Difeomorfometría

Estudio métrico de la forma y la figura en la anatomía computacional

La difeomorfometría es el estudio métrico de imágenes, formas y figuras en la disciplina de la anatomía computacional (AC) en imágenes médicas . El estudio de imágenes en anatomía computacional se basa en grupos de difeomorfismos de alta dimensión que generan órbitas de la forma , en las que las imágenes pueden ser imágenes densas de resonancia magnética escalar o tomografía axial computarizada . Para formas deformables , estas son la colección de variedades , puntos, curvas y superficies . Los difeomorfismos mueven las imágenes y formas a través de la órbita según la cual se definen como las acciones grupales de la anatomía computacional . ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M\mid \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle (\varphi ,I)\mapsto \varphi \cdot I}$

La órbita de formas y figuras se convierte en un espacio métrico induciendo una métrica en el grupo de difeomorfismos. El estudio de métricas en grupos de difeomorfismos y el estudio de métricas entre variedades y superficies ha sido un área de investigación significativa. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} En anatomía computacional, la métrica de difeomorfometría mide qué tan cerca y lejos están dos formas o imágenes entre sí. De manera informal, la métrica se construye definiendo un flujo de difeomorfismos que conectan los elementos del grupo entre sí, por lo que para entonces . La métrica entre dos sistemas de coordenadas o difeomorfismos es entonces la longitud más corta o flujo geodésico que los conecta. La métrica en el espacio asociado a las geodésicas está dada por . Las métricas en las órbitas se heredan de la métrica inducida en el grupo de difeomorfismos. ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t},t\in [0,1],\phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }$ ${\displaystyle \rho (\varphi ,\psi )=\inf _{\phi :\phi _{0}=\varphi ,\phi _{1}=\psi }\int _{0}^{1}\|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}\,dt}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}},{\mathcal {M}}}$

El grupo se convierte así en una variedad riemanniana suave con métrica riemanniana asociada a los espacios tangentes en todos los . La métrica riemanniana satisface que en cada punto de la variedad hay un producto interno que induce la norma en el espacio tangente que varía suavemente a lo largo de . ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{\varphi }}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle \|{\dot {\phi }}_{t}\|_{\phi _{t}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} _{V}}$

A menudo, la métrica euclidiana familiar no es directamente aplicable porque los patrones de formas e imágenes no forman un espacio vectorial . En el modelo de órbita de Riemann de la anatomía computacional , los difeomorfismos que actúan sobre las formas no actúan linealmente. Hay muchas formas de definir métricas, y para los conjuntos asociados a formas, la métrica de Hausdorff es otra. El método utilizado para inducir la métrica de Riemann es inducir la métrica en la órbita de las formas definiéndola en términos de la longitud métrica entre las transformaciones del sistema de coordenadas difeomórficas de los flujos. La medición de las longitudes del flujo geodésico entre sistemas de coordenadas en la órbita de las formas se llama difeomorfometría . ${\displaystyle \varphi \cdot I\in {\mathcal {I}},\varphi \in \operatorname {Diff} _{V},M\in {\mathcal {M}}}$

El grupo de difeomorfismos generados como flujos lagrangianos y eulerianos

Los difeomorfismos en la anatomía computacional se generan para satisfacer la especificación lagrangiana y euleriana de los campos de flujo , generados a través de la ecuación diferencial ordinaria. ${\displaystyle \varphi _{t},t\in [0,1]}$

con los campos vectoriales eulerianos en para . La inversa para el flujo está dada por y la matriz jacobiana para flujos en está dada como ${\displaystyle v\doteq (v_{1},v_{2},v_{3})}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle v_{t}={\dot {\varphi }}_{t}\circ \varphi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{-1}=-(D\varphi _{t}^{-1})v_{t},\ \varphi _{0}^{-1}=\operatorname {id} ,}$ ${\displaystyle 3\times 3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \ D\varphi \doteq \left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Para asegurar flujos suaves de difeomorfismos con inversa, los campos vectoriales deben ser al menos 1 vez continuamente diferenciables en el espacio ^{[10] [11]} que se modelan como elementos del espacio de Hilbert utilizando los teoremas de incrustación de Sobolev de modo que cada elemento tiene derivadas integrables al cuadrado 3, lo que implica incrustaciones suaves en funciones 1 vez continuamente diferenciables. ^{[10] [11]} El grupo de difeomorfismos son flujos con campos vectoriales absolutamente integrables en la norma de Sobolev: ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$

El modelo de órbita de Riemann

Las formas en la anatomía computacional (AC) se estudian mediante el uso de mapeo difeomórfico para establecer correspondencias entre sistemas de coordenadas anatómicas. En este contexto, las imágenes médicas tridimensionales se modelan como transformaciones difeomórficas de algún ejemplar, denominado plantilla , lo que da como resultado que las imágenes observadas sean elementos del modelo de órbita aleatoria de AC . Para las imágenes, se definen como , y para los gráficos que representan subvariedades se denotan como . ${\displaystyle I_{temp}}$ ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M_{temp}:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$

La métrica de Riemann

Las órbitas de formas y figuras en Anatomía Computacional son generadas por la acción de grupo , . Estas se convierten en órbitas riemannianas introduciendo una métrica asociada a cada punto y espacio tangente asociado. Para ello se define una métrica en el grupo que induce la métrica en la órbita. Se toma como métrica para Anatomía Computacional en cada elemento del espacio tangente en el grupo de difeomorfismos ${\displaystyle {\mathcal {I}}\doteq \{\varphi \cdot I:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\doteq \{\varphi \cdot M:\varphi \in \operatorname {Diff} _{V}\}}$ ${\displaystyle \varphi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle \|{\dot {\varphi }}\|_{\varphi }\doteq \|{\dot {\varphi }}\circ \varphi ^{-1}\|_{V}=\|v\|_{V},}$

con los campos vectoriales modelados para estar en un espacio de Hilbert con la norma en el espacio de Hilbert . Modelamos como un espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) definido por un operador diferencial 1-1 , donde es el espacio dual. En general, es una función o distribución generalizada, la forma lineal asociada al producto interno y la norma para funciones generalizadas se interpretan por integración por partes de acuerdo con para , ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \sigma \doteq Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle v,w\in V}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle _{V}\doteq \int _{X}Av\cdot w\,dx,\ \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{X}Av\cdot v\,dx,\ v,w\in V\ .}$

Cuando , una densidad vectorial, ${\displaystyle Av\doteq \mu \,dx}$ ${\displaystyle \int Av\cdot v\,dx\doteq \int \mu \cdot v\,dx=\sum _{i=1}^{3}\mu _{i}v_{i}\,dx.}$

El operador diferencial se selecciona de modo que el núcleo de Green asociado a la inversa sea lo suficientemente suave para que los campos vectoriales admitan una derivada 1-continua . Los argumentos del teorema de incrustación de Sobolev se utilizaron para demostrar que se requiere una derivada 1-continua para flujos suaves. El operador de Green generado a partir de la función de Green (caso escalar) asociada al operador diferencial suaviza.

Para la elección adecuada de entonces es un RKHS con el operador . Los núcleos de Green asociados al operador diferencial suavizan ya que para controlar suficientes derivadas en el sentido de la integral cuadrada el núcleo es continuamente diferenciable en ambas variables lo que implica ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ ${\displaystyle K=A^{-1}:V^{*}\rightarrow V}$ ${\displaystyle k(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle KAv(x)_{i}\doteq \sum _{j}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}k_{ij}(x,y)Av_{j}(y)\,dy\in V\ .}$

La difeomorfometría del espacio de formas y figuras

La métrica invariante por la derecha en difeomorfismos

La métrica del grupo de difeomorfismos se define por la distancia definida en pares de elementos en el grupo de difeomorfismos según

Esta distancia proporciona una métrica invariante a la derecha de difeomorfometría, ^{[12] [13] [14]} invariante a la reparametrización del espacio ya que para todo , ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Diff} _{V}}$

${\displaystyle d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi ,\varphi )=d_{\operatorname {Diff} _{V}}(\psi \circ \phi ,\varphi \circ \phi ).}$

La métrica de las formas y figuras

La distancia en las imágenes, ^[15] , ${\displaystyle d_{\mathcal {I}}:{\mathcal {I}}\times {\mathcal {I}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

La distancia en las formas y figuras, ^[16] , ${\displaystyle d_{\mathcal {M}}:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

La métrica de los flujos geodésicos de puntos de referencia, superficies y volúmenes dentro de la órbita.

Para calcular la métrica, las geodésicas son un sistema dinámico, el flujo de coordenadas y el control del campo vectorial se relacionan a través de la vista hamiltoniana ^{[17] [18] [19] [20] [21]} reparametriza la distribución del momento en términos del momento hamiltoniano , un multiplicador de Lagrange que restringe la velocidad lagrangiana . En consecuencia: ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}\in \operatorname {Diff} _{V}}$ ${\displaystyle t\mapsto v_{t}\in V}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\cdot \phi _{t},\phi _{0}=\operatorname {id} .}$ ${\displaystyle Av\in V^{*}}$ ${\displaystyle p:{\dot {\phi }}\mapsto (p\mid {\dot {\phi }})}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}$

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t},v_{t})=\int _{X}p_{t}\cdot (v_{t}\circ \phi _{t})\,dx-{\frac {1}{2}}\int _{X}Av_{t}\cdot v_{t}\,dx.}$

El principio del máximo de Pontryagin ^[17] proporciona el hamiltoniano El campo vectorial optimizador con dinámica . A lo largo de la geodésica el hamiltoniano es constante: ^[22] . La distancia métrica entre sistemas de coordenadas conectados a través de la geodésica determinada por la distancia inducida entre el elemento identidad y el elemento de grupo: ${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})\doteq \max _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)\ .}$ ${\displaystyle v_{t}\doteq \operatorname {argmax} _{v}H(\phi _{t},p_{t},v)}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}={\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial p}},{\dot {p}}_{t}=-{\frac {\partial H(\phi _{t},p_{t})}{\partial \phi }}}$ ${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})=H(\operatorname {id} ,p_{0})={\frac {1}{2}}\int _{X}p_{0}\cdot v_{0}\,dx}$

${\displaystyle d_{\mathrm {Diff} _{V}}(\operatorname {id} ,\varphi )=\|v_{0}\|_{V}={\sqrt {2H(\operatorname {id} ,p_{0})}}}$

Geodésicas de puntos de referencia o de conjunto de puntos

Para los puntos de referencia , el momento hamiltoniano ${\displaystyle x_{i},i=1,\dots ,n}$

${\displaystyle p(i),i=1,\dots ,n}$

con la dinámica hamiltoniana tomando la forma

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\textstyle \sum _{j}\sum _{i}\displaystyle p_{t}(i)\cdot K(\phi _{t}(x_{i}),\phi _{t}(x_{j}))p_{t}(j)}$

con

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \sum _{i}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x_{i}))p_{t}(i),\ \\{\dot {p}}_{t}(i)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x_{i})}}^{T}p_{t}(i),i=1,2,\dots ,n\\\end{cases}}}$

La métrica entre puntos de referencia ${\displaystyle d^{2}=\textstyle \sum _{i}p_{0}(i)\cdot \sum _{j}\displaystyle K(x_{i},x_{j})p_{0}(j).}$

La dinámica asociada a estas geodésicas se muestra en la figura adjunta.

Geodésicas de superficie

Para las superficies , el momento hamiltoniano se define a través de la superficie como hamiltoniano.

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{U}\int _{U}p_{t}(u)\cdot K(\phi _{t}(m(u)),\phi _{t}(m(v)))p_{t}(v)\,du\,dv}$

y dinámica

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{U}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(m(u)))p_{t}(u)\,du\ ,\\{\dot {p}}_{t}(u)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(m(u))}}^{T}p_{t}(u),u\in U\end{cases}}}$

La métrica entre coordenadas de superficie ${\displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{U}p_{0}(u)\cdot \int _{U}K(m(u),m(u^{\prime }))p_{0}(u^{\prime })\,du\,du^{\prime }}$

Geodésicas de volumen

Para volúmenes el hamiltoniano

${\displaystyle H(\phi _{t},p_{t})={\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}p_{t}(x)\cdot K(\phi _{t}(x),\phi _{t}(y))p_{t}(y)\,dx\,dy\displaystyle }$

con dinámica

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=\textstyle \int _{X}\displaystyle K(\cdot ,\phi _{t}(x))p_{t}(x)\,dx\ ,\\{\dot {p}}_{t}(x)=-(Dv_{t})_{|_{\phi _{t}(x)}}^{T}p_{t}(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}\end{cases}}}$

La métrica entre volúmenes ${\displaystyle \displaystyle d^{2}=(p_{0}\mid v_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{3}}p_{0}(x)\cdot \int _{{\mathbb {R} }^{3}}K(x,y)p_{0}(y)\,dy\,dx.}$

Software para mapeo difeomórfico

Los paquetes de software que contienen una variedad de algoritmos de mapeo difeomórfico incluyen los siguientes:

• Deformétrica ^[23]
• HORMIGAS ^[24]
• DARTEL ^[25] Morfometría basada en vóxeles (VBM)
• DEMONIOS ^[26]
• LDMM ^[27]
• LDDMM estacionario ^[28]

Software en la nube

• Nube de resonancia magnética ^[29]

Referencias

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