Estructura mixta de Hodge

Estructura algebraica

En geometría algebraica , una estructura de Hodge mixta es una estructura algebraica que contiene información sobre la cohomología de variedades algebraicas generales . Es una generalización de una estructura de Hodge , que se utiliza para estudiar variedades proyectivas suaves .

En la teoría mixta de Hodge, donde la descomposición de un grupo de cohomología puede tener subespacios de diferentes pesos, es decir, como una suma directa de estructuras de Hodge. ${\displaystyle H^{k}(X)}$

${\displaystyle H^{k}(X)=\bigoplus _{i}(H_{i},F_{i}^{\bullet })}$

donde cada una de las estructuras de Hodge tiene peso . Uno de los primeros indicios de que tales estructuras deberían existir proviene de la larga secuencia exacta asociada a un par de variedades proyectivas suaves . Esta secuencia sugiere que los grupos de cohomología (para ) deberían tener pesos diferentes provenientes tanto de como de . ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle \dots \to H^{i-1}(Y)\to H_{c}^{i}(U)\to H^{i}(X)\to \dots }$ ${\displaystyle Y\subset X}$ ${\displaystyle H_{c}^{i}(U)}$ ${\displaystyle U=X-Y}$ ${\displaystyle H^{i-1}(Y)}$ ${\displaystyle H^{i}(X)}$

Motivación

Originalmente, las estructuras de Hodge se introdujeron como una herramienta para realizar un seguimiento de las descomposiciones abstractas de Hodge en los grupos de cohomología de variedades algebraicas proyectivas suaves . Estas estructuras dieron a los geómetras nuevas herramientas para estudiar las curvas algebraicas , como el teorema de Torelli , las variedades abelianas y la cohomología de las variedades proyectivas suaves. Uno de los principales resultados para el cálculo de las estructuras de Hodge es una descomposición explícita de los grupos de cohomología de las hipersuperficies suaves utilizando la relación entre el ideal jacobiano y la descomposición de Hodge de una hipersuperficie proyectiva suave a través del teorema de residuos de Griffith . Para trasladar este lenguaje a variedades no proyectivas suaves y variedades singulares se requiere el concepto de estructuras de Hodge mixtas.

Definición

Una estructura de Hodge mixta ^[1] (MHS) es una triple tal que ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

1. ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$es un módulo de tipo finito ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle W_{\bullet }}$es una filtración creciente en , ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \cdots \subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \cdots }$
3. ${\displaystyle F^{\bullet }}$es una filtración decreciente en , ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset \cdots }$

donde se produce la filtración inducida sobre las piezas clasificadas ${\displaystyle F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Gr}}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {Q} }={\frac {W_{k}H_{\mathbb {Q} }}{W_{k-1}H_{\mathbb {Q} }}}}$

son estructuras de Hodge puras de peso . ${\displaystyle k}$

Observación sobre filtraciones

Nótese que, de manera similar a las estructuras de Hodge, las estructuras de Hodge mixtas utilizan una filtración en lugar de una descomposición de suma directa, ya que los grupos de cohomología con términos antiholomórficos, donde , no varían holomórficamente. Sin embargo, las filtraciones pueden variar holomórficamente, lo que da una estructura mejor definida. ${\displaystyle H^{p,q}}$ ${\displaystyle q>0}$

Morfismos de estructuras mixtas de Hodge

Los morfismos de las estructuras mixtas de Hodge se definen mediante mapas de grupos abelianos.

${\displaystyle f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

de tal manera que

${\displaystyle f(W_{l})\subset W'_{l}}$

y el mapa inducido de espacios -vectoriales tiene la propiedad ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}}$

Otras definiciones y propiedades

Números de Hodge

Los números de Hodge de un MHS se definen como las dimensiones

${\displaystyle h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$

ya que es una estructura de Hodge ponderada, y ${\displaystyle {\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle (p+q)}$

${\displaystyle {\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}}$

es el componente de una estructura de Hodge ponderada. ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+q)}$

Propiedades homológicas

Hay una categoría abeliana ^[2] de estructuras de Hodge mixtas que tiene grupos que se desvanecen siempre que el grado cohomológico sea mayor que : es decir, dadas las estructuras de Hodge mixtas, los grupos ${\displaystyle {\text{Ext}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0}$

para ^{[2] pág. 83} . ${\displaystyle p\geq 2}$

Estructuras mixtas de Hodge en complejos bifiltrados

Se pueden construir muchas estructuras de Hodge mixtas a partir de un complejo bifiltrado. Esto incluye complementos de variedades suaves definidos por el complemento de una variedad de cruce normal. Dado un complejo de haces de grupos abelianos y filtraciones ^[1] del complejo, es decir ${\displaystyle A^{\bullet }}$ ${\displaystyle W_{\bullet },F^{\bullet }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d(W_{i}A^{\bullet })&\subset W_{i}A^{\bullet }\\d(F^{i}A^{\bullet })&\subset F^{i}A^{\bullet }\end{aligned}}}$

Hay una estructura de Hodge mixta inducida en los grupos de hiperhomología.

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,A^{\bullet }),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

del complejo bifiltrado . Este complejo bifiltrado se denomina complejo de Hodge mixto ^{[1] : 23} ${\displaystyle (A^{\bullet },W_{\bullet },F^{\bullet })}$

Complejo logarítmico

Dada una variedad suave donde es un divisor de cruce normal (lo que significa que todas las intersecciones de componentes son intersecciones completas ), existen filtraciones en el complejo logarítmico de Rham dado por ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle D=X-U}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Resulta que estas filtraciones definen una estructura de Hodge mixta natural en el grupo de cohomología del complejo de Hodge mixto definido en el complejo logarítmico . ${\displaystyle H^{n}(U,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{\bullet }(\log D)}$

Compactaciones suaves

La construcción anterior del complejo logarítmico se extiende a toda variedad suave; y la estructura mixta de Hodge es isomorfa bajo cualquier compactificación de este tipo. Nótese que una compactificación suave de una variedad suave se define como una variedad suave y una incrustación tal que es un divisor de cruce normal. Es decir, dadas las compactificaciones con divisores de borde, existe un isomorfismo de la estructura mixta de Hodge. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle D=X-U}$ ${\displaystyle U\subset X,X'}$ ${\displaystyle D=X-U,{\text{ }}D'=X'-U}$

${\displaystyle (\mathbb {H} ^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)),W_{\bullet },F^{\bullet })\cong (\mathbb {H} ^{k}(X',\Omega _{X'}^{\bullet }(\log D')),W_{\bullet },F^{\bullet })}$

mostrando que la estructura mixta de Hodge es invariante bajo compactación suave. ^[2]

Ejemplo

Por ejemplo, en una curva de plano de género, la cohomología logarítmica de con el divisor de cruce normal con se puede calcular fácilmente ^[3] ya que los términos del complejo son iguales a ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{\bullet }(\log D)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C}\xrightarrow {d} \Omega _{C}^{1}(\log D)}$

son ambos acíclicos. Entonces, la hipercohomología es simplemente

${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})\xrightarrow {d} \Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}(\log D))}$

El primer espacio vectorial son solo las secciones constantes, por lo tanto, la diferencial es la función cero. El segundo es que el espacio vectorial es isomorfo al espacio vectorial generado por

${\displaystyle \mathbb {C} \cdot {\frac {dx}{x-p_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} {\frac {dx}{x-p_{k-1}}}}$

Luego tiene una estructura de Hodge de peso mixto y tiene una estructura de Hodge de peso mixto. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{0}(\Omega _{C}^{1}(\log D))}$ ${\displaystyle 0}$

Ejemplos

Complemento de una variedad proyectiva suave por una subvariedad cerrada

Dada una variedad proyectiva suave de dimensión y una subvariedad cerrada, existe una secuencia exacta larga en cohomología ^{[4] pág. 7-8} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots }$

Procedente del distinguido triángulo

${\displaystyle \mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]} }$

de haces construibles . Hay otra secuencia larga y exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots }$

del distinguido triangulo

${\displaystyle i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]} }$

siempre que sea suave. Nótese que los grupos de homología se denominan homología de Borel-Moore , que son duales a la cohomología para espacios generales y la tensificación de medias con la estructura de Tate agrega peso a la filtración de peso. La hipótesis de suavidad es necesaria porque la dualidad de Verdier implica , y siempre que sea suave. Además, el complejo dualizante para tiene peso , por lo tanto . Además, las funciones de la homología de Borel-Moore deben estar torcidas hasta que el peso sea para que tenga una función a . Además, existe el emparejamiento de dualidad perfecto ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{k}^{BM}(X)}$ ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (1)^{\otimes n}}$ ${\displaystyle -2n}$ ${\displaystyle i^{!}D_{X}=D_{Y}}$ ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)}$ ${\displaystyle (n)}$ ${\displaystyle H^{m}(X)}$

${\displaystyle H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z} }$

dando un isomorfismo de los dos grupos.

Toro algebraico

Un toro algebraico unidimensional es isomorfo a la variedad , por lo tanto, sus grupos de cohomología son isomorfos a ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}}$

La secuencia exacta larga se lee entonces

${\displaystyle {\begin{matrix}&H_{2}^{BM}(Y)(-1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{1}^{BM}(Y)(-1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\end{matrix}}}$

Dado que y esto da la secuencia exacta ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0}$

${\displaystyle 0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0}$

Dado que hay una torsión de pesos para mapas bien definidos de estructuras de Hodge mixtas, existe el isomorfismo

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)}$

Superficie cuártica K3 menos una curva de género 3

Dada una superficie K3 cuártica y una curva de género 3 definida por el lugar geométrico de desaparición de una sección genérica de , por lo tanto es isomorfa a una curva plana de grado, que tiene género 3. Entonces, la secuencia de Gysin da la secuencia exacta larga ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:C\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle \to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to }$

Pero, es un resultado que los mapas toman una clase Hodge de tipo a una clase Hodge de tipo . ^[5] Las estructuras de Hodge tanto para la superficie K3 como para la curva son bien conocidas y se pueden calcular utilizando el ideal jacobiano . En el caso de la curva hay dos mapas cero ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (p+1,q+1)}$

${\displaystyle \gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0}$ ${\displaystyle \gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0}$

Por lo tanto, contiene el peso de una pieza . Porque tiene dimensión , pero la clase Leftschetz es eliminada por el mapa. ${\displaystyle H^{2}(U)}$ ${\displaystyle H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L} }$ ${\displaystyle 22}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$

${\displaystyle \gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)}$

enviando la clase a la clase en . Entonces el grupo de cohomología primitivo es la pieza de peso 2 de . Por lo tanto, ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle H^{0}(C)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle H^{2}(X)}$ ${\displaystyle H_{\text{prim}}^{2}(X)}$ ${\displaystyle H^{2}(U)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}}$

Las filtraciones inducidas en estas piezas clasificadas son las filtraciones de Hodge provenientes de cada grupo de cohomología.

Véase también

• Motivo (geometría algebraica)
• Ideal jacobiano
• Fibra de Milnor
• Módulo mixto de Hodge

Referencias

1. Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan (2015). "Introducción a las estructuras de Hodge". Variedades de Calabi-Yau: aritmética, geometría y física . Monografías del Instituto Fields. Vol. 34. págs. 83–130. arXiv : 1412.8499 . doi :10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN . 978-1-4939-2829-3.S2CID119696589  .​
2. Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras de Hodge mixtas . Steenbrink, JHM Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-77017-6.OCLC 233973725  .
3. Nótese que estamos utilizando el teorema de Bézout ya que éste puede darse como el complemento de la intersección con un hiperplano.
4. Corti, Alessandro. "Introducción a la teoría mixta de Hodge: una conferencia para el LSGNT" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 12 de agosto de 2020.
5. Griffiths y Schmid (1975). Desarrollos recientes en la teoría de Hodge: una discusión de técnicas y resultados. Oxford University Press. pp. 31–127.

• Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan (2015). "Introducción a las estructuras de Hodge". Variedades de Calabi-Yau: aritmética, geometría y física . Monografías del Instituto Fields. Vol. 34. págs. 83–130. arXiv : 1412.8499 . doi :10.1007/978-1-4939-2830-9_4. ISBN . 978-1-4939-2829-3.S2CID119696589  .​

Ejemplos

• Una guía ingenua sobre la teoría mixta de Hodge
• Introducción a las estructuras de Hodge mixtas límite
• Estructura de Hodge mixta de Deligne para variedades proyectivas con sólo singularidades de cruce normal

En simetría especular

• Modelo B local y estructura de Hodge mixta