Métrica de Riemann y corchete de Lie en anatomía computacional

Aplicación de la geometría diferencial

La anatomía computacional (AC) es el estudio de la forma y la figura en las imágenes médicas . El estudio de las formas deformables en AC se basa en grupos de difeomorfismos de alta dimensión que generan órbitas de la forma . En AC, esta órbita se considera en general una variedad riemanniana suave ya que en cada punto de la variedad hay un producto interno que induce la norma en el espacio tangente que varía suavemente de un punto a otro en la variedad de formas . Esto se genera al ver el grupo de difeomorfismos como una variedad riemanniana con , asociada al espacio tangente en . Esto induce la norma y la métrica en la órbita bajo la acción del grupo de difeomorfismos. ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{m}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$

El grupo de difeomorfismos generados como flujos lagrangianos y eulerianos

Los difeomorfismos en la anatomía computacional se generan para satisfacer la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo , generados a través de la ecuación diferencial ordinaria. ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

con los campos vectoriales eulerianos en para , con la inversa para el flujo dada por ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$

y la matriz jacobiana para flujos se da como ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[1] [2]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tiene derivadas integrables al cuadrado 3, lo que implica incrustaciones suaves en funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[1] [2]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El modelo de órbita de Riemann

Las formas en la anatomía computacional (AC) se estudian mediante el uso de mapeo difeomórfico para establecer correspondencias entre sistemas de coordenadas anatómicas. En este contexto, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como transformaciones difeomórficas de algún ejemplar, denominado plantilla , lo que da como resultado que las imágenes observadas sean elementos del modelo de órbita aleatoria de AC . Para las imágenes, se definen como , y para los gráficos que representan subvariedades se denotan como . ${\displaystyle I_{temp}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

La métrica de Riemann

La órbita de las formas y figuras en Anatomía Computacional se genera por la acción de grupo . Esto se convierte en una órbita riemanniana introduciendo una métrica asociada a cada punto y espacio tangente asociado. Para ello se define una métrica en el grupo que induce la métrica en la órbita. Se toma como métrica para Anatomía Computacional en cada elemento del espacio tangente en el grupo de difeomorfismos ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot m:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V}}$,

con los campos vectoriales modelados para estar en un espacio de Hilbert con la norma en el espacio de Hilbert . Modelamos como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 . Para una distribución o función generalizada, la forma lineal determina la norma: y el producto interno para según ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle \sigma (v)\doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle (\sigma \mid w)\doteq \int _{\mathbb {R} ^{3}}\sum _{i}w_{i}(x)\sigma _{i}(dx)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

donde la integral se calcula por integración por partes para una función generalizada el espacio dual. El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green asociado a la inversa sea lo suficientemente suave para que los campos vectoriales admitan derivadas 1-continuas . ${\displaystyle Av}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

La métrica invariante por la derecha en difeomorfismos

La métrica del grupo de difeomorfismos se define por la distancia definida en pares de elementos en el grupo de difeomorfismos según

Esta distancia proporciona una métrica invariante a la derecha de la difeomorfometría, ^{[3] [4] [5]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todo , ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \varphi ,\varphi \circ \varphi ).}$

El corchete de Lie en el grupo de difeomorfismos

El corchete de Lie proporciona el ajuste del término de velocidad resultante de una perturbación del movimiento en el contexto de espacios curvos. Utilizando el principio de mínima acción de Hamilton se derivan los flujos optimizadores como un punto crítico para la integral de acción de la integral de la energía cinética. El corchete de Lie para campos vectoriales en Anatomía Computacional fue introducido por primera vez en Miller, Trouve y Younes. ^[6] La derivación calcula la perturbación en los campos vectoriales en términos de la derivada en el tiempo de la perturbación de grupo ajustada por la corrección del corchete de Lie de los campos vectoriales en este contexto de función que involucra la matriz jacobiana, a diferencia del caso del grupo de matrices: ${\displaystyle \delta v}$ ${\displaystyle v^{\varepsilon }=v+\varepsilon \delta v}$

Demostración: Para probar que el corchete de Lie de los campos vectoriales toma una perturbación de primer orden del flujo en el punto . ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

Corchete de Lie de campos vectoriales

Tomando la perturbación de primer orden se obtiene , con un límite fijo , con , dando las siguientes dos ecuaciones: ${\displaystyle \varphi _{t}^{\varepsilon }\doteq (\operatorname {id} +\varepsilon w)\circ \varphi =\varphi +\varepsilon w\circ \varphi }$ ${\displaystyle w_{0}=w_{1}=0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }=v_{t}^{\varepsilon }\circ \varphi _{t}^{\varepsilon },\varphi _{0}^{\varepsilon }=\operatorname {id} ,\varphi _{1}^{\varepsilon }=\varphi _{1}}$

• ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\varepsilon }={\frac {d}{dt}}\varphi _{t}+\varepsilon {\frac {d}{dt}}(w_{t}\circ \varphi _{t})=v_{t}\circ \varphi _{t}+(Dw_{t})\circ \varphi _{t}v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .}$
• ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}^{\varepsilon }=(v_{t}+\varepsilon \delta v_{t})\circ (\varphi _{t}+\varepsilon w_{t}\circ \varphi _{t})\simeq v_{t}\circ \varphi _{t}+\varepsilon (Dv_{t})\circ \varphi _{t}w_{t}\circ \varphi _{t}+\delta v_{t}\circ \varphi _{t}+o(\varepsilon )\ .}$

Igualando las dos ecuaciones anteriores se obtiene la perturbación del campo vectorial en términos del ajuste del corchete de Lie.

El corchete de Lie da la variación de primer orden del campo vectorial con respecto a la variación de primer orden del flujo.

${\displaystyle \delta v_{t}={\frac {d}{dt}}w_{t}-ad_{v_{t}}(w_{t})={\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w_{t}-(Dw_{t})v_{t})\ .}$

La ecuación generalizada de Euler-Lagrange para la métrica de flujos difeomórficos

La ecuación de Euler-Lagrange se puede utilizar para calcular flujos geodésicos a través del grupo que forma la base de la métrica. La integral de acción para el lagrangiano de la energía cinética para el principio de Hamilton se convierte en

La integral de acción en términos del campo vectorial corresponde a la integración de la energía cinética

${\displaystyle J(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}^{2}dt={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\ dt\ .}$

Las conexiones geodésicas de los caminos más cortos en la órbita se definen a través del Principio de Hamilton de mínima acción que requiere variaciones de primer orden de las soluciones en las órbitas de Anatomía Computacional que se basan en el cálculo de puntos críticos en la longitud métrica o energía del camino. La derivación original de la ecuación de Euler ^[7] asociada al flujo geodésico de difeomorfismos explota la era una ecuación de función generalizada cuando es una distribución, o función generalizada, toma la variación de primer orden de la acción integral usando el operador adjunto para el corchete de Lie ( adjoint-Lie-bracket ) da para todos los suaves , ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle w\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}J(\varphi ^{\varepsilon })|_{\varepsilon =0}=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\,dx\,dt=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}w_{t}-((Dv_{t})w-(Dw)v_{t})\right)\,dx\,dt.}$

Usando el soporte y da ${\displaystyle ad_{v}:w\in V\mapsto V}$ ${\displaystyle ad_{v}^{*}:V^{*}\rightarrow V^{*}}$

significado para todos suave ${\displaystyle w\in V,}$

${\displaystyle \int _{X}\left({\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot w\,dx=\int _{X}{\frac {d}{dt}}Av_{t}\cdot w\,dx+\int _{X}Av_{t}\cdot \left((Dv_{t})w-(Dw)v_{t}\right)\,dx=0.}$

La ecuación ( general de Euler ) es la ecuación de Euler cuando el momento de forma difeomórfica es una función generalizada. ^[8] Esta ecuación se ha llamado EPDiff, ecuación de Euler-Poincaré para difeomorfismos y se ha estudiado en el contexto de la mecánica de fluidos para fluidos incompresibles con métrica. ^{[9] [10]} ${\displaystyle L^{2}}$

Exponencial de Riemann para posicionamiento

En el modelo de órbita aleatoria de la anatomía computacional , todo el flujo se reduce a la condición inicial que forma las coordenadas que codifican el difeomorfismo, además de proporcionar los medios para posicionar la información en la órbita. Esto se denominó por primera vez un sistema de posicionamiento geodésico en Miller, Trouve y Younes. ^[4] A partir de la condición inicial , el posicionamiento geodésico con respecto a la métrica de Riemann de la anatomía computacional resuelve el flujo de la ecuación de Euler-Lagrange. Resolver la geodésica a partir de la condición inicial se denomina Riemanniano-exponencial, una aplicación en la identidad del grupo. ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(\cdot ):V\to \operatorname {Diff} _{V}}$

La exponencial de Riemann satisface para la condición inicial la dinámica del campo vectorial . ${\displaystyle \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})=\varphi _{1}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{0}=v_{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\varphi }}_{t}=v_{t}\circ \varphi _{t},t\in [0,1]}$

• Para la ecuación clásica sobre la forma difeomórfica, el momento como un vector suave existe la ecuación de Euler en el sentido clásico como la primera derivada para la densidad: ^[11] ${\displaystyle Av_{t}=\mu _{t}\,dx}$ ${\displaystyle \int _{X}\mu _{t}\cdot w\,dx\ ,w\in V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mu _{t}+(Dv_{t})^{T}\mu _{t}+(D\mu _{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)\mu _{t}=0\ ,\ Av_{t}=\mu _{t}\,dx;}$

• Para la ecuación generalizada, entonces ${\displaystyle Av\in V^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ .}$

Se extiende a todo el grupo, . ${\displaystyle \varphi =\operatorname {Exp} _{\varphi }(v_{0}\circ \varphi )\doteq \operatorname {Exp} _{\operatorname {id} }(v_{0})\circ \varphi }$

El problema de variación para hacer coincidir o registrar información del sistema de coordenadas en la anatomía computacional

La correspondencia de información entre sistemas de coordenadas es fundamental para la anatomía computacional . Agregar un término coincidente a la integral de acción de la ecuación ( integral de acción de Hamilton ) que representa el punto final objetivo ${\displaystyle E:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\rightarrow R^{+}}$

${\displaystyle C(\varphi )\doteq \int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+E(\varphi _{1})\ .}$

El término de punto final agrega una condición de contorno para la ecuación de Euler-Lagrange ( EL-General ) que da la ecuación de Euler con término de contorno. Tomando la variación se obtiene

• Condición geodésica necesaria:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}=0\end{cases}}}$

Prueba: ^[11] La prueba mediante cálculo variacional utiliza las perturbaciones de arriba y los argumentos clásicos del cálculo variacional.

Demostración mediante cálculo de variaciones con energía de punto final

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \left({\frac {d}{dt}}\delta \varphi _{t}-(Dv_{t}\delta \varphi _{t}-D\delta \varphi _{t}v_{t})\right)\,dx\,dt+\int _{X}\left({\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\cdot \delta \varphi _{1}\,dx\right)\\[6pt]={}&-\int _{0}^{1}\int _{X}\left({\frac {dAv_{t}}{dt}}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})\right)\cdot \delta \varphi _{t}\,dx\,dt+\int _{X}\left(Av_{1}+{\frac {\partial E(\varphi )}{\partial \varphi _{1}}}\right)\cdot \delta \varphi _{1}\,dx.\end{aligned}}}$

Condiciones de punto final geodésico de Euler-Lagrange para la correspondencia de imágenes

Los primeros algoritmos de mapeo métrico difeomórfico de gran deformación ( LDDMM ) resolvieron problemas de coincidencia asociados a imágenes y puntos de referencia registrados. están en espacios vectoriales. La ecuación geodésica de coincidencia de imágenes satisface la ecuación dinámica clásica con condición de punto final. Las condiciones necesarias para la geodésica para la coincidencia de imágenes toman la forma de la ecuación clásica ( EL-Classic ) de Euler-Lagrange con condición de contorno:

${\displaystyle \min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ \varphi _{1}^{-1}(x)-J(x)|^{2}\,dx}$

• Condición geodésica necesaria:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+(Dv_{t})^{T}Av_{t}+(DAv_{t})v_{t}+(\nabla \cdot v)Av_{t}=0\ ;\\[4pt]&Av_{1}=(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\end{cases}}}$

Condiciones de punto final geodésico de Euler-Lagrange para la coincidencia de puntos de referencia

El problema de coincidencia de puntos de referencia registrados satisface la ecuación dinámica para funciones generalizadas con condición de punto final:

${\displaystyle \min _{\varphi :{\dot {\varphi }}=v_{t}\circ \varphi _{t}}C(\varphi )\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx\,dt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\varphi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\varphi _{1}(x_{i})-y_{i}).}$

• Condiciones geodésicas necesarias:

${\displaystyle {\begin{cases}&{\dfrac {d}{dt}}Av_{t}+ad_{v_{t}}^{*}(Av_{t})=0\ ,\ t\in [0,1]\ ,\\[4pt]&Av_{1}=\sum _{i=1}^{n}\delta _{\varphi _{1}(x_{i})}(y_{i}-\varphi _{1}(x_{i}))\end{cases}}}$

Prueba: ^[11]

La variación requiere variación de la inversa generaliza la perturbación matricial de la inversa al dar ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \varphi }}E(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}}$ ${\displaystyle (\varphi +\varepsilon \delta \varphi \circ \varphi )\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})=\operatorname {id} +o(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1}=-(D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{d\varepsilon }}{\frac {1}{2}}\left.\int _{X}|I\circ (\varphi ^{-1}+\varepsilon \delta \varphi ^{-1}\circ \varphi ^{-1})-J|^{2}\,dx\right|_{\varepsilon =0}\\[6pt]={}&\int _{X}(I\circ \varphi ^{-1}-J)\nabla I|_{\varphi ^{-1}}(-D\varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx\\[6pt]={}&-\int _{X}(I\circ \varphi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \varphi _{1}^{-1})\delta \varphi \,dx.\end{aligned}}}$

Referencias

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6. Miller, Michael I.; Trouvé, Alain; Younes, Laurent (31 de enero de 2006). "Tiro geodésico para anatomía computacional". Revista de imágenes y visión matemática . 24 (2): 209–228. doi :10.1007/s10851-005-3624-0. ISSN  0924-9907. PMC 2897162 . PMID  20613972. 
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8. MI Miller, A. Trouve, L. Younes, Tiro geodésico en anatomía computacional, IJCV, 2006.
9. Roberto, Camassa; Holm, Darryl D. (13 de septiembre de 1993). "Una ecuación integrable de aguas someras con solitones picudos". Physical Review Letters . 71 (11): 1661–1664. arXiv : patt-sol/9305002 . Código Bibliográfico :1993PhRvL..71.1661C. doi :10.1103/PhysRevLett.71.1661. PMID  10054466. S2CID  8832709.
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11. MI Miller, A. Trouve, L Younes, Sobre las métricas y las ecuaciones de Euler-Lagrange de la anatomía computacional, Annu. Rev. Biomed. Eng. 2002. 4:375–405 doi :10.1146/annurev.bioeng.4.092101.125733 Copyright °c 2002 por Annual Reviews.