Acciones grupales en anatomía computacional

Las acciones grupales son fundamentales para la geometría de Riemann y la definición de órbitas (teoría de control) . Las órbitas de la anatomía computacional consisten en formas anatómicas e imágenes médicas ; las formas anatómicas son subvariedades de geometría diferencial que consisten en puntos, curvas, superficies y subvolúmenes. Esto generalizó las ideas de las órbitas más familiares del álgebra lineal que son espacios vectoriales lineales . Las imágenes médicas son imágenes escalares y tensoriales de imágenes médicas . Las acciones grupales se utilizan para definir modelos de forma humana que se adaptan a la variación. Estas órbitas son plantillas deformables como se formuló originalmente de manera más abstracta en la teoría de patrones .

El modelo orbital de la anatomía computacional

El modelo central de la anatomía humana en la anatomía computacional es un grupo y acción de grupo , una formulación clásica de la geometría diferencial . La órbita se denomina espacio de formas y figuras . ^[1] El espacio de figuras se denota con el grupo con ley de composición ; la acción del grupo sobre las figuras se denota con , donde la acción del grupo se define para satisfacer ${\displaystyle m\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {G}},\circ )}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g\cdot m}$ ${\displaystyle g\cdot m\in {\mathcal {M}},m\in {\mathcal {M}}}$

${\displaystyle (g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.}$

La órbita de la plantilla se convierte en el espacio de todas las formas . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}}$

Varias acciones grupales en anatomía computacional

El grupo central en CA definido en volúmenes en son el grupo de difeomorfismos los cuales son aplicaciones con 3 componentes , ley de composición de funciones , con inversa . ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff} }$ ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))}$ ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatorname {id} }$

Subvariedades: órganos, estructuras subcorticales, gráficos e inmersiones

Para subvariedades parametrizadas por un gráfico o inmersión , la acción difeomorfa del flujo de la posición ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle m(u),u\in U}$

${\displaystyle \phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U}$.

Imágenes escalares como MRI, CT, PET

Las más populares son las imágenes escalares, , con acción a la derecha a través de la inversa. ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$

${\displaystyle \phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$.

Tangentes orientadas en curvas, vectores propios de matrices tensoriales

Se utilizan muchas modalidades de imágenes diferentes con diversas acciones. Para imágenes que son un vector tridimensional, entonces ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},}$

${\displaystyle \varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}}$

Matrices tensoriales

Cao et al. ^[2] examinaron acciones para mapear imágenes de MRI medidas a través de imágenes de tensor de difusión y representadas a través de su vector propio principal. Para los campos tensoriales, una base ortonormal orientada positivamente de , denominada marcos, se denota entonces como producto vectorial ${\displaystyle I(x)=(I_{1}(x),I_{2}(x),I_{3}(x))}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\|D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\times D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,}$

El marco de Frénet de tres vectores ortonormales, se deforma como una tangente, se deforma como una normal al plano generado por y . H está únicamente restringido por la base que es positiva y ortonormal. ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}\times I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$

Para matrices simétricas no negativas, una acción sería . ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \varphi \cdot I=(D\varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

Para mapear imágenes de MRI DTI ^{[3] [4]} (tensores), entonces los valores propios se conservan con el difeomorfismo que rota los vectores propios y conserva los valores propios. Dados los elementos propios , entonces la acción se convierte en ${\displaystyle \{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}}$

${\displaystyle \varphi \cdot I\doteq (\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {e}}_{1}={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .}$

Función de distribución de orientación y alta resolución angular HARDI

La función de distribución de orientación (ODF) caracteriza el perfil angular de la función de densidad de probabilidad de difusión de las moléculas de agua y se puede reconstruir a partir de imágenes de difusión de alta resolución angular (HARDI). La ODF es una función de densidad de probabilidad definida en una esfera unitaria, . En el campo de la geometría de la información , ^[5] el espacio de ODF forma una variedad de Riemann con la métrica de Fisher-Rao. Para el propósito del mapeo de ODF LDDMM, se elige la representación de raíz cuadrada porque es una de las representaciones más eficientes encontradas hasta la fecha, ya que las diversas operaciones de Riemann, como geodésicas, mapas exponenciales y mapas logarítmicos, están disponibles en forma cerrada. En lo siguiente, denote la raíz cuadrada de ODF ( ) como , donde no es negativo para garantizar la unicidad y . ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

Denotemos la transformación difeomórfica como . La acción grupal del difeomorfismo sobre , , debe garantizar la no negatividad y . Con base en la derivación en, ^[6] esta acción grupal se define como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ ${\displaystyle \phi \cdot \psi }$ ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}}$

¿Dónde está el jacobiano de ? ${\displaystyle (D\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$

Referencias

1. Miller, Michael I.; Younes, Laurent; Trouvé, Alain (1 de marzo de 2014). "Diffeomorfometría y sistemas de posicionamiento geodésico para la anatomía humana". Tecnología . 2 (1): 36. doi :10.1142/S2339547814500010. ISSN  2339-5478. PMC  4041578 . PMID  24904924.
2. Cao Y1, Miller MI, Winslow RL, Younes, Mapeo métrico difeomórfico de deformación grande de campos vectoriales. IEEE Trans Med Imaging. Septiembre de 2005;24(9):1216-30.
3. Alexander, DC; Pierpaoli, C.; Basser, PJ; Gee, JC (1 de noviembre de 2001). "Transformaciones espaciales de imágenes de resonancia magnética con tensor de difusión" (PDF) . IEEE Transactions on Medical Imaging . 20 (11): 1131–1139. doi :10.1109/42.963816. ISSN  0278-0062. PMID  11700739. S2CID  6559551.
4. Cao, Yan; Miller, Michael I.; Mori, Susumu; Winslow, Raimond L.; Younes, Laurent (5 de julio de 2006). "Coincidencia difeomórfica de imágenes de tensor de difusión". Taller de la Conferencia de 2006 sobre visión artificial y reconocimiento de patrones (CVPRW'06) . Vol. 2006. pág. 67. doi :10.1109/CVPRW.2006.65. ISBN 978-0-7695-2646-1. ISSN  1063-6919. PMC  2920614. PMID  20711423 .
5. Amari, S (1985). Métodos geométricos diferenciales en estadística . Springer.
6. Du, J; Goh, A; Qiu, A (2012). "Mapeo métrico difeomórfico de imágenes de difusión de alta resolución angular basado en la estructura riemanniana de funciones de distribución de orientación". IEEE Trans Med Imaging . 31 (5): 1021–1033. doi :10.1109/TMI.2011.2178253. PMID  22156979. S2CID  11533837.