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La belleza matemática es el placer estético que se deriva de la abstracción, pureza, simplicidad, profundidad u orden de las matemáticas . Los matemáticos pueden expresar este placer describiendo las matemáticas (o, al menos, algún aspecto de las matemáticas) como bellas o describiendo las matemáticas como una forma de arte (una postura adoptada por GH Hardy [1] ) o, como mínimo, como una actividad creativa .
Se hacen comparaciones con la música y la poesía .
Los matemáticos suelen describir un método de prueba especialmente agradable como elegante . [2] Dependiendo del contexto, esto puede significar:
En la búsqueda de una demostración elegante, los matemáticos pueden buscar múltiples formas independientes de demostrar un resultado, ya que la primera demostración que se encuentra a menudo se puede mejorar. El teorema para el que se ha descubierto el mayor número de demostraciones diferentes es posiblemente el teorema de Pitágoras , con cientos de demostraciones publicadas hasta la fecha. [3] Otro teorema que se ha demostrado de muchas formas diferentes es el teorema de reciprocidad cuadrática . De hecho, Carl Friedrich Gauss solo tenía ocho demostraciones diferentes de este teorema, seis de las cuales publicó. [4]
Por el contrario, los resultados que son lógicamente correctos pero que implican cálculos laboriosos, métodos demasiado elaborados, enfoques altamente convencionales o una gran cantidad de axiomas poderosos o resultados previos, generalmente no se consideran elegantes, e incluso pueden calificarse de feos o torpes .
Algunos matemáticos ven belleza en los resultados matemáticos que establecen conexiones entre dos áreas de las matemáticas que a primera vista parecen no estar relacionadas. [5] Estos resultados suelen describirse como profundos . Si bien es difícil encontrar un acuerdo universal sobre si un resultado es profundo, algunos ejemplos se citan con más frecuencia que otros. Un ejemplo de ello es la identidad de Euler : [6]
Esta elegante expresión une posiblemente las cinco constantes matemáticas más importantes ( e , i , π, 1 y 0) con los dos símbolos matemáticos más comunes (+, =). La identidad de Euler es un caso especial de la fórmula de Euler , que el físico Richard Feynman llamó "nuestra joya" y "la fórmula más notable en matemáticas". [7] Los ejemplos modernos incluyen el teorema de modularidad , que establece una conexión importante entre las curvas elípticas y las formas modulares (trabajo en el que condujo a la concesión del Premio Wolf a Andrew Wiles y Robert Langlands ), y " monstruosa luz de luna ", que conecta el grupo Monster con las funciones modulares a través de la teoría de cuerdas (por la que Richard Borcherds fue galardonado con la Medalla Fields ).
Otros ejemplos de resultados profundos incluyen conocimientos inesperados sobre estructuras matemáticas. Por ejemplo, el Teorema Egregium de Gauss es un teorema profundo que relaciona un fenómeno local ( curvatura ) con un fenómeno global ( área ) de una manera sorprendente. En particular, el área de un triángulo en una superficie curva es proporcional al exceso del triángulo y la proporcionalidad es la curvatura. Otro ejemplo es el teorema fundamental del cálculo [8] (y sus versiones vectoriales, incluido el teorema de Green y el teorema de Stokes ).
El opuesto de profundo es trivial . Un teorema trivial puede ser un resultado que se puede derivar de manera obvia y directa a partir de otros resultados conocidos, o que se aplica solo a un conjunto específico de objetos particulares, como el conjunto vacío . En algunas ocasiones, el enunciado de un teorema puede ser lo suficientemente original como para ser considerado profundo, aunque su demostración sea bastante obvia.
En su ensayo de 1940 A Mathematician's Apology , GH Hardy sugirió que una prueba o resultado bello posee "inevitabilidad", "inesperanza" y "economía". [9]
En 1997, Gian-Carlo Rota se mostró en desacuerdo con lo inesperado como condición suficiente para la belleza y propuso un contraejemplo:
Un gran número de teoremas de las matemáticas, cuando se publican por primera vez, parecen sorprendentes; así, por ejemplo, hace unos veinte años [desde 1977] se pensó que la prueba de la existencia de estructuras diferenciables no equivalentes en esferas de gran dimensión era sorprendente, pero a nadie se le ocurrió llamar bello a semejante hecho, ni entonces ni ahora. [10]
Por el contrario, Monastyrsky escribió en 2001:
Es muy difícil encontrar en el pasado una invención análoga a la hermosa construcción de Milnor de las diferentes estructuras diferenciales en la esfera de siete dimensiones... La prueba original de Milnor no era muy constructiva, pero más tarde E. Brieskorn demostró que estas estructuras diferenciales pueden describirse de una forma extremadamente explícita y hermosa. [11]
Este desacuerdo ilustra tanto la naturaleza subjetiva de la belleza matemática como su conexión con los resultados matemáticos: en este caso, no sólo la existencia de esferas exóticas, sino también una realización particular de ellas.
El interés por las matemáticas puras separadas del estudio empírico ha sido parte de la experiencia de varias civilizaciones , incluida la de los antiguos griegos , que "hacían matemáticas por la belleza de ellas". [12] El placer estético que los físicos matemáticos tienden a experimentar en la teoría de la relatividad general de Einstein ha sido atribuido (por Paul Dirac , entre otros) a su "gran belleza matemática". [13] La belleza de las matemáticas se experimenta cuando la realidad física de los objetos se representa mediante modelos matemáticos . La teoría de grupos , desarrollada a principios del siglo XIX con el único propósito de resolver ecuaciones polinómicas , se convirtió en una forma fructífera de categorizar las partículas elementales , los bloques de construcción de la materia. De manera similar, el estudio de los nudos proporciona importantes conocimientos sobre la teoría de cuerdas y la gravedad cuántica de bucles . [ cita requerida ]
Algunos [¿ quiénes? ] creen que para apreciar las matemáticas es necesario dedicarse a hacer matemáticas. [14]
Por ejemplo, los Círculos de Matemáticas son programas de enriquecimiento extraescolares en los que los estudiantes se involucran con las matemáticas a través de conferencias y actividades; también hay algunos maestros que fomentan la participación de los estudiantes al enseñar matemáticas en el aprendizaje kinestésico . En una lección general de Círculo de Matemáticas, los estudiantes utilizan la búsqueda de patrones, la observación y la exploración para hacer sus propios descubrimientos matemáticos. Por ejemplo, la belleza matemática surge en una actividad de Círculo de Matemáticas sobre simetría diseñada para estudiantes de 2.º y 3.º grado, donde los estudiantes crean sus propios copos de nieve doblando un trozo de papel cuadrado y recortando diseños de su elección a lo largo de los bordes del papel doblado. Cuando se desdobla el papel, se revela un diseño simétrico. En una clase de matemáticas de la escuela primaria del día a día, la simetría se puede presentar como tal de una manera artística donde los estudiantes ven resultados estéticamente agradables en matemáticas. [ cita requerida ]
Algunos profesores [¿ quiénes? ] prefieren utilizar manipuladores matemáticos para presentar las matemáticas de una forma estéticamente agradable. Algunos ejemplos de manipuladores son las fichas de álgebra , las varillas de Cuisenaire y los bloques de patrones . Por ejemplo, se puede enseñar el método de completar el cuadrado utilizando fichas de álgebra. Las varillas de Cuisenaire se pueden utilizar para enseñar fracciones y los bloques de patrones se pueden utilizar para enseñar geometría. El uso de manipuladores matemáticos ayuda a los estudiantes a obtener una comprensión conceptual que podría no verse inmediatamente en fórmulas matemáticas escritas. [15]
Otro ejemplo de belleza en la experiencia es el uso del origami . El origami, el arte de doblar papel, tiene cualidades estéticas y muchas conexiones matemáticas. Se pueden estudiar las matemáticas del plegado de papel observando el patrón de pliegues en las piezas de origami desplegadas. [16]
La combinatoria , el estudio del conteo, tiene representaciones artísticas que algunos [¿ quiénes? ] encuentran matemáticamente hermosas. Hay muchos ejemplos visuales que ilustran conceptos combinatorios. Algunos de los temas y objetos que se ven en los cursos de combinatoria con representaciones visuales incluyen, entre otros , el teorema de los cuatro colores , el cuadro de Young , el permutoedro , la teoría de grafos y la partición de un conjunto . [17]
Los experimentos de imágenes cerebrales realizados por Semir Zeki y sus colegas [18] muestran que la experiencia de la belleza matemática tiene, como correlato neuronal, actividad en el campo A1 de la corteza orbitofrontal medial (mOFC) del cerebro y que esta actividad está relacionada paramétricamente con la intensidad declarada de la belleza. La ubicación de la actividad es similar a la ubicación de la actividad que se correlaciona con la experiencia de la belleza de otras fuentes, como la música, la alegría o la tristeza. Además, los matemáticos parecen resistirse a revisar su juicio sobre la belleza de una fórmula matemática a la luz de la opinión contradictoria de sus pares. [19]
Algunos matemáticos [¿ quiénes? ] opinan que hacer matemáticas está más cerca del descubrimiento que de la invención, por ejemplo:
No hay ningún descubridor científico, ningún poeta, ningún pintor, ningún músico, que no te diga que encontró ya hecho su descubrimiento, su poema o su cuadro, que le vino de fuera y que no lo creó conscientemente desde dentro.
— William Kingdon Clifford , de una conferencia en la Royal Institution titulada "Algunas de las condiciones del desarrollo mental"
Estos matemáticos creen que los resultados detallados y precisos de las matemáticas pueden considerarse razonablemente verdaderos sin ninguna dependencia del universo en el que vivimos. Por ejemplo, argumentarían que la teoría de los números naturales es fundamentalmente válida, de un modo que no requiere ningún contexto específico. Algunos matemáticos han extrapolado este punto de vista de que la belleza matemática es verdad aún más, llegando en algunos casos a convertirse en misticismo .
En la filosofía de Platón había dos mundos: el mundo físico en el que vivimos y otro mundo abstracto que contenía la verdad inmutable, incluidas las matemáticas. Creía que el mundo físico era un mero reflejo del mundo abstracto más perfecto. [20]
El matemático húngaro Paul Erdős [21] hablaba de un libro imaginario en el que Dios había escrito todas las pruebas matemáticas más hermosas. Cuando Erdős quería expresar su especial aprecio por una prueba, exclamaba: "¡Ésta es del Libro!".
El filósofo francés del siglo XX Alain Badiou afirmó que la ontología es matemática. [22] Badiou también cree en conexiones profundas entre las matemáticas, la poesía y la filosofía.
En muchos casos, los filósofos naturales y otros científicos que han hecho un uso extensivo de las matemáticas han hecho saltos de inferencia entre la belleza y la verdad física de maneras que resultaron ser erróneas. Por ejemplo, en una etapa de su vida, Johannes Kepler creyó que las proporciones de las órbitas de los planetas entonces conocidos en el Sistema Solar habían sido dispuestas por Dios para corresponder a una disposición concéntrica de los cinco sólidos platónicos , cada órbita situada en la circunsfera de un poliedro y en la insfera de otro. Como hay exactamente cinco sólidos platónicos, la hipótesis de Kepler solo podía dar cabida a seis órbitas planetarias y fue refutada por el posterior descubrimiento de Urano .
GH Hardy [23] analizó la belleza de las demostraciones matemáticas en estas seis dimensiones: general, seria, profunda, inesperada, inevitable, económica (simple). Paul Ernest [24] propone siete dimensiones para cualquier objeto matemático, incluyendo conceptos, teoremas, demostraciones y teorías. Estas son 1. Economía, simplicidad, brevedad, concisión, elegancia; 2. Generalidad, abstracción, poder; 3. Sorpresa, ingenio, astucia; 4. Patrón, estructura, simetría, regularidad, diseño visual; 5. Lógica, rigor, razonamiento y deducción ajustados, pensamiento puro; 6. Interconexión, vínculos, unificación; 7. Aplicabilidad, poder de modelado, generalidad empírica. Argumenta que los matemáticos individuales y las comunidades de matemáticos tendrán opciones preferidas de esta lista. Algunos, como Hardy, rechazarán algunas (Hardy afirmó que las matemáticas aplicadas son feas). Sin embargo, Rentuya Sa y sus colegas [25] compararon las opiniones de matemáticos y estudiantes universitarios británicos y matemáticos chinos sobre la belleza de 20 ecuaciones bien conocidas y encontraron un fuerte grado de acuerdo entre sus opiniones.
En la década de 1970, Abraham Moles y Frieder Nake analizaron los vínculos entre la belleza, el procesamiento de la información y la teoría de la información . [26] [27] En la década de 1990, Jürgen Schmidhuber formuló una teoría matemática de la belleza subjetiva dependiente del observador basada en la teoría de la información algorítmica : los objetos más bellos entre los objetos subjetivamente comparables tienen descripciones algorítmicas cortas (es decir, complejidad de Kolmogorov ) en relación con lo que el observador ya sabe. [28] [29] [30] Schmidhuber distingue explícitamente entre bello e interesante. Este último corresponde a la primera derivada de la belleza percibida subjetivamente: el observador intenta continuamente mejorar la predictibilidad y compresibilidad de las observaciones descubriendo regularidades como repeticiones y simetrías y autosimilitud fractal . Siempre que el proceso de aprendizaje del observador (posiblemente una red neuronal artificial predictiva ) conduce a una mejor compresión de datos de modo que la secuencia de observación puede describirse con menos bits que antes, el interés temporal de los datos corresponde al progreso de la compresión y es proporcional a la recompensa de la curiosidad interna del observador. [31] [32]
Entre los ejemplos del uso de las matemáticas en la música se incluyen la música estocástica de Iannis Xenakis , la secuencia de Fibonacci en Lateralus de Tool , el contrapunto de Johann Sebastian Bach , las estructuras polirrítmicas (como en La consagración de la primavera de Ígor Stravinsky ), la modulación métrica de Elliott Carter , la teoría de la permutación en el serialismo a partir de Arnold Schoenberg y la aplicación de los tonos de Shepard en Hymnen de Karlheinz Stockhausen . También se incluyen las aplicaciones de la teoría de grupos a las transformaciones en la música en los escritos teóricos de David Lewin .
Algunos ejemplos del uso de las matemáticas en las artes visuales incluyen aplicaciones de la teoría del caos y la geometría fractal al arte generado por computadora , estudios de simetría de Leonardo da Vinci , geometrías proyectivas en el desarrollo de la teoría de la perspectiva del arte renacentista , cuadrículas en el arte óptico , geometría óptica en la cámara oscura de Giambattista della Porta y perspectiva múltiple en el cubismo analítico y el futurismo .
La geometría sagrada es un campo en sí mismo, que da origen a innumerables formas de arte, incluidos algunos de los símbolos místicos y motivos religiosos más conocidos, y tiene una historia particularmente rica en la arquitectura islámica . También proporciona un medio de meditación y contemplación, por ejemplo, el estudio de las Sefirot de la Cábala (el árbol de la vida) y el cubo de Metatrón ; y también el acto de dibujar en sí.
El diseñador gráfico holandés MC Escher creó xilografías , litografías y mezzotintas de inspiración matemática que presentan construcciones imposibles, exploraciones del infinito , arquitectura, paradojas visuales y teselaciones .
Algunos pintores y escultores crean obras distorsionadas con los principios matemáticos de la anamorfosis , incluido el escultor sudafricano Jonty Hurwitz .
El artista construccionista británico John Ernest creó relieves y pinturas inspirados en la teoría de grupos. [33] Varios otros artistas británicos de las escuelas de pensamiento construccionista y de sistemas también recurren a modelos y estructuras matemáticas como fuente de inspiración, incluidos Anthony Hill y Peter Lowe . [34] El arte generado por computadora se basa en algoritmos matemáticos .
Bertrand Russell expresó su sentido de la belleza matemática con estas palabras:
Las matemáticas, correctamente consideradas, poseen no sólo verdad, sino también belleza suprema: una belleza fría y austera, como la de la escultura, que no apela a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los suntuosos adornos de la pintura o la música, pero sublimemente pura y capaz de una perfección severa como sólo el arte más grande puede mostrar. El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, la sensación de ser más que un hombre, que es la piedra de toque de la excelencia más alta, se encuentra en las matemáticas con tanta seguridad como en la poesía. [35]
Paul Erdős expresó su opinión sobre la inefabilidad de las matemáticas cuando dijo: "¿Por qué son bellos los números? Es como preguntar por qué es bella la Novena Sinfonía de Beethoven . Si no ves por qué, nadie te lo puede decir. Yo sé que los números son bellos. Si no son bellos, nada lo es". [36]
"...no hay nada en el mundo de las matemáticas que se corresponda con una audiencia en una sala de conciertos, donde los pasivos escuchan a los activos. Afortunadamente, los matemáticos son todos hacedores , no espectadores.
Las matemáticas correctamente consideradas poseen no sólo verdad sino belleza suprema, una belleza fría y austera como la de la escultura, sin atractivo para ninguna parte de nuestra naturaleza más débil sin los magníficos adornos de Russell.
