pequeña resolución o deformación de la singularidad (T. Hubsch, 1992) y lo llamaron "transición de conifold".
Tristan Hubsch (T. Hubsch, 1997) conjeturó cuál debería ser esta teoría de cohomología para espacios objetivo singulares. Tristan Hubsch y Abdul Rahman (T. Hubsch y A. Rahman, 2005) trabajaron para resolver la conjetura de Hubsch mediante el análisis del caso no transversal del modelo sigma lineal calibrado de Witten (E. Witten, 1993) que induce una estratificación de estas variedades algebraicas (denominada variedad del estado fundamental) en el caso de singularidades cónicas aisladas .
Bajo ciertas condiciones se determinó que esta variedad de estado fundamental era un conifold (P. Green & T. Hubsch, 1988; T. Hubsch, 1992) con singularidades cónicas aisladas sobre una base determinada con una exocurva unidimensional (denominada exoestrato) unida a cada punto singular . T. Hubsch y A. Rahman determinaron la (co)homología de esta variedad de estado fundamental en todas las dimensiones, la encontraron compatible con la simetría especular y la teoría de cuerdas, pero encontraron una obstrucción en la dimensión media (T. Hubsch y A. Rahman, 2005). Esta obstrucción requirió revisar la conjetura de Hubsch de una cohomología singular de cuerdas (T. Hubsch, 1997). En el invierno de 2002, T. Hubsch y A. Rahman se reunieron con RM Goresky para discutir esta obstrucción y en las discusiones entre RM Goresky y R. MacPherson , R. MacPherson hizo la observación de que existía un haz perverso que podría tener la cohomología que satisfizo la conjetura de Hubsch y resolvió la obstrucción . RM Goresky y T. Hubsch asesoraron la disertación de doctorado de A. Rahman sobre la construcción de un haz perverso autodual (A. Rahman, 2009) utilizando la construcción en zig-zag de MacPherson - Vilonen (R. MacPherson y K. Vilonen, 1986). Este haz perverso demostró la conjetura de Hübsch para singularidades cónicas aisladas , satisfizo la dualidad de Poincaré y se alineó con algunas de las propiedades del paquete de Kähler. La satisfacción de todo el paquete de Kähler por parte de este haz perverso para estratos de codimensión superior es aún un problema abierto. Markus Banagl (M. Banagl, 2010; M. Banagl, et al., 2014) abordó la conjetura de Hubsch a través de espacios de intersección para estratos de codimensión superior inspirados en el trabajo de Hubsch (T. Hubsch, 1992, 1997; P. Green y T. Hubsch, 1988) y el ansatz original de A. Rahman (A. Rahman, 2009) para singularidades aisladas .
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