Homología de intersección

En topología , una rama de las matemáticas , la homología de intersección es un análogo de la homología singular especialmente adecuada para el estudio de espacios singulares , descubierta por Mark Goresky y Robert MacPherson en el otoño de 1974 y desarrollada por ellos durante los años siguientes.

La cohomología de intersección se utilizó para demostrar las conjeturas de Kazhdan-Lusztig y la correspondencia de Riemann-Hilbert . Está estrechamente relacionada con la cohomología L 2 .

Enfoque de Goresky-MacPherson

Los grupos de homología de una variedad X compacta , orientada , conexa y n -dimensional tienen una propiedad fundamental llamada dualidad de Poincaré : existe un emparejamiento perfecto.

${\displaystyle H_{i}(X,\mathbb {Q} )\times H_{n-i}(X,\mathbb {Q} )\to H_{0}(X,\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} .}$

Clásicamente, remontándonos, por ejemplo, a Henri Poincaré , esta dualidad se entendía en términos de la teoría de la intersección . Un elemento de

${\displaystyle H_{j}(X)}$

se representa mediante un ciclo de dimensión j . Si un ciclo de dimensión i y un ciclo de dimensión an están en la posición general , entonces su intersección es una colección finita de puntos. Utilizando la orientación de X se puede asignar a cada uno de estos puntos un signo; en otras palabras, la intersección produce un ciclo de dimensión 0. Se puede probar que la clase de homología de este ciclo depende únicamente de las clases de homología de los ciclos de dimensión i y dimensión originales; además, se puede probar que este emparejamiento es perfecto . ${\displaystyle (n-i)}$ ${\displaystyle (n-i)}$

Cuando X tiene singularidades —es decir, cuando el espacio tiene lugares que no se parecen— estas ideas se desmoronan. Por ejemplo, ya no es posible dar sentido a la noción de "posición general" para los ciclos. Goresky y MacPherson introdujeron una clase de ciclos "permitidos" para los que la posición general sí tiene sentido. Introdujeron una relación de equivalencia para los ciclos permisibles (donde sólo los "límites permisibles" son equivalentes a cero) y llamaron al grupo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle IH_{i}(X)}$

de ciclos permisibles de dimensión i módulo esta relación de equivalencia "homología de intersección". Además, demostraron que la intersección de un ciclo permisible de dimensión i y an da un ciclo cero (ordinario) cuya clase de homología está bien definida. ${\displaystyle (n-i)}$

Estratificaciones

La homología de intersección se definió originalmente en espacios adecuados con una estratificación , aunque los grupos a menudo resultan ser independientes de la elección de la estratificación. Hay muchas definiciones diferentes de espacios estratificados. Una conveniente para la homología de intersección es una pseudovariedad topológica n -dimensional . Este es un espacio ( paracompacto , de Hausdorff ) X que tiene una filtración

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

de X por subespacios cerrados tales que:

• Para cada i y para cada punto x de , existe un entorno de x en X , un espacio estratificado de dimensión compacta L , y un homeomorfismo que preserva la filtración . Aquí está el cono abierto en L . ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle (n-i-1)}$ ${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$ ${\displaystyle CL}$
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$es denso en X.

Si X es una pseudovariedad topológica, el estrato i -dimensional de X es el espacio . ${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$

Ejemplos:

• Si X es un complejo simplicial n -dimensional tal que cada símplex está contenido en un símplex n -dimensional y un símplex n -1 está contenido en exactamente dos símplex n -dimensionales, entonces el espacio subyacente de X es una pseudovariedad topológica.
• Si X es cualquier variedad cuasi-proyectiva compleja (posiblemente con singularidades), entonces su espacio subyacente es una pseudovariedad topológica, con todos los estratos de dimensión par.

Perversidades

Los grupos de homología de intersección dependen de una elección de perversidad , que mide hasta qué punto se permite que los ciclos se desvíen de la transversalidad. (El origen del nombre "perversidad" fue explicado por Goresky (2010).) Una perversidad es una función ${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

de números enteros a los números enteros tales que ${\displaystyle \geq 2}$

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

La segunda condición se utiliza para mostrar la invariancia de los grupos de homología de intersección bajo cambio de estratificación.

La perversidad complementaria de es la que tiene ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {p} (k)+\mathbf {q} (k)=k-2}$.

Los grupos de homología de intersección de dimensión complementaria y perversidad complementaria están doblemente emparejados.

Ejemplos de perversidades

• La perversidad mínima tiene . Su complemento es la perversidad máxima con . ${\displaystyle p(k)=0}$ ${\displaystyle q(k)=k-2}$
• La perversidad media (inferior) m se define por , la parte entera de . Su complemento es la perversidad media superior, con valores . Si no se especifica la perversidad, entonces se suele hacer referencia a la perversidad media inferior. Si un espacio se puede estratificar con todos los estratos de dimensión par (por ejemplo, cualquier variedad compleja), entonces los grupos de homología de intersección son independientes de los valores de la perversidad en números enteros impares, por lo que las perversidades medias superior e inferior son equivalentes. ${\displaystyle m(k)=[(k-2)/2]}$ ${\displaystyle (k-2)/2}$ ${\displaystyle [(k-1)/2]}$

Homología de intersección singular

Fije una pseudovariedad topológica X de dimensión n con cierta estratificación y una perversidad p .

Una función σ del i -símplex estándar a X (un símplex singular) se denomina permisible si ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{n-k}\setminus X_{n-k-1}\right)}$

está contenido en el esqueleto de . ${\displaystyle i-k+p(k)}$ ${\displaystyle \Delta ^{i}}$

El complejo de cadenas es un subcomplejo del complejo de cadenas singulares en X que consta de todas las cadenas singulares de modo que tanto la cadena como su límite son combinaciones lineales de símplex singulares permitidos. Los grupos de homología de intersección singular (con perversidad p ) ${\displaystyle I^{p}(X)}$

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

son los grupos de homología de este complejo.

Si X tiene una triangulación compatible con la estratificación, entonces los grupos de homología de intersección simpliciales se pueden definir de manera similar y son naturalmente isomorfos a los grupos de homología de intersección singulares.

Los grupos de homología de intersección son independientes de la elección de estratificación de X.

Si X es una variedad topológica, entonces los grupos de homología de intersección (para cualquier perversión) son los mismos que los grupos de homología habituales.

Pequeñas resoluciones

Una resolución de singularidades

${\displaystyle f:X\to Y}$

De una variedad compleja Y se dice que es de resolución pequeña si para cada r > 0, el espacio de puntos de Y donde la fibra tiene dimensión r es de codimensión mayor que 2 r . En términos generales, esto significa que la mayoría de las fibras son pequeñas. En este caso, el morfismo induce un isomorfismo de la homología (de intersección) de X a la homología de intersección de Y (con la perversidad media).

Hay una variedad con dos pequeñas resoluciones diferentes que tienen diferentes estructuras de anillo en su cohomología, lo que demuestra que en general no hay una estructura de anillo natural en la (co)homología de intersección.

Teoría de las gavillas

La fórmula de Deligne para la cohomología de intersecciones establece que

${\displaystyle I^{p}H_{n-i}(X)=I^{p}H^{i}(X)=H_{c}^{i}(IC_{p}(X))}$

donde es el complejo de intersección, un cierto complejo de haces construibles en X (considerado como un elemento de la categoría derivada , por lo que la cohomología a la derecha significa la hipercohomología del complejo). El complejo se da comenzando con el haz constante en el conjunto abierto y extendiéndolo repetidamente a conjuntos abiertos más grandes y luego truncándolo en la categoría derivada; más precisamente, se da por la fórmula de Deligne ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle IC_{p}(X)}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$

${\displaystyle IC_{p}(X)=\tau _{\leq p(n)-n}\mathbf {R} i_{n*}\tau _{\leq p(n-1)-n}\mathbf {R} i_{n-1*}\cdots \tau _{\leq p(2)-n}\mathbf {R} i_{2*}\mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$

donde es un funtor de truncamiento en la categoría derivada, es la inclusión de en , y es el haz constante en . ^[1] ${\displaystyle \tau _{\leq p}}$ ${\displaystyle i_{k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-k-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{X\setminus X_{n-2}}}$ ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Al reemplazar el haz constante con un sistema local, se puede utilizar la fórmula de Deligne para definir la cohomología de intersección con coeficientes en un sistema local. ${\displaystyle X\setminus X_{n-2}}$

Ejemplos

Dada una curva elíptica suave definida por un polinomio cúbico homogéneo , ^[2] como , el cono afín tiene una singularidad aislada en el origen ya que y todas las derivadas parciales se anulan. Esto se debe a que es homogéneo de grado , y las derivadas son homogéneas de grado 2. Fijando y el mapa de inclusión, el complejo de intersección se da como Esto se puede calcular explícitamente mirando los tallos de la cohomología. En donde el empuje hacia delante derivado es el mapa de identidad en un punto suave, por lo tanto, la única cohomología posible se concentra en grado . Para la cohomología es más interesante ya que para donde el cierre de contiene el origen . Dado que cualquiera de estos se puede refinar considerando la intersección de un disco abierto en con , podemos simplemente calcular la cohomología . Esto se puede hacer observando que es un haz sobre la curva elíptica , el haz del hiperplano y la secuencia de Wang da los grupos de cohomología , por lo tanto, los haces de cohomología en el tallo son Truncando esto da los haces de cohomología no triviales , por lo tanto, el complejo de intersección tiene haces de cohomología ${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$ ${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$ $${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$ ${\displaystyle p\neq 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle i(V)}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H^{k}(U;\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=0}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$ ${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}}$$

Propiedades del complejo IC(incógnita)

El complejo IC _p ( X ) tiene las siguientes propiedades

• En el complemento de algún conjunto cerrado de codimensión 2, tenemos

${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$es 0 para i + m ≠ 0, y para i = − m los grupos forman el sistema local constante C

• ${\displaystyle H^{i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$es 0 para i  +  m  < 0
• Si i  > 0 entonces es cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para el a más pequeño con p ( a ) ≥  m  −  i ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{*}IC_{p})}$
• Si i > 0 entonces es cero excepto en un conjunto de codimensión al menos a para el a más pequeño con q ( a ) ≥ ( i ) ${\displaystyle H^{-i}(j_{x}^{!}IC_{p})}$

Como es habitual, q es la perversidad complementaria de p . Además, el complejo se caracteriza de forma única por estas condiciones, hasta el isomorfismo en la categoría derivada. Las condiciones no dependen de la elección de la estratificación, por lo que esto demuestra que la cohomología de intersección tampoco depende de la elección de la estratificación.

La dualidad de Verdier lleva IC _p a IC _q desplazado por n  = dim( X ) en la categoría derivada.

Véase también

• Teorema de descomposición
• Homología de Borel-Moore
• Espacio estratificado topológicamente
• Teoría de la intersección
• Gavilla perversa
• Estructura mixta de Hodge

Referencias

1. Advertencia: hay más de una convención sobre la forma en que la perversidad entra en la construcción de Deligne: los números a veces se escriben como . ${\displaystyle p(k)-n}$ ${\displaystyle p(k)}$
2. Teoría de Hodge (PDF) . E. Cattani, Fouad El Zein, Phillip Griffiths, Dũng Tráng Lê., eds. Princeton. 21 de julio de 2014. ISBN 978-0-691-16134-1. OCLC  861677360. Archivado desde el original el 15 de agosto de 2020.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: others (link), págs. 281-282

• Armand Borel , Cohomología de intersección . Progreso en matemáticas, Birkhauser Boston ISBN 0-8176-3274-3 
• Mark Goresky y Robert MacPherson, La dualité de Poincaré pour les espaces singuliers. CR Acad. Ciencia. t. 284 (1977), págs. 1549-1551 Serie A.
• Goresky, Mark (2010), ¿Cuál es la etimología del término “gavilla perversa”?
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Teoría de homología de intersección , Topology 19 (1980), n.º 2, 135–162. doi :10.1016/0040-9383(80)90003-8
• Goresky, Mark; MacPherson, Robert, Homología de intersecciones. II , Inventiones Mathematicae 72 (1983), no. 1, 77–129. 10.1007/BF01389130 MR 0696691 Esto proporciona un enfoque teórico de haces para la cohomología de intersecciones.
• Frances Kirwan, Jonathan Woolf, Introducción a la teoría de la homología de intersección ISBN 1-58488-184-4 
• Kleiman, Steven. El desarrollo de la teoría de homología de intersección. Un siglo de matemáticas en Estados Unidos, Parte II, Hist. Math. 2, Amer. Math. Soc., 1989, págs. 543–585.
• "Homología de intersección", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

Enlaces externos

• ¿Cuál es la etimología del término "gavilla perversa"? (incluye discusión sobre la etimología del término "homología de intersección") – MathOverflow