Anatomía computacional

Campo interdisciplinario de la biología

La anatomía computacional es un campo interdisciplinario de la biología centrado en la investigación cuantitativa y el modelado de la variabilidad de las formas anatómicas. ^{[1] [2]} Implica el desarrollo y la aplicación de métodos matemáticos, estadísticos y de análisis de datos para el modelado y la simulación de estructuras biológicas.

El campo está ampliamente definido e incluye fundamentos en anatomía , matemáticas aplicadas y matemáticas puras , aprendizaje automático , mecánica computacional , ciencia computacional , imágenes biológicas , neurociencia , física , probabilidad y estadística ; también tiene fuertes conexiones con la mecánica de fluidos y la mecánica geométrica . Además, complementa campos interdisciplinarios más nuevos como la bioinformática y la neuroinformática en el sentido de que su interpretación utiliza metadatos derivados de las modalidades originales de imágenes de sensores (de las cuales la resonancia magnética es un ejemplo). Se centra en las estructuras anatómicas que se están fotografiando, en lugar de los dispositivos de imágenes médicas. Es similar en espíritu a la historia de la lingüística computacional , una disciplina que se centra en las estructuras lingüísticas en lugar del sensor que actúa como medio de transmisión y comunicación.

En anatomía computacional, el grupo de difeomorfismos se utiliza para estudiar diferentes sistemas de coordenadas a través de transformaciones de coordenadas generadas a través de las velocidades de flujo lagrangianas y eulerianas en . Los flujos entre coordenadas en anatomía computacional están restringidos a ser flujos geodésicos que satisfacen el principio de mínima acción para la energía cinética del flujo. La energía cinética se define a través de una norma de suavidad de Sobolev con estrictamente más de dos derivadas generalizadas e integrables al cuadrado para cada componente de la velocidad del flujo, lo que garantiza que los flujos en son difeomorfismos. ^[3] También implica que el momento de forma difeomórfica tomado puntualmente que satisface la ecuación de Euler-Lagrange para geodésicas está determinado por sus vecinos a través de derivadas espaciales en el campo de velocidad. Esto separa la disciplina del caso de fluidos incompresibles ^[4] para los cuales el momento es una función puntual de la velocidad. La anatomía computacional se cruza con el estudio de las variedades de Riemann y el análisis global no lineal , donde los grupos de difeomorfismos son el foco central. Las teorías emergentes de alta dimensión de la forma ^[5] son ​​fundamentales para muchos estudios en anatomía computacional, al igual que las preguntas que surgen del campo incipiente de las estadísticas de forma . Las estructuras métricas en anatomía computacional están relacionadas en espíritu con la morfometría , con la distinción de que la anatomía computacional se centra en un espacio de dimensión infinita de sistemas de coordenadas transformados por un difeomorfismo , de ahí el uso central de la terminología difeomorfometría, el estudio del espacio métrico de los sistemas de coordenadas a través de difeomorfismos. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Génesis

En el corazón de la anatomía computacional se encuentra la comparación de formas mediante el reconocimiento de una forma con otra. Esto la conecta con los desarrollos de D'Arcy Wentworth Thompson en On Growth and Form, que ha llevado a explicaciones científicas de la morfogénesis , el proceso por el cual se forman patrones en biología . Los Cuatro libros sobre la proporción humana de Albrecht Durer fueron posiblemente los primeros trabajos sobre anatomía computacional. ^{[6] [7] [8]} Los esfuerzos de Noam Chomsky en su trabajo pionero de lingüística computacional inspiraron la formulación original de la anatomía computacional como un modelo generativo de forma y figura a partir de ejemplares sobre los que se actúa mediante transformaciones. ^[9]

Debido a la disponibilidad de mediciones 3D densas a través de tecnologías como la resonancia magnética (MRI), la anatomía computacional ha surgido como un subcampo de la imagenología médica y la bioingeniería para extraer sistemas de coordenadas anatómicas a escala morfomática en 3D. El espíritu de esta disciplina comparte una fuerte superposición con áreas como la visión por computadora y la cinemática de cuerpos rígidos , donde los objetos se estudian analizando los grupos responsables del movimiento en cuestión. La anatomía computacional se aparta de la visión por computadora con su enfoque en los movimientos rígidos, ya que el grupo de difeomorfismos de dimensión infinita es central para el análisis de formas biológicas. Es una rama de la escuela de análisis de imágenes y teoría de patrones en la Universidad de Brown ^[10] iniciada por Ulf Grenander . En la teoría general de patrones métricos de Grenander , convertir espacios de patrones en un espacio métrico es una de las operaciones fundamentales, ya que poder agrupar y reconocer configuraciones anatómicas a menudo requiere una métrica de formas cercanas y lejanas. La métrica difeomorfométrica ^[11] de la anatomía computacional mide la distancia entre dos cambios difeomórficos de coordenadas, lo que a su vez induce una métrica sobre las formas e imágenes indexadas a ellas. Los modelos de la teoría de patrones métricos, ^{[12] [13]} en particular la acción grupal sobre la órbita de formas y figuras, son una herramienta central para las definiciones formales en anatomía computacional.

Historia

La anatomía computacional es el estudio de la forma y la figura a escala milimétrica o morfológica de la anatomía macroscópica , centrándose en el estudio de subvariedades de puntos , curvas, superficies y subvolúmenes de la anatomía humana. Uno de los primeros neuroanatomistas computacionales modernos fue David Van Essen ^[14], que realizó algunos de los primeros despliegues físicos del cerebro humano basándose en la impresión y el corte de una corteza humana. La publicación de las coordenadas de Talairach por parte de Jean Talairach es un hito importante a escala morfomática, que demuestra la base fundamental de los sistemas de coordenadas locales en el estudio de la neuroanatomía y, por lo tanto, el vínculo claro con los gráficos de geometría diferencial . Al mismo tiempo, el mapeo virtual en anatomía computacional a través de coordenadas de imágenes densas de alta resolución ya estaba sucediendo en los primeros desarrollos de Ruzena Bajcy ^[15] y Fred Bookstein ^{[16] basados ​​en} la tomografía axial computarizada y la resonancia magnética . La primera introducción del uso de flujos de difeomorfismos para la transformación de sistemas de coordenadas en el análisis de imágenes y la obtención de imágenes médicas fue obra de Christensen, Joshi, Miller y Rabbitt. ^{[17] [18] [19]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3},}$

La primera formalización de la anatomía computacional como una órbita de plantillas ejemplares bajo la acción del grupo de difeomorfismos fue en la conferencia original dada por Grenander y Miller con ese título en mayo de 1997 en el 50 aniversario de la División de Matemáticas Aplicadas en la Universidad de Brown, ^[20] y publicación posterior. ^[9] Esta fue la base para la marcada desviación de gran parte del trabajo previo sobre métodos avanzados para la normalización espacial y el registro de imágenes que históricamente se construyeron sobre nociones de adición y expansión de base. Las transformaciones que preservan la estructura, centrales para el campo moderno de la anatomía computacional, los homeomorfismos y difeomorfismos llevan subvariedades suaves sin problemas. Se generan a través de flujos lagrangianos y eulerianos que satisfacen una ley de composición de funciones que forman la propiedad de grupo, pero no son aditivos.

El modelo original de la anatomía computacional era el de la terna, el grupo , la órbita de formas y las leyes de probabilidad que codifican las variaciones de los objetos en la órbita. La plantilla o conjunto de plantillas son elementos de la órbita de formas. ${\displaystyle ({\mathcal {G}},{\mathcal {M}},{\mathcal {P}})\ ,}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {M}}}$

Las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de las ecuaciones de movimiento de la anatomía computacional despegaron después de 1997 con varias reuniones fundamentales, incluida la reunión Luminy de 1997 ^[21] organizada por la escuela Azencott ^{[22] en la} Ecole-Normale Cachan sobre "Matemáticas del reconocimiento de formas" y el Trimestre de 1998 en el Instituto Henri Poincaré organizado por David Mumford "Questions Mathématiques en Traitement du Signal et de l'Image" que catalizó los grupos Hopkins-Brown-ENS Cachan y los desarrollos y conexiones posteriores de la anatomía computacional con los desarrollos en el análisis global.

Los avances en anatomía computacional incluyeron el establecimiento de las condiciones de suavidad de Sobolev en la métrica de difeomorfometría para asegurar la existencia de soluciones de problemas variacionales en el espacio de difeomorfismos, ^{[23] [24]} la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange que caracterizan las geodésicas a través del grupo y las leyes de conservación asociadas, ^{[25] [26] [27]} la demostración de las propiedades métricas de la métrica invariante derecha, ^[28] la demostración de que las ecuaciones de Euler-Lagrange tienen un problema de valor inicial bien planteado con soluciones únicas para todos los tiempos, ^[29] y los primeros resultados sobre curvaturas seccionales para la métrica de difeomorfometría en espacios marcados. ^[30] Tras la reunión de Los Álamos en 2002, ^[31 ] las soluciones originales de Joshi ^[32] para grandes deformaciones singulares en anatomía computacional se conectaron con solitones con pico o peakones ^[33] como soluciones para la ecuación de Camassa-Holm . Posteriormente, se realizaron conexiones entre las ecuaciones de Euler-Lagrange de la anatomía computacional para densidades de momento para la métrica invariante derecha que satisface la suavidad de Sobolev con la caracterización de Vladimir Arnold ^[4] de la ecuación de Euler para flujos incompresibles como descripción de geodésicas en el grupo de difeomorfismos que preservan el volumen. ^{[34] [35]} Los primeros algoritmos, generalmente denominados LDDMM para el mapeo difeomórfico de gran deformación para calcular conexiones entre puntos de referencia en volúmenes ^{[32] [36] [37]} y variedades esféricas, ^[38] curvas, ^[39] corrientes y superficies, ^{[40] [41] [42]} volúmenes, ^[43] tensores, ^[44] varifolds, ^[45] y series de tiempo ^{[46] [47] [48]} han seguido.

Estas contribuciones de la anatomía computacional al análisis global asociado a las variedades de dimensión infinita de los subgrupos del grupo de difeomorfismos están lejos de ser triviales. La idea original de hacer geometría diferencial, curvatura y geodésicas en variedades de dimensión infinita se remonta a la Habilitation de Bernhard Riemann (Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ^{[49] [50]} ); el libro moderno clave que sienta las bases de tales ideas en el análisis global es de Michor. ^[51]

Las aplicaciones dentro de las imágenes médicas de la anatomía computacional continuaron floreciendo después de dos reuniones organizadas en las conferencias del Instituto de Matemáticas Pura y Aplicada ^{[52] [53]} en la Universidad de California, Los Ángeles . La anatomía computacional ha sido útil para crear modelos precisos de la atrofia del cerebro humano a escala morfomática, así como plantillas cardíacas, ^[54] así como para modelar sistemas biológicos. ^[55] Desde fines de la década de 1990, la anatomía computacional se ha convertido en una parte importante del desarrollo de tecnologías emergentes para el campo de las imágenes médicas. Los atlas digitales son una parte fundamental de la educación médica moderna ^{[56] [57]} y en la investigación de neuroimagen a escala morfomática. ^{[58] [59]} Los métodos basados ​​en atlas y los libros de texto virtuales ^[60] que acomodan variaciones como en plantillas deformables están en el centro de muchas plataformas de análisis de neuroimagen, incluyendo Freesurfer, ^[61] FSL, ^[62] MRIStudio, ^[63] SPM. ^[64] El registro difeomórfico, ^[18] introducido en la década de 1990, es ahora un actor importante con bases de códigos existentes organizadas en torno a ANTS, ^[65] DARTEL, ^[66] DEMONS, ^[67] LDDMM, ^[68] StationaryLDDMM, ^[69] FastLDDMM, ^[70] son ​​ejemplos de códigos computacionales utilizados activamente para construir correspondencias entre sistemas de coordenadas basados ​​en características dispersas e imágenes densas. La morfometría basada en vóxeles es una tecnología importante construida sobre muchos de estos principios.

El modelo de órbita de plantilla deformable de la anatomía computacional

El modelo de la anatomía humana es una plantilla deformable, una órbita de ejemplares bajo la acción de un grupo. Los modelos de plantillas deformables han sido fundamentales para la teoría de patrones métricos de Grenander, ya que explican la tipicidad a través de plantillas y la variabilidad a través de la transformación de la plantilla. Una órbita bajo la acción de un grupo como representación de la plantilla deformable es una formulación clásica de la geometría diferencial. El espacio de formas se denota con , con el grupo con la ley de composición ; la acción del grupo sobre las formas se denota con , donde la acción del grupo se define para satisfacer ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas, siendo homogénea bajo la acción de los elementos de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Figura que muestra tres estructuras del lóbulo temporal medial: amígdala, corteza entorinal e hipocampo, con puntos de referencia fiduciales representados también incrustados en el fondo de la resonancia magnética.

El modelo de órbita de la anatomía computacional es un álgebra abstracta (que se puede comparar con el álgebra lineal ), ya que los grupos actúan de forma no lineal sobre las formas. Se trata de una generalización de los modelos clásicos del álgebra lineal, en los que el conjunto de vectores de dimensión finita se sustituye por las subvariedades anatómicas de dimensión finita (puntos, curvas, superficies y volúmenes) y las imágenes de las mismas, y las matrices del álgebra lineal se sustituyen por transformaciones de coordenadas basadas en grupos lineales y afines y los grupos difeomorfistas de alta dimensión más generales. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Formas y figuras

Los objetos centrales son formas o figuras en anatomía computacional, un conjunto de ejemplos son las subvariedades de 0,1,2,3 dimensiones de , un segundo conjunto de ejemplos son imágenes generadas a través de imágenes médicas como la resonancia magnética (MRI) y la resonancia magnética funcional . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

Superficies de malla trianguladas que representan estructuras subcorticales: amígdala, hipocampo, tálamo, caudado, putamen y ventrículos. Las formas se denotan y se representan como mallas trianguladas. ${\displaystyle m(u),u\in U\subset {\mathbb {R} }^{1}\rightarrow {\mathbb {R} }^{2}}$

Las variedades de dimensión 0 son puntos de referencia o puntos fiduciales; las variedades unidimensionales son curvas como las curvas sulcales y giros del cerebro; las variedades bidimensionales corresponden a los límites de las subestructuras en la anatomía, como las estructuras subcorticales del mesencéfalo o la superficie girosa del neocórtex ; los subvolúmenes corresponden a subregiones del cuerpo humano, el corazón , el tálamo , el riñón.

Los puntos de referencia son colecciones de puntos sin otra estructura que delimitan puntos fiduciales importantes dentro de la forma y figura humana (ver imagen asociada con puntos de referencia). Las formas de subvariedades, como las superficies, son colecciones de puntos modelados como parametrizados por un gráfico local o inmersión ( ver figura que muestra formas como superficies de malla). Las imágenes, como las imágenes de RM o las imágenes DTI , son funciones densas que son escalares, vectores y matrices (ver figura que muestra la imagen escalar). ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m:U\subset {\mathbb {R} }^{1,2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I(x),x\in X\subset {\mathbb {R} }^{1,2,3}}$

Grupos y acciones grupales

Se muestra una sección de resonancia magnética a través de un cerebro en 3D que representa una imagen escalar basada en ponderación T1. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

Los grupos y las acciones de grupo son familiares para la comunidad de ingeniería con la popularización y estandarización universal del álgebra lineal como modelo básico para analizar señales y sistemas en ingeniería mecánica , ingeniería eléctrica y matemáticas aplicadas . En álgebra lineal, los grupos de matrices (matrices con inversas) son la estructura central, con la acción de grupo definida por la definición habitual de como una matriz, actuando sobre como vectores; la órbita en álgebra lineal es el conjunto de -vectores dado por , que es una acción de grupo de las matrices a través de la órbita de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle y=A\cdot x\in {\mathbb {R} }^{n}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$

El grupo central en anatomía computacional definido en volúmenes son los difeomorfismos que son aplicaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \operatorname {Diff} }$ ${\displaystyle \varphi (\cdot )=(\varphi _{1}(\cdot ),\varphi _{2}(\cdot ),\varphi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{\prime }(\cdot )\doteq \varphi (\varphi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}(\cdot )=\varphi (\varphi ^{-1}(\cdot ))={\rm {id}}}$

Las más populares son las imágenes escalares, , con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I(x)=I\circ \varphi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}.}$

Para subvariedades parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa del flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \varphi \cdot m(u)\doteq \varphi \circ m(u),u\in U.}$

Se han definido varias acciones grupales en anatomía computacional . ^{[ cita requerida ]}

Flujos lagrangianos y eulerianos para generar difeomorfismos

Para el estudio de la cinemática de cuerpos rígidos , los grupos de Lie de matrices de baja dimensión han sido el foco central. Los grupos de matrices son aplicaciones de baja dimensión, que son difeomorfismos que proporcionan correspondencias uno a uno entre sistemas de coordenadas, con una inversa suave. El grupo de matrices de rotaciones y escalas se puede generar a través de matrices de dimensión finita de forma cerrada que son solución de ecuaciones diferenciales ordinarias simples con soluciones dadas por la exponencial matricial.

Para el estudio de la forma deformable en la anatomía computacional, se ha elegido un grupo de difeomorfismos más general, que es el análogo de dimensión infinita. Los grupos de difeomorfismos de alta dimensión utilizados en la anatomía computacional se generan mediante flujos suaves que satisfacen la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo , tal como se introdujo por primera vez en ^{[17] [19] [71],} que satisface la ecuación diferencial ordinaria: ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

Mostrando el flujo lagrangiano de coordenadas con campos vectoriales asociados que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),\varphi _{0}={\rm {id}}}$

con los campos vectoriales denominados velocidad euleriana de las partículas en la posición del flujo. Los campos vectoriales son funciones en un espacio funcional, modelado como un espacio de Hilbert suave de alta dimensión, con el jacobiano del flujo como un campo de alta dimensión en un espacio funcional también, en lugar de una matriz de baja dimensión como en los grupos de matrices. Los flujos se introdujeron por primera vez ^{[72] [73]} para grandes deformaciones en la correspondencia de imágenes; es la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo . ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

La inversa requerida para el grupo se define en el campo vectorial euleriano con flujo inverso advectivo. ${\displaystyle \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

El grupo de difeomorfismos de la anatomía computacional

El grupo de difeomorfismos es muy grande. Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos evitando soluciones de tipo choque para la inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio. ^{[74] [75]} Para difeomorfismos en , los campos vectoriales se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tenga estrictamente más de 2 derivadas espaciales integrables al cuadrado generalizadas (por lo tanto es suficiente), produciendo funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[74] [75]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$

El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev:

donde con el operador lineal mapeado al espacio dual , con la integral calculada por integración por partes cuando es una función generalizada en el espacio dual. ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v\in V\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:V\mapsto V^{*}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

Suavidad de Sobolev y núcleo reproductor Espacio de Hilbert con núcleo de Green

La condición de suavidad de Sobolev en campos vectoriales tal como se modela en un espacio de Hilbert de núcleo reproductor

El enfoque de modelado utilizado en la anatomía computacional impone una condición de diferenciabilidad continua en los campos vectoriales al modelar el espacio de los campos vectoriales como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS), con la norma definida por un operador diferencial 1-1 , la inversa de Green . La norma del espacio de Hilbert es inducida por el operador diferencial. Para una función o distribución generalizada, defina la forma lineal como . Esto determina la norma en de acuerdo con ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma |w)\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

Dado que es un operador diferencial, la finitud del cuadrado de la norma incluye derivadas del operador diferencial, lo que implica suavidad de los campos vectoriales . Los argumentos del teorema de incrustación de Sobolev se realizaron en ^{[74] [75],} lo que demuestra que se requiere una derivada 1-continua para flujos suaves. Para la elección adecuada de entonces es un RKHS con el operador denominado operador de Green generado a partir de la función de Green (caso escalar) para el caso del campo vectorial. Los núcleos de Green asociados al operador diferencial suavizan ya que el núcleo es continuamente diferenciable en ambas variables, lo que implica ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Av|v)<\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle K\sigma (x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)\sigma _{j}(dy)}$

Cuando , una densidad vectorial, ${\displaystyle \sigma \doteq \mu \,dx}$ ${\displaystyle (\sigma \mid v)\doteq \int v\cdot \mu \,dx.}$

Difeomorfometría: El espacio métrico de formas y figuras

El estudio de las métricas en grupos de difeomorfismos y el estudio de las métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación significativa. ^{[28] [76] [77] [78] [79] [80]} La métrica de difeomorfometría mide qué tan cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí; la longitud métrica es la longitud más corta del flujo que lleva un sistema de coordenadas al otro.

A menudo, la métrica euclidiana familiar no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial. En el modelo de órbita de Riemann de la anatomía computacional , los difeomorfismos que actúan sobre las formas no actúan linealmente. Hay muchas formas de definir métricas, y para los conjuntos asociados a formas, la métrica de Hausdorff es otra. El método que utilizamos para inducir la métrica de Riemann se utiliza para inducir la métrica en la órbita de las formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre las transformaciones del sistema de coordenadas difeomórficas de los flujos. La medición de las longitudes del flujo geodésico entre sistemas de coordenadas en la órbita de las formas se llama difeomorfometría . ${\displaystyle \varphi \cdot m\in {\mathcal {M}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},m\in {\mathcal {M}}}$

La métrica invariante por la derecha en difeomorfismos

Definir la distancia en el grupo de difeomorfismos

Esta es la métrica invariante a la derecha de la difeomorfometría, ^{[11] [28]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todo , ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi )}$.

La métrica de las formas y figuras

La distancia en las formas y figuras, ^[81] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

Las imágenes ^[28] se denotan con la órbita como y métrica . ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle ,d_{\mathcal {I}}}$

La integral de acción para el principio de Hamilton sobre flujos difeomórficos

En mecánica clásica, la evolución de los sistemas físicos se describe mediante soluciones a las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al principio de mínima acción de Hamilton . Esta es una forma estándar, por ejemplo, de obtener las leyes de Newton del movimiento de partículas libres. De manera más general, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden derivar para sistemas de coordenadas generalizadas . La ecuación de Euler-Lagrange en anatomía computacional describe los flujos de la ruta más corta geodésica entre sistemas de coordenadas de la métrica del difeomorfismo. En anatomía computacional, las coordenadas generalizadas son el flujo del difeomorfismo y su velocidad lagrangiana , las dos relacionadas a través de la velocidad euleriana . El principio de Hamilton para generar la ecuación de Euler-Lagrange requiere la integral de acción en el lagrangiano dada por ${\displaystyle \varphi ,{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle v\doteq {\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}$

El lagrangiano viene dado por la energía cinética:

Momento de forma difeomórfica o euleriana

En anatomía computacional, primero se lo llamó momento de forma euleriano o difeomórfico ^[82], ya que cuando se integra con la velocidad euleriana da como resultado la densidad de energía y dado que existe una conservación del momento de forma difeomórfica que se cumple. El operador es el momento de inercia generalizado u operador inercial. ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre el momento de forma para geodésicas en el grupo de difeomorfismos

El cálculo clásico de la ecuación de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton requiere la perturbación del lagrangiano en el campo vectorial en la energía cinética con respecto a la perturbación de primer orden del flujo. Esto requiere un ajuste por el corchete de Lie del campo vectorial , dado por el operador que involucra el jacobiano dado por ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$

${\displaystyle ad_{v}[w]\doteq [v,w]\doteq (Dv)w-(Dw)v\in V}$.

Al definir el adjunto , la variación de primer orden da como resultado el momento de forma euleriana que satisface la ecuación generalizada: ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*},}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

significado para todos suave ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})dx=0.}$

La anatomía computacional es el estudio de los movimientos de subvariedades, puntos, curvas, superficies y volúmenes. El momento asociado a puntos, curvas y superficies es todos singulares, lo que implica que el momento se concentra en subconjuntos de los cuales son dimensión en medida de Lebesgue . En tales casos, la energía todavía está bien definida ya que aunque es una función generalizada, los campos vectoriales son suaves y el momento euleriano se entiende a través de su acción sobre funciones suaves. La ilustración perfecta de esto es incluso cuando es una superposición de delta-diracs, la velocidad de las coordenadas en todo el volumen se mueven suavemente. La ecuación de Euler-Lagrange ( EL-general ) sobre difeomorfismos para funciones generalizadas se derivó en. ^[83] En Riemannian Metric and Lie-Bracket Interpretation of the Euler-Lagrange Equation on Geodesics se proporcionan derivaciones en términos del operador adjunto y el corchete de Lie para el grupo de difeomorfismos. Se la ha denominado ecuación EPDiff para difeomorfismos que se conectan con el método de Euler-Poincaré, habiendo sido estudiada en el contexto del operador inercial para fluidos incompresibles y sin divergencia. ^{[35] [84]} ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \leq 2}$ ${\displaystyle (Av_{t}\mid v_{t})}$ ${\displaystyle Av_{t}}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle A=identity}$

Momento de forma difeomórfica: una función vectorial clásica

Para el caso de densidad de momento , entonces la ecuación de Euler-Lagrange tiene una solución clásica: ${\displaystyle (Av_{t}\mid w)=\int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx}$

La ecuación de Euler-Lagrange sobre difeomorfismos, definida clásicamente para densidades de momento, apareció por primera vez en ^[85] para el análisis de imágenes médicas.

Exponencial de Riemann (posicionamiento geodésico) y logaritmo de Riemann (coordenadas geodésicas)

En imágenes médicas y anatomía computacional, el posicionamiento y la coordinación de formas son operaciones fundamentales; el sistema para posicionar coordenadas anatómicas y formas construido sobre la métrica y la ecuación de Euler-Lagrange es un sistema de posicionamiento geodésico como el explicado por primera vez en Miller Trouve y Younes. ^[11] La solución de la geodésica a partir de la condición inicial se denomina exponencial de Riemann, una aplicación en la identidad del grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface para la condición inicial la dinámica del campo vectorial . ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• Para la ecuación clásica, forma difeomorfa del momento , entonces ${\displaystyle \int _{X}Av_{t}\cdot w\,dx}$ ${\displaystyle Av\in V}$

${\displaystyle \ \ \ {\frac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;}$

• Para la ecuación generalizada, entonces , , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle \ \ \ \int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot ((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\,dx=0.}$

Calculando el flujo sobre coordenadas logaritmo de Riemann , ^{[11] [81]} mapeo en identidad de a campo vectorial ; ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Log_{\rm {id}}(\cdot ):\operatorname {Diff} _{V}\to V}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$

${\displaystyle \log _{\rm {id}}(\varphi )=v_{0}\ {\text{initial condition of EL geodesic}}{\dot {\varphi }}_{0}=v_{0},\varphi _{0}=id,\varphi _{1}=\varphi \ .}$

Extendidos a todo el grupo se convierten en

${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\circ \varphi }$ ; . ${\displaystyle \log _{\varphi }(\varphi )\doteq \log _{\rm {id}}(\varphi \circ \varphi ^{-1})\circ \varphi }$

Estas son inversas entre sí para soluciones únicas del logaritmo; la primera se llama posicionamiento geodésico , la segunda coordenadas geodésicas (ver mapa exponencial, geometría de Riemann para la versión de dimensión finita). La métrica geodésica es un aplanamiento local del sistema de coordenadas de Riemann (ver figura).

Se muestra el aplanamiento local métrico de variedades coordinadas de formas y figuras. La métrica local está dada por la norma del campo vectorial de la representación geodésica. ${\displaystyle \|v_{0}\|_{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m}$

Formulación hamiltoniana de la anatomía computacional

En anatomía computacional, los difeomorfismos se utilizan para empujar los sistemas de coordenadas, y los campos vectoriales se utilizan como control dentro de la órbita anatómica o el espacio morfológico. El modelo es el de un sistema dinámico, el flujo de coordenadas y el control del campo vectorial se relacionan a través de la vista hamiltoniana ^{[81] [86] [87] [88] [89]} reparametriza la distribución del momento en términos del momento conjugado o momento canónico , introducido como un multiplicador de Lagrange que restringe la velocidad lagrangiana . En consecuencia: ${\displaystyle t\mapsto \varphi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\cdot \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}.}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\varphi }}\mapsto (p\mid {\dot {\varphi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t}}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \varphi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

Esta función es el hamiltoniano extendido. El principio del máximo de Pontryagin ^[81] proporciona el campo vectorial optimizador que determina el flujo geodésico que satisface tanto el hamiltoniano reducido como el hamiltoniano ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}},}$

${\displaystyle H(\varphi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)\ .}$

El multiplicador de Lagrange en su acción como forma lineal tiene su propio producto interno del momento canónico que actúa sobre la velocidad del flujo que depende de la forma, por ejemplo, para puntos de referencia una suma, para superficies una integral de superficie y para volúmenes es una integral de volumen con respecto a . En todos los casos, los núcleos de Green tienen pesos que son el momento canónico que evoluciona de acuerdo con una ecuación diferencial ordinaria que corresponde a EL pero es la reparametrización geodésica en el momento canónico. El campo vectorial optimizador está dado por ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\varphi _{t},p_{t},v)}$

con dinámica de momento canónico reparametrizando el campo vectorial a lo largo de la geodésica

Estacionariedad del hamiltoniano y la energía cinética a lo largo de Euler-Lagrange

Mientras que los campos vectoriales se extienden a través de todo el espacio de fondo de , los flujos geodésicos asociados a las subvariedades tienen un momento de forma euleriana que evoluciona como una función generalizada concentrada en las subvariedades. Para los puntos de referencia ^{[90] [91] [92]} las geodésicas tienen un momento de forma euleriana que es una superposición de distribuciones delta que viajan con un número finito de partículas; el flujo difeomórfico de coordenadas tiene velocidades en el rango de los núcleos de Green ponderados. Para las superficies, el momento es una integral de superficie de las distribuciones delta que viajan con la superficie. ^[11] ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle Av_{t}\in V^{*}}$

Las geodésicas que conectan sistemas de coordenadas que satisfacen EL-general tienen estacionariedad del lagrangiano. El hamiltoniano está dado por el extremo a lo largo de la trayectoria , , que es igual a la energía cinética lagrangiana y es estacionario a lo largo de EL-general . Definiendo la velocidad geodésica en la identidad , entonces a lo largo de la geodésica ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle H(\varphi ,p)=\max _{v}H(\varphi ,p,v)}$ ${\displaystyle v_{0}=\arg \max _{v}H(\varphi _{0},p_{0},v)}$

La estacionariedad del hamiltoniano demuestra la interpretación del multiplicador de Lagrange como momento; integrado contra la velocidad da densidad de energía. El momento canónico tiene muchos nombres. En el control óptimo , los flujos se interpretan como el estado, y se interpreta como estado conjugado o momento conjugado. ^[93] La geodesia de EL implica la especificación de los campos vectoriales o momento euleriano en , o la especificación del momento canónico determina el flujo. ${\displaystyle {\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle p_{0}}$

La métrica de los flujos geodésicos de puntos de referencia, superficies y volúmenes dentro de la órbita.

En anatomía computacional, las subvariedades son conjuntos de puntos, curvas, superficies y subvolúmenes que son los primitivos básicos. Los flujos geodésicos entre las subvariedades determinan la distancia y forman las herramientas básicas de medición y transporte de la difeomorfometría . En la geodésica hay un campo vectorial determinado por el momento conjugado y el núcleo de Green del operador inercial que define el momento euleriano . La distancia métrica entre sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica está determinada por la distancia inducida entre el elemento identidad y el elemento de grupo: ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$ ${\displaystyle K=A^{-1}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}({\rm {id}},\varphi )=\|\log _{\rm {id}}(\varphi )\|_{V}=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H({\rm {id}},p_{0})}}}$

Leyes de conservaciónSobre el momento de forma difeomórfica para la anatomía computacional

Dada la acción mínima, existe una definición natural del momento asociado a las coordenadas generalizadas; la cantidad que actúa contra la velocidad da energía. El campo ha estudiado dos formas, el momento asociado al campo vectorial euleriano denominado momento de forma difeomórfica euleriana y el momento asociado a las coordenadas iniciales o coordenadas canónicas denominado momento de forma difeomórfica canónica . Cada una tiene una ley de conservación. La conservación del momento va de la mano con la EL-general . En anatomía computacional, es el momento euleriano ya que cuando se integra contra la velocidad euleriana da densidad de energía; operador el momento de inercia generalizado u operador inercial que actuando sobre la velocidad euleriana da momento que se conserva a lo largo de la geodésica: ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$

La conservación del momento de forma euleriana se demostró en ^[94] y se desprende de EL-general ; la conservación del momento canónico se demostró en ^[81].

Prueba de conservación

La prueba se sigue de la definición , lo que implica ${\displaystyle w_{t}=((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}w_{t}=(Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid ((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})+(Av_{t}\mid {\frac {d}{dt}}((D\varphi _{t})w)\circ \varphi _{t}^{-1})=({\frac {d}{dt}}Av_{t}\mid w_{t})+(Av_{t}\mid (Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})=0.}$

La prueba del momento canónico se muestra a partir de : ${\displaystyle {\dot {p}}_{t}=-(Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}^{T}p_{t}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(p_{t}\mid (D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid {\frac {d}{dt}}(D\varphi _{t})w)=({\dot {p}}_{t}\mid (D\varphi _{t})w)+(p_{t}\mid (Dv_{t})_{|_{\varphi _{t}}}(D\varphi _{t})w)=0}$.

Interpolación geodésica de información entre sistemas de coordenadas mediante problemas variacionales

La construcción de correspondencias difeomórficas entre formas calcula las coordenadas iniciales del campo vectorial y los pesos asociados en los núcleos de Greens . Estas coordenadas iniciales se determinan mediante la correspondencia de formas, llamada mapeo métrico difeomórfico de deformación grande (LDDMM) . LDDMM se ha resuelto para puntos de referencia con y sin correspondencia ^{[32] [95] [96] [97] [98]} y para correspondencias de imágenes densas. ^{[99] [100]} curvas, ^[101] superficies, ^{[41] [102]} imágenes densas de vector ^[103] y tensor ^[104] y varifolds que eliminan la orientación. ^[105] LDDMM calcula flujos geodésicos de la EL-general sobre coordenadas de destino, agregando a la integral de acción una condición de correspondencia de punto final que mide la correspondencia de elementos en la órbita bajo la transformación del sistema de coordenadas. Se examinó la existencia de soluciones para la correspondencia de imágenes. ^[24] La solución del problema variacional satisface la EL-general para con condición de contorno. ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt}$ ${\displaystyle E:\varphi _{1}\rightarrow R^{+}}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$

Coincidencia basada en la minimización de la acción de energía cinética con la condición del punto final

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min \left\{C(\varphi ):v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}={\rm {id}}\right\}\\[5pt]\doteq {}&{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Euler conservation }}&\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0,\ t\in [0,1)\ ,\\{\text{Boundary condition }}&\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}},Av_{1}=\left.-{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =\varphi _{1}}\ .\end{cases}}}$

La conservación de la EL-general extiende el BC en al resto de la trayectoria . El problema de coincidencia inexacta con el término de coincidencia de punto final tiene varias formas alternativas. Una de las ideas clave de la estacionariedad del hamiltoniano a lo largo de la solución geodésica es que el costo de funcionamiento integrado se reduce al costo inicial en t  = 0, las geodésicas de la EL-general están determinadas por su condición inicial . ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle t\in [0,1)}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle v_{0}}$

El coste de funcionamiento se reduce al coste inicial determinado por Kernel -Surf.-Land.-Geodesics . ${\displaystyle v_{0}=Kp_{0}}$

Coincidencia basada en disparo geodésico

${\displaystyle {\begin{aligned}&\min _{v_{0}}C(v_{0})\doteq {\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{0}\cdot v_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\mathrm {id} }(v_{0})\cdot I_{0})\\[6pt]&\min _{p_{0}}C(p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot Kp_{0}\,dx+E(\mathrm {Exp} _{\text{id}}(Kp_{0})\cdot I_{0})\end{aligned}}}$

El problema de correspondencia explícitamente indexado a la condición inicial se llama disparo, que también puede repararse a través del momento conjugado . ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$

Coincidencia de imágenes densas en anatomía computacional

La comparación de imágenes densas tiene una larga historia, con los primeros esfuerzos ^{[106] [107]} que explotaban un marco de deformación pequeño. Las deformaciones grandes comenzaron a principios de los años 1990, ^{[18] [19]} con la primera existencia de soluciones al problema variacional para flujos de difeomorfismos para la comparación de imágenes densas establecida en ^[24] . Beg se resolvió a través de uno de los primeros algoritmos LDDMM basados ​​en la solución de la comparación variacional con el punto final definido por las imágenes densas con respecto a los campos vectoriales, tomando variaciones con respecto a los campos vectoriales. ^[99] Otra solución para la comparación de imágenes densas reparametriza el problema de optimización en términos del estado que da la solución en términos de la acción infinitesimal definida por la ecuación de advección . ^{[11] [27] [100]} ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1},q_{0}=I}$

LDDMMcoincidencia de imágenes densas

Para el LDDMM de Beg, denote la imagen con la acción del grupo . Al considerar esto como un problema de control óptimo, el estado del sistema es el flujo difeomórfico de coordenadas , con la dinámica que relaciona el control con el estado dado por . La condición de coincidencia de puntos finales da el problema variacional ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq I\circ \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}=v\circ \varphi }$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \|I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime }\|^{2}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition:}}&Av_{1}=\mu _{1}\,dx,\mu _{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-I^{\prime })\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\ ,\\[5pt]{\text{Conservation:}}&Av_{t}=\mu _{t}\,dx,\ \mu _{t}=(D\varphi _{t}^{-1})^{T}\mu _{0}\circ \varphi _{t}^{-1}|D\varphi _{t}^{-1}|\ .\\[5pt]&\mu _{0}=(I-I^{\prime }\circ \varphi _{1})\nabla I|D\varphi _{1}|\ .\\\end{cases}}}$

El algoritmo iterativo LDDMM de Beg tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones necesarias del optimizador. El algoritmo iterativo se proporciona en Algoritmo LDDMM de Beg para la coincidencia de imágenes densas .

Hamiltoniano LDDMM en el estado de convección reducido

Denote la imagen , con el estado y la dinámica relacionada con el estado y el control dados por el término advectivo . El punto final da el problema variacional ${\displaystyle I(x),x\in X}$ ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \varphi _{t}^{-1}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$ ${\displaystyle E(q_{1})\doteq \|q_{1}-I^{\prime }\|^{2}}$

El LDDMM hamiltoniano iterativo de Viallard tiene puntos fijos que satisfacen las condiciones optimizadoras necesarias.

Correspondencia de imágenes del tensor de difusión en anatomía computacional

Imagen que muestra una imagen del tensor de difusión con tres niveles de color que representan las orientaciones de los tres vectores propios de la imagen matricial , imagen con valores matriciales; cada uno de los tres colores representa una dirección. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{2}}$

La coincidencia de tensor LDDMM densa ^{[104] [108]} toma las imágenes como vectores 3x1 y tensores 3x3 que resuelven el problema variacional de coincidencia entre sistemas de coordenadas basados ​​en los vectores propios principales de la imagen de resonancia magnética del tensor de difusión (DTI) denotada que consiste en el tensor en cada vóxel. Varias de las acciones de grupo se definen en función de la norma de matriz de Frobenius entre matrices cuadradas . En la figura adjunta se muestra una imagen DTI ilustrada a través de su mapa de colores que representa las orientaciones de los vectores propios de la matriz DTI en cada vóxel con el color determinado por la orientación de las direcciones. Denote la imagen del tensor con elementos propios , . ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \|A\|_{F}^{2}\doteq \operatorname {trace} A^{T}A}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle M(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}(x),e_{i}(x),i=1,2,3\}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \lambda _{3}}$

La transformación del sistema de coordenadas basada en imágenes DTI ha explotado dos acciones: una basada en el principio del vector propio o la matriz completa .

La correspondencia LDDMM basada en el vector propio principal de la matriz del tensor de difusión toma la imagen como un campo vectorial unitario definido por el primer vector propio. La acción de grupo se convierte en ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0;\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

La coincidencia LDDMM basada en toda la matriz tensorial hace que la acción del grupo se convierta en vectores propios transformados ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

El problema variacional de correspondencia con el vector propio principal o la matriz se describe en LDDMM Tensor Image Matching .

Correspondencia de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI) en anatomía computacional

La difusión por imágenes de alta resolución angular (HARDI) aborda la limitación bien conocida de la DTI, es decir, la DTI solo puede revelar una orientación dominante de la fibra en cada ubicación. HARDI mide la difusión a lo largo de direcciones distribuidas uniformemente en la esfera y puede caracterizar geometrías de fibra más complejas. HARDI se puede utilizar para reconstruir una función de distribución de orientación (ODF) que caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua. La ODF es una función definida en una esfera unitaria, . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$

El emparejamiento denso LDDMM ODF ^[109] toma los datos HARDI como ODF en cada vóxel y resuelve el problema variacional LDDMM en el espacio de ODF. En el campo de la geometría de la información , ^[110] el espacio de ODF forma una variedad de Riemann con la métrica de Fisher-Rao. Para el propósito del mapeo LDDMM ODF, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha ya que las diversas operaciones de Riemann, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas logarítmicos, están disponibles en forma cerrada. En lo siguiente, denote la raíz cuadrada ODF ( ) como , donde no es negativo para asegurar la unicidad y . El problema variacional para el emparejamiento supone que se pueden generar dos volúmenes ODF de uno a otro a través de flujos de difeomorfismos , que son soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir del mapa identidad . Denotemos la acción del difeomorfismo sobre la plantilla como , , son respectivamente las coordenadas de la esfera unitaria y el dominio de la imagen, con el objetivo indexado de manera similar, , , . ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})\,d{\bf {s}}=1}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}(\varphi _{t}),t\in [0,1],}$ ${\displaystyle \varphi _{0}={\rm {id}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {{\mathbb {S} }^{2}}}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$ ${\displaystyle {\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle x\in X}$

La acción grupal del difeomorfismo sobre la plantilla se da de acuerdo con

${\displaystyle \varphi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,

donde es el jacobiano del ODF transformado afín y se define como ${\displaystyle (D\varphi _{1})}$

${\displaystyle (D\varphi _{1})\psi \circ \varphi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\varphi _{1}^{-1}}\varphi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\varphi _{1}^{-1}(x)\right).}$

Esta acción grupal de difeomorfismos en ODF reorienta a ODF y refleja cambios tanto en la magnitud de como en las direcciones de muestreo de debido a la transformación afín. Garantiza que la fracción de volumen de fibras orientadas hacia un parche pequeño debe permanecer igual después de que el parche se transforme. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\bf {s}}}$

El problema variacional LDDMM se define como

${\displaystyle C(v)=\inf _{v:{\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},\varphi _{0}={\rm {id}}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+\lambda \int _{x\in \Omega }\|\log _{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\varphi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \varphi _{1}^{-1}(x)}^{2}\,dx.}$

donde el logaritmo de se define como ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$

${\displaystyle \|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),}$

donde es el producto escalar normal entre puntos en la esfera bajo la métrica. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$

Este algoritmo de mapeo LDDMM-ODF se ha utilizado ampliamente para estudiar la degeneración de la materia blanca cerebral en el envejecimiento, la enfermedad de Alzheimer y la demencia vascular. ^[111] El atlas de materia blanca cerebral generado en base a ODF se construye a través de estimación bayesiana. ^[112] El análisis de regresión en ODF se desarrolla en el espacio de la variedad ODF en. ^[113]

Metamorfosis

Demostración de la metamorfosis que permite tanto el cambio difeomórfico en la transformación de coordenadas como el cambio en la intensidad de la imagen, tal como se asocia con las primeras tecnologías de transformación, como el video de Michael Jackson. Observe la inserción de la intensidad del nivel de gris del tumor, que no existe en la plantilla.

El modo principal de variación representado por el modelo de órbita es el cambio de coordenadas. Para la configuración en la que los pares de imágenes no están relacionados por difeomorfismos pero tienen variación fotométrica o variación de imagen no representada por la plantilla, se ha introducido el modelado de apariencia activa , originalmente por Edwards-Cootes-Taylor ^[114] y en imágenes médicas 3D en. ^[115] En el contexto de la anatomía computacional en la que se han estudiado las métricas de la órbita anatómica, la metamorfosis para modelar estructuras como tumores y cambios fotométricos que no residen en la plantilla se introdujo en ^[28] para modelos de imágenes de resonancia magnética, con muchos desarrollos posteriores que extendieron el marco de la metamorfosis. ^{[116] [117] [118]}

Para la correspondencia de imágenes, el marco de metamorfosis de imágenes amplía la acción de modo que con la acción . En este contexto, la metamorfosis combina tanto la transformación del sistema de coordenadas difeomórficas de la anatomía computacional como las primeras tecnologías de transformación que solo atenuaban o modificaban la intensidad fotométrica o de la imagen. ${\displaystyle t\mapsto (\varphi _{t},I_{t})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}\cdot I_{t}\doteq I_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}}$

Entonces el problema de correspondencia toma una forma con condiciones de contorno de igualdad:

${\displaystyle \min _{(v,I)}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx+\|{\dot {I}}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1}\|^{2}/\sigma ^{2}\right)\,dt{\text{ subject to}}\ \varphi _{0}={\rm {id}},I_{0}={\text{fixed}},I_{1}={\text{fixed}}}$

Coincidencia de puntos de referencia, curvas y superficies

La transformación de los sistemas de coordenadas basados ​​en puntos de referencia o marcadores fiduciales se remonta al trabajo temprano de Bookstein sobre métodos de splines de deformación pequeña ^[119] para interpolar correspondencias definidas por puntos fiduciales con el espacio de fondo bidimensional o tridimensional en el que se definen los fiduciales. Los métodos de puntos de referencia de deformación grande aparecieron a fines de la década de 1990. ^{[26] [32] [120]} La figura anterior representa una serie de puntos de referencia asociados con tres estructuras cerebrales, la amígdala, la corteza entorinal y el hipocampo.

La correspondencia de objetos geométricos como distribuciones de puntos no etiquetados, curvas o superficies es otro problema común en la anatomía computacional. Incluso en el entorno discreto donde estos se dan comúnmente como vértices con mallas, no hay correspondencias predeterminadas entre puntos a diferencia de la situación de los puntos de referencia descritos anteriormente. Desde el punto de vista teórico, mientras que cualquier subvariedad en , se puede parametrizar en gráficos locales , todas las reparametrizaciones de estos gráficos dan geométricamente la misma variedad. Por lo tanto, al principio de la anatomía computacional, los investigadores han identificado la necesidad de representaciones invariantes de parametrización. Un requisito indispensable es que el término de correspondencia de punto final entre dos subvariedades sea en sí mismo independiente de sus parametrizaciones. Esto se puede lograr a través de conceptos y métodos tomados de la teoría de la medida geométrica , en particular corrientes ^[40] y varifolds ^[45] que se han utilizado ampliamente para la correspondencia de curvas y superficies. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle d=1,2,3}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{0,1,2,3}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$

Hito o punto coincidente con correspondencia

Ilustración del flujo geodésico para un punto de referencia, que demuestra el movimiento difeomórfico del espacio de fondo. La flecha roja muestra , la curva azul muestra , la cuadrícula negra muestra ${\displaystyle p_{0}(1)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(x_{1})}$ ${\displaystyle \varphi _{t}}$

Figura que muestra la correspondencia entre puntos de referencia. Los paneles izquierdo y derecho muestran dos núcleos diferentes con soluciones.

Denotada la forma marcada con punto final , el problema variacional se convierte en ${\displaystyle X\doteq \{x_{1},\dots ,x_{n}\}\subset {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})\doteq \textstyle \sum _{i}\displaystyle \|\varphi _{1}(x_{i})-x_{i}^{\prime }\|^{2}}$

El momento euleriano geodésico es una función generalizada , sustentada en el conjunto de puntos de referencia en el problema variacional. La condición de punto final con conservación implica el momento inicial en la identidad del grupo: ${\displaystyle \displaystyle Av_{t}\in V^{*}\textstyle ,t\in [0,1]}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Endpoint condition: }}&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}p_{1}(i)\delta _{\varphi _{1}(x_{i})},p_{1}(i)=(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\ ,\\[5pt]{\text{Conservation: }}&Av_{t}=\sum _{i=1}^{n}p_{t}(i)\delta _{\varphi _{t}(x_{i})},\ p_{t}(i)=(D\varphi _{t1})_{|\varphi _{t}(x_{i})}^{T}p_{1}(i)\ ,\ \varphi _{t1}\doteq \varphi _{1}\circ \varphi _{t}^{-1}\ ,\\[5pt]&Av_{0}=\sum _{i}\delta _{x_{i}}(\cdot )p_{0}(i)\ {\text{ with }}p_{0}(i)=(D\varphi _{1})_{|x_{i}}^{T}(x_{i}^{\prime }-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Se presenta el algoritmo iterativo para el mapeo métrico difeomórfico de gran deformación para puntos de referencia .

Coincidencia de medidas: puntos de referencia no registrados

Glaunes y colaboradores introdujeron por primera vez el emparejamiento difeomórfico de conjuntos de puntos en el contexto general de las distribuciones de emparejamiento. ^[121] A diferencia de los puntos de referencia, esto incluye en particular la situación de nubes de puntos ponderados sin correspondencias predefinidas y posiblemente cardinalidades diferentes. Las nubes de puntos discretas de plantilla y de destino se representan como dos sumas ponderadas de Diracs y que viven en el espacio de medidas con signo de . El espacio está equipado con una métrica de Hilbert obtenida a partir de un núcleo positivo real en , lo que da la siguiente norma: ${\displaystyle \mu _{m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{x_{i}}}$ ${\displaystyle \mu _{m^{\prime }}=\sum _{i=1}^{n^{\prime }}\rho _{i}^{\prime }\delta _{x_{i}^{\prime }}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle \|\mu _{m}\|_{\mathrm {mea} }^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\rho _{i}\rho _{j}k(x_{i},x_{j})}$

El problema de correspondencia entre una plantilla y una nube de puntos de destino se puede formular entonces utilizando esta métrica de kernel para el término de correspondencia del punto final:

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|\mu _{\varphi _{1}\cdot m}-\mu _{m^{\prime }}\|_{\mathrm {mea} }^{2}}$

donde es la distribución transportada por la deformación. ${\displaystyle \mu _{\varphi _{1}\cdot m}=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}}$

Coincidencia de curvas

En el caso unidimensional, una curva en 3D se puede representar mediante una incrustación y la acción de grupo de Diff se convierte en . Sin embargo, la correspondencia entre curvas e incrustaciones no es uno a uno, ya que cualquier reparametrización , para un difeomorfismo del intervalo [0,1], representa geométricamente la misma curva. Para preservar esta invariancia en el término de coincidencia de punto final, se pueden considerar varias extensiones del enfoque de coincidencia de medida de dimensión 0 anterior. ${\displaystyle m:u\in [0,1]\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \varphi \cdot m=\varphi \circ m}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Coincidencia de curvas con corrientes

En el caso de curvas orientadas, las corrientes proporcionan un entorno eficiente para construir términos de emparejamiento invariantes. En dicha representación, las curvas se interpretan como elementos de un espacio funcional dual a los campos vectoriales espaciales y se comparan a través de normas de núcleo en estos espacios. El emparejamiento de dos curvas se escribe eventualmente como el problema variacional ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m^{\prime }}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

con el término final se obtiene de la norma ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}K_{C}(m(u),m(v))\partial m(u)\cdot \partial m(v)\,du\,dv}$

la derivada es el vector tangente a la curva y un núcleo matricial dado de . Tales expresiones son invariantes a cualquier reparametrización positiva de y , y por lo tanto aún dependen de la orientación de las dos curvas. ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle K_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m'}$

• Coincidencia de curvas con varifolds

El varifold es una alternativa a las corrientes cuando la orientación se convierte en un problema, como por ejemplo en situaciones que involucran múltiples haces de curvas para las cuales no se puede definir una orientación "consistente". Los varifolds extienden directamente las medidas de dimensión 0 agregando una dirección espacial tangente adicional a la posición de los puntos, lo que lleva a representar las curvas como medidas en el producto de y el Grassmanniano de todas las líneas rectas en . El problema de coincidencia entre dos curvas consiste entonces en reemplazar el término de coincidencia de punto final por con normas varifold de la forma: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {V}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {V}}_{m^{\prime }}\|_{\text{cur}}^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{var}^{2}=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([\partial m(u)],[\partial m(v)]\right)\partial m(u){|}\partial m(v){|}\,du\,dv}$

donde es la línea no orientada dirigida por el vector tangente y dos núcleos escalares respectivamente en y el Grassmanniano. Debido a la naturaleza inherentemente no orientada de la representación Grassmanniana, tales expresiones son invariantes a las reparametrizaciones positivas y negativas. ${\displaystyle [\partial m(u)]}$ ${\displaystyle \partial m(u)}$ ${\displaystyle k_{\mathbb {R} ^{3}},k_{\mathbf {Gr} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Coincidencia de superficies

La correspondencia de superficies comparte muchas similitudes con el caso de las curvas. Las superficies en se parametrizan en gráficos locales mediante incrustaciones , y todas las reparametrizaciones con un difeomorfismo de U son geométricamente equivalentes. También se pueden utilizar corrientes y varifolds para formalizar la correspondencia de superficies. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m:u\in U\subset {\mathbb {R} }^{2}\rightarrow {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle m\circ \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

• Coincidencia de superficies con corrientes

Las superficies orientadas se pueden representar como corrientes de 2 que son duales a las formas de 2 diferenciales. En , se pueden identificar además las formas de 2 con campos vectoriales a través del producto de cuña estándar de vectores 3D. En esa configuración, la correspondencia de superficies escribe nuevamente: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int (Av_{t}\mid v_{t})\,dt+{\frac {1}{2}}\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

con el término final dado a través de la norma ${\displaystyle E(\varphi _{1})=\|{\mathcal {C}}_{\varphi _{1}\cdot m}-{\mathcal {C}}_{m^{\prime }}\|_{\mathrm {cur} }^{2}/2}$

${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}=\iint _{U\times U}K_{C}(m(u),m(v)){\vec {n}}(u)\cdot {\vec {n}}(v)\,du\,dv}$

con el vector normal a la superficie parametrizado por . ${\displaystyle {\vec {n}}=\partial _{u_{1}}m\wedge \partial _{u_{2}}m}$ ${\displaystyle m}$

Este algoritmo de mapeo de superficies ha sido validado para superficies corticales cerebrales contra CARET y FreeSurfer. ^[122] El mapeo LDDMM para superficies multiescala se analiza en. ^[123]

• Coincidencia de superficies con varifolds

Para superficies no orientables o no orientadas, el marco varifold suele ser más adecuado. Para identificar la superficie paramétrica con un varifold en el espacio de medidas sobre el producto de y el Grassmanniano, simplemente se reemplaza la métrica actual anterior por: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}_{m}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {C}}_{m}\|_{\mathrm {cur} }^{2}}$

${\displaystyle \|{\mathcal {V}}_{m}\|_{\mathrm {var} }^{2}=\iint _{U\times U}k_{\mathbb {R} ^{3}}(m(u),m(v))k_{\mathbf {Gr} }\left([{\vec {n}}(u)],[{\vec {n}}(v)]\right){|}{\vec {n}}(u){|}{|}{\vec {n}}(v){|}\,du\,dv}$

donde es la línea (no orientada) dirigida por el vector normal a la superficie. ${\displaystyle [{\vec {n}}(u)]}$

Crecimiento y atrofia a partir de series temporales longitudinales

Existen muchos entornos en los que hay una serie de mediciones, una serie temporal a la que se corresponderán y sobre la que se aplicarán los sistemas de coordenadas subyacentes. Esto ocurre, por ejemplo, en los modelos de crecimiento y atrofia dinámicos y en el seguimiento del movimiento, como se ha explorado en ^{[46] [124] [125] [126].} Se proporciona una secuencia temporal observada y el objetivo es inferir el flujo temporal del cambio geométrico de coordenadas que lleva a los ejemplares o templarios a través del período de observaciones.

El problema genérico de correspondencia de series temporales considera que la serie de tiempos es . El flujo se optimiza en la serie de costos dando lugar a problemas de optimización de la forma ${\displaystyle 0<t_{1}<\cdots <t_{K}=1}$ ${\displaystyle E(t_{k}),k=1,\ldots ,K}$

${\displaystyle \min _{\varphi :v={\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1},\varphi _{0}=id}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}(Av_{t}\mid v_{t})\,dt+\sum _{k=1}^{K}E(\varphi _{t_{k}})}$.

Hasta ahora se han ofrecido al menos tres soluciones: geodésica por partes, ^[46] geodésica principal ^[126] y splines. ^[127]

El modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional

Órbitas de cerebros asociadas a la acción grupal difeomórfica sobre plantillas representadas a través de un flujo suave asociado a flujos geodésicos con rociado aleatorio asociado a la generación aleatoria del campo vectorial espacial tangente inicial ; publicado en. ^[11] ${\displaystyle v_{0}\in V}$

El modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional apareció por primera vez en ^{[128] [129] [130]} modelando el cambio en las coordenadas asociado a la aleatoriedad del grupo que actúa sobre las plantillas, lo que induce la aleatoriedad en la fuente de imágenes en la órbita anatómica de formas y figuras y las observaciones resultantes a través de los dispositivos de imágenes médicas. Este modelo de órbita aleatoria en el que la aleatoriedad en el grupo induce aleatoriedad en las imágenes se examinó para el Grupo Euclidiano Especial para el reconocimiento de objetos en ^{[131] .}

En la figura se muestra una representación de las órbitas aleatorias alrededor de cada ejemplar, , generadas al aleatorizar el flujo generando el campo vectorial espacial tangente inicial en la identidad y luego generando un objeto aleatorio . ${\displaystyle m_{0}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle n\doteq \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m_{0}\in {\mathcal {M}}}$

El modelo de órbita aleatoria induce la distribución previa de las formas e imágenes condicionadas a un atlas particular . Para ello, el modelo generativo genera el campo medio como un cambio aleatorio en las coordenadas de la plantilla según , donde el cambio difeomórfico en las coordenadas se genera aleatoriamente a través de los flujos geodésicos. La distribución previa de las transformaciones aleatorias en es inducida por el flujo , con construido como una distribución previa de campo aleatorio gaussiano . La densidad de los observables aleatorios a la salida del sensor se da por ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I_{a}\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{a}}$ ${\displaystyle \pi _{\text{Diff}}(d\varphi )}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \pi _{V}(dv)}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{D}}$

Figura que muestra la dispersión aleatoria de estructuras subcorticales sintetizadas dispuestas en la cuadrícula bidimensional que representa la varianza de la función propia utilizada para el momento de la síntesis.

${\displaystyle p(I^{D}\mid I_{a})=\int _{V}p(I^{D}\mid \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v)\cdot I_{a})\pi _{V}(dv)\ .}$

En la figura de la derecha se muestra la órbita de la caricatura, una dispersión aleatoria de las variedades subcorticales generadas al aleatorizar los campos vectoriales soportados sobre las subvariedades. ${\displaystyle v_{0}}$

El modelo bayesiano de anatomía computacional

Modelo de fuente-canal que muestra la fuente de imágenes, la plantilla deformable y la salida del canal asociada con el sensor de MRI ${\displaystyle I\doteq \varphi \cdot I_{\mathrm {temp} }\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

El modelo estadístico central de la anatomía computacional en el contexto de las imágenes médicas ha sido el modelo fuente-canal de la teoría de Shannon ; ^{[128] [129] [130]} la fuente es la plantilla deformable de imágenes , las salidas del canal son los sensores de imágenes con observables (ver Figura). ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I^{D}\in {\mathcal {I}}^{\mathcal {D}}}$

Consulte El modelo bayesiano de anatomía computacional para obtener información sobre (i) estimación de MAP con múltiples atlas, (ii) segmentación de MAP con múltiples atlas y estimación de MAP de plantillas a partir de poblaciones.

Teoría de formas estadísticas en anatomía computacional

La forma en anatomía computacional es una teoría local que indexa formas y estructuras a plantillas a las que se asignan biyectivamente. La forma estadística en anatomía computacional es el estudio empírico de las correspondencias difeomórficas entre poblaciones y sistemas de coordenadas de plantillas comunes. Esto es un gran alejamiento de los análisis de Procrustes y las teorías de la forma iniciadas por David G. Kendall ^[132] en que el grupo central de las teorías de Kendall son los grupos de Lie de dimensión finita, mientras que las teorías de la forma en anatomía computacional ^{[133] [134] [135]} se han centrado en el grupo de difeomorfismo, que en primer orden a través del jacobiano puede considerarse como un campo (por lo tanto de dimensión infinita) de grupos de Lie de baja dimensión de escala y rotaciones.

Figura que muestra cientos de estructuras subcorticales incrustadas en un espacio de momento bidimensional generado a partir de los dos primeros vectores propios de la covarianza empírica estimada a partir de la población de formas.

El modelo de órbita aleatoria proporciona el entorno natural para comprender la forma empírica y las estadísticas de forma dentro de la anatomía computacional, ya que la no linealidad de la ley de probabilidad inducida sobre las formas y figuras anatómicas se induce a través de la reducción a los campos vectoriales en el espacio tangente en la identidad del grupo de difeomorfismos. El flujo sucesivo de la ecuación de Euler induce el espacio aleatorio de formas y figuras . ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle v_{0}\in V}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\rm {id}}(v_{0})\cdot m\in {\mathcal {M}}}$

Realizar estadísticas empíricas sobre este espacio tangente en la identidad es la forma natural de inducir leyes de probabilidad sobre las estadísticas de forma. Dado que tanto los campos vectoriales como el momento euleriano están en un espacio de Hilbert, el modelo natural es el de un campo aleatorio gaussiano, de modo que, dada la función de prueba , los productos internos con las funciones de prueba se distribuyen gaussianamente con media y covarianza. ${\displaystyle Av_{0}}$ ${\displaystyle w\in V}$

Esto se representa en la figura adjunta, donde las estructuras cerebrales subcorticales se representan en un sistema de coordenadas bidimensional basado en productos internos de sus campos vectoriales iniciales que las generan a partir de la plantilla que se muestra en un lapso bidimensional del espacio de Hilbert.

Estimación de plantillas a partir de poblaciones

Representación de la estimación de plantillas a partir de múltiples superficies subcorticales en poblaciones de imágenes de RM utilizando la solución del algoritmo EM de Ma. ^[136]

El estudio de la forma y las estadísticas en poblaciones son teorías locales que indexan formas y estructuras a plantillas a las que se asignan biyectivamente. La forma estadística es entonces el estudio de las correspondencias difeomórficas relativas a la plantilla. Una operación central es la generación de plantillas a partir de poblaciones, estimando una forma que coincida con la población. Existen varios métodos importantes para generar plantillas, incluidos los métodos basados ​​en el promedio de Frechet ^[137] y los enfoques estadísticos basados ​​en el algoritmo de maximización de expectativas y los modelos de órbita aleatoria de Bayes de anatomía computacional ^{[136] [138]} En la figura adjunta se muestra una reconstrucción de plantilla subcortical a partir de la población de sujetos de MRI ^{[139] .}

Software para mapeo difeomórfico

Los paquetes de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen los siguientes:

• HORMIGAS ^[65]
• DARTEL ^[66] Morfometría basada en vóxeles
• DEFORMÉTRICA ^[140]
• DEMONIOS ^[67]
• LDDMM ^[68] Mapeo métrico difeomórfico de gran deformación
• LDDMM basado en núcleo basado en trama ^[141]
• LDDMM estacionario ^[69]

Software en la nube

• Nube de resonancia magnética ^[142]

Véase también

• Estimación bayesiana de plantillas en anatomía computacional
• Neuroanatomía computacional
• Análisis de datos geométricos
• Mapeo métrico difeomórfico de gran deformación
• Análisis de Procusto
• Métrica de Riemann y corchete de Lie en anatomía computacional
• Análisis de forma (desambiguación)
• Análisis estadístico de formas

Referencias

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